Grupa punktów wymiernych na okręgu jednostkowym

Pitagorejska trójka (4,3,5) jest powiązana z wymiernym punktem (4/5,3/5) na okręgu jednostkowym.

W matematyce punktami wymiernymi na okręgu jednostkowym są takie punkty ( x , y ), że zarówno x , jak i y są liczbami wymiernymi („ułamkami”) i spełniają x ² + y ² = 1. Zbiór takich punktów okazuje się być blisko spokrewnione z prymitywnymi trójkami pitagorejskimi . Rozważmy prymitywny trójkąt prostokątny , to znaczy o całkowitych długościach boków a , b , c , gdzie c jest przeciwprostokątną, tak że boki nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1. Wtedy na okręgu jednostkowym istnieje punkt wymierny ( a / c , b / c ), który na płaszczyźnie zespolonej jest po prostu a / c + ib / c , gdzie i jest jednostką urojoną . I odwrotnie, jeśli ( x , y ) jest wymiernym punktem na okręgu jednostkowym w 1. ćwiartce układu współrzędnych (tj. x > 0, y > 0), to istnieje prymitywny trójkąt prostokątny o bokach xc , yc , c , gdzie c jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników x i y . Istnieje zgodność między punktami ( a , b ) na płaszczyźnie x - y a punktami a + ib na płaszczyźnie zespolonej, która jest używana poniżej.

Operacja grupowa

Zbiór wymiernych punktów na okręgu jednostkowym, w tym artykule skrócony jako G , tworzy nieskończoną grupę abelową pod wpływem obrotów. Elementem tożsamości jest punkt (1, 0) = 1 + i 0 = 1. Operacja grupowa lub „iloczyn” to ( x , y ) * ( t , u ) = ( xt − uy , xu + yt ). Ten iloczyn jest sumą kątów, ponieważ x = cos ( A ) i y = sin ( A ), gdzie A jest kątem, jaki tworzy wektor ( x , y ) z wektorem (1,0), mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Więc gdzie ( x , y ) i ( t , u ) tworzą kąty A i B z (1, 0) odpowiednio, ich iloczyn ( xt − uy , xu + yt ) jest po prostu wymiernym punktem na okręgu jednostkowym tworzącym kąt A + B z (1, 0). Operację grupową można łatwiej wyrazić za pomocą liczb zespolonych: identyfikując punkty ( x , y ) i ( t , u ) odpowiednio z x + iy i t + iu , powyższy iloczyn grupowy jest zwykłym mnożeniem liczby zespolonej ( x + iy )( t + ja ) = xt − yu + ja ( xu + yt ), co odpowiada punktowi ( xt − uy , xu + yt ) jak wyżej.

Przykład

3/5 + 4/5 i oraz 5/13 + 12/13 i (odpowiadające dwóm najsłynniejszym pitagorejskim trójkom (3,4,5) i (5,12,13)) to wymierne punkty na okręgu jednostkowym w płaszczyźnie zespolonej, a zatem są elementami G . Ich iloczyn grupowy to −33/65 + 56/65 i , co odpowiada trójce pitagorejskiej (33,56,65). Suma kwadratów liczników 33 i 56 wynosi 1089 + 3136 = 4225, czyli kwadrat mianownika 65.

Inne sposoby opisywania grupy

{\ Displaystyle G \ cong \ operatorname {SO} (2, \ mathbb {Q}).}

Zbiór wszystkich macierzy rotacji 2 × 2 z wpisami ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )}$ $S$ to z faktu, że grupa okręgów jest izomorficzna z i fakt, że ich punkty wymierne pokrywają się.

Struktura grupy

Struktura G jest nieskończoną sumą grup cyklicznych . Niech G ₂ oznacza podgrupę G generowaną przez punkt 0 + 1 i . G ₂ jest cykliczną podgrupą rzędu 4. Dla liczby pierwszej p postaci 4 k + 1 niech G _p oznacza podgrupę elementów o mianowniku p ⁿ , gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą. G _str jest nieskończoną grupą cykliczną, a punkt ( a ² − b ² )/ p + (2 ab / p ) i jest generatorem G _p . _Ponadto , rozkładając na czynniki mianowniki elementu G , można wykazać, że G jest bezpośrednią sumą G ₂ i Gp . To jest:

{\ Displaystyle G \ cong G_ {2} \ oplus \ bigoplus _ {p \ \ równoważnik \, 1 \, ({\ tekst {mod}} 4)} G_ {p}.}

Ponieważ jest to raczej suma bezpośrednia niż iloczyn bezpośredni , tylko skończenie wiele wartości w G _p s jest niezerowych.

