Pole formalnie rzeczywiste

W matematyce , w szczególności w teorii pola i algebrze rzeczywistej , pole formalnie rzeczywiste to pole , które można wyposażyć w (niekoniecznie unikalne) uporządkowanie, które czyni je polem uporządkowanym .

Alternatywne definicje

Definicja podana powyżej nie jest definicją pierwszego rzędu , ponieważ wymaga kwantyfikatorów nad zbiorami . Jednak następujące kryteria można zakodować jako (nieskończenie wiele) zdań pierwszego rzędu w języku pól i są one równoważne z powyższą definicją.

Formalnie rzeczywiste pole F to pole, które spełnia również jedną z następujących równoważnych właściwości:

• −1 nie jest sumą kwadratów w F . Innymi słowy, Stufe F jest nieskończony . (W szczególności takie ciało musi mieć cechę 0, ponieważ w polu o charakterystyce p element −1 jest sumą jedynek.) W logice pierwszego rzędu można to wyrazić przez ${\ Displaystyle \ forall x_ {1} (-1 \ neq x_ {1} ^ {2})$ } ${\ Displaystyle \ forall x_ {1} x_ {2} (-1 \ neq x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2})}$ , itd., z jednym zdaniem dla każdej liczby zmiennych.
• Istnieje element F , który nie jest sumą kwadratów w F , a cechą F nie jest 2.
• Jeśli jakakolwiek suma kwadratów elementów F jest równa zeru, to każdy z tych elementów musi być równy zeru.

Łatwo zauważyć, że te trzy właściwości są równoważne. Łatwo też zauważyć, że pole dopuszczające uporządkowanie musi spełniać te trzy właściwości.

Dowód, że jeśli F spełnia te trzy właściwości, to F dopuszcza uporządkowanie, używa pojęcia stożków przyimkowych i stożków dodatnich. Załóżmy, że −1 nie jest sumą kwadratów; to z lematu Zorna pokazuje, że przyimkowy stożek sum kwadratów można rozszerzyć do dodatniego stożka P ⊆ F . Używa się tego dodatniego stożka do zdefiniowania uporządkowania: a ≤ b wtedy i tylko wtedy, gdy b - a należy do P .

Prawdziwe zamknięte pola

Ciało formalnie rzeczywiste bez formalnie rzeczywistego właściwego rozszerzenia algebraicznego jest ciałem rzeczywistym domkniętym . Jeśli K jest formalnie rzeczywiste, a Ω jest algebraicznie domkniętym ciałem zawierającym K , to istnieje rzeczywiste domknięte podciało Ω zawierające K . Prawdziwe pole zamknięte można uporządkować w unikalny sposób, a elementami nieujemnymi są właśnie kwadraty.

Notatki

•   Milnor, Jan ; Husemoller, Dale (1973). Symetryczne formy dwuliniowe . Skoczek. ISBN 3-540-06009-X .
•    Rajwade, AR (1993). Kwadraty . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Tom. 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5 . Zbl 0785.11022 .