Twierdzenie Denjoya o liczbie rotacji
W matematyce twierdzenie Denjoya daje wystarczający warunek, aby dyfeomorfizm koła był topologicznie sprzężony z dyfeomorfizmem szczególnego rodzaju, a mianowicie irracjonalnym obrotem . Denjoy ( 1932 ) udowodnił to twierdzenie w trakcie swojej topologicznej klasyfikacji homeomorfizmów koła . Podał również przykład C 1 z niewymierną liczbą rotacji , która nie jest sprzężona z rotacją.
Stwierdzenie twierdzenia
Niech ƒ : S 1 → S 1 będzie zachowującym orientację dyfeomorfizmem koła, którego liczba rotacji θ = ρ ( ƒ ) jest niewymierna . Załóżmy, że ma dodatnią pochodną ƒ ′ ( x ) > 0, czyli jest funkcją ciągłą z ograniczoną zmiennością na przedziale [0,1]. Wtedy ƒ jest topologicznie sprzężone z irracjonalnym obrotem o θ . Co więcej, każda orbita jest gęsta i każdy nietrywialny przedział I koła przecina jego przedni obraz ƒ ° q ( I ), dla pewnego q > 0 (oznacza to, że niewędrujący zbiór ƒ jest całym kołem).
Komplementy
Jeśli ƒ jest mapą C 2 , to hipoteza dotycząca pochodnej jest spełniona; jednak dla dowolnej niewymiernej liczby rotacji Denjoy skonstruował przykład pokazujący, że warunku tego nie można złagodzić do C 1 , ciągłej różniczkowalności ƒ .
Vladimir Arnold wykazał, że mapa koniugacji nie musi być gładka , nawet dla analitycznego dyfeomorfizmu koła. Później Michel Herman udowodnił, że mimo to sprzężona mapa analitycznego dyfeomorfizmu sama w sobie jest analityczna dla „większości” liczb rotacji, tworząc zbiór pełnej miary Lebesgue'a , a mianowicie dla tych, które są źle aproksymowane przez liczby wymierne. Jego wyniki są jeszcze bardziej ogólne i określają klasę różniczkowalności mapy koniugacyjnej dla dyfeomorfizmów Cr z dowolnym r ≥ 3.
Zobacz też
- Denjoy, Arnaud (1932), „Sur les courbes definies par les équations différentielles à la surface du tore”. , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (w języku francuskim), 11 : 333–375, Zbl 0006.30501
- Herman, MR (1979), „ Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations ” , Publ. Matematyka IHES (w języku francuskim), 49 : 5–234, doi : 10.1007/BF02684798 , S2CID 118356096 , Zbl 0448.58019
- Kornfeld, Synaj, Fomin, teoria ergodyczna .