Przykład

00 Postrzegając G jako nieskończoną sumę bezpośrednią, rozważ element ({ }; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...), gdzie pierwsza współrzędna jest w C ₄ , a pozostałe współrzędne dają potęgi ( a ² − b ² )/ p ( r ) + i 2 ab / p ( r ), gdzie p ( r ) jest r -tą liczbą pierwszą postaci 4 k + 1. Odpowiada to, w G , punkt wymierny (3/5 + i 4/5) ² · (8/17 + i 15/17) ¹ = −416/425 + i87/425. Mianownik 425 jest iloczynem mianownika 5 dwa razy, a mianownika 17 raz i podobnie jak w poprzednim przykładzie kwadrat licznika −416 plus kwadrat licznika 87 jest równy kwadratowi mianownika 425. To należy również zauważyć, jako połączenie ułatwiające zrozumienie, że mianownik 5 = p (1) jest pierwszą liczbą pierwszą postaci 4 k + 1, a mianownik 17 = p (3) jest trzecią liczbą pierwszą postaci 4 k + 1.

Grupa punktów wymiernych hiperboli jednostkowej

Istnieje ścisły związek między tą grupą na hiperboli jednostkowej a grupą omówioną powyżej. Jeśli $okręgu$ na jednostkowym, gdzie a / c i b / c są ułamkami to c / a , / a ) jest wymiernym punktem na hiperboli jednostkowej, ponieważ ${\ Displaystyle (c/a) ^ {2} - (b/a) ^ {2} = 1,}$ spełniając równanie hiperboli jednostkowej. Operacja grupowa to tutaj ${\ Displaystyle (x, y) \ razy (u, v) = (xu + yv,xv+yu),}$ a tożsamość grupy to ten sam punkt (1, 0), co powyżej. W tej grupie istnieje ścisły związek z cosinusem hiperbolicznym i sinusem hiperbolicznym , co odpowiada powiązaniu z cosinusem i sinusem w powyższej grupie okręgów jednostkowych.

Kopie w większej grupie

Istnieją izomorficzne kopie obu grup, jako podgrupy (i jako obiekty geometryczne) grupy punktów wymiernych na rozmaitości abelowej w przestrzeni czterowymiarowej określonej równaniem ${\ Displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2} = 0.}$ Zauważ, że ta odmiana to zbiór punktów z metryką Minkowskiego względem początku układu równego 0. Tożsamość w tej większej grupie to (1, 0, 1, 0), a operacja grupowa to ${\ Displaystyle (a, b, c, d) \ razy (w, x, y, z) = (aw-bx, ax + bw, cy + dz, cz + dy).}$

Dla grupy na okręgu jednostkowym odpowiednią podgrupą jest podgrupa punktów postaci ( w , x , 1, 0 ), gdzie ${\ Displaystyle w ^ {2} + x ^ { 2}=1,}$ a jego elementem tożsamości jest (1, 0, 1, 0). Grupa hiperboli jednostkowej odpowiada punktom postaci ( 1, 0, y , z ), gdzie ${\ Displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} = 1,}$ a tożsamość to ponownie (1, 0, 1, 0). (Oczywiście, ponieważ są to podgrupy większej grupy, obie muszą mieć ten sam element tożsamości).

Zobacz też

Koło grupy

Grupa punktów wymiernych na okręgu jednostkowym [1] , Lin Tan, Mathematics Magazine , tom. 69, nr 3 (czerwiec 1996), s. 163–171
Grupa pierwotnych trójkątów pitagorejskich [2] , Ernest J. Eckert, Mathematics Magazine , tom 57 nr 1 (styczeń 1984), s. 22–26
„Punkty wymierne na krzywych eliptycznych” Joseph Silverman