Grupa uporządkowana liniowo

W matematyce , szczególnie w algebrze abstrakcyjnej , grupa uporządkowana liniowo lub całkowicie uporządkowana to grupa G wyposażona w całkowity porządek „≤”, który jest niezmienny względem translacji . To może mieć różne znaczenia. Mówimy, że ( G , ≤) to:

grupa lewostronnie uporządkowana, jeśli ≤ jest niezmiennikiem lewostronnym, to znaczy a ≤ b implikuje ca ≤ cb dla wszystkich a , b , c w G ,
grupa prawostronnie uporządkowana, jeśli ≤ jest niezmiennikiem prawostronnym, to znaczy a ≤ b implikuje ac ≤ bc dla wszystkich a , b , c w G ,
grupa podwójnie uporządkowana, jeśli ≤ jest bi-niezmiennikiem, to znaczy, że jest niezmienna zarówno w lewo, jak iw prawo.

grupa G jest uporządkowana w lewo (lub uporządkowana w prawo lub podwójna ), jeśli istnieje niezmienny porządek w lewo (lub w prawo, lub bi-) na G . Prostym warunkiem koniecznym, aby grupa była uporządkowana lewostronnie, jest brak elementów skończonego porządku; nie jest to jednak warunek wystarczający. Równoważne jest, aby grupa była uporządkowana w lewo lub w prawo; istnieją jednak grupy, które można uporządkować po lewej stronie, które nie są uporządkowane podwójnie.

Dalsze definicje

W tej sekcji $jest$ niezmienny porządek w grupie z elementem tożsamości mi $e}$ \ $displaystyle$ Wszystko, co powiedziano, odnosi się do rzędów prawostronnie niezmiennych z oczywistymi modyfikacjami. Zauważ, że $lewostronna$ jest równoważna z kolejnością określoną przez $g \ leq 'h}$ $Displaystyle$ wtedy i tylko ${\ Displaystyle h ^ {- 1} \ równoważnik g ^ {-1}}$ jest prawostronnie niezmienny. W szczególności grupa, która jest uporządkowana w lewo, jest tym samym, co grupa, która jest uporządkowana w prawo.

uporządkowanej grupy nazywamy $dodatnim,$ jeśli mi $g}$ . Zbiór elementów dodatnich w uporządkowanej grupie nazywany jest stożkiem dodatnim , często jest oznaczany przez ${\ displaystyle G_ {+}}$ ; nieco inny zapis $stożka$ dodatniego wraz z elementem

Dodatni stożek $;$ porządek $leq$ } rzeczywiście, przez niezmienniczość po lewej stronie widzimy, że ${\ displaystyle g \ równoważnik h}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle g ^ {- 1} h \ w G_ {+}}$ . W rzeczywistości grupę $}$ od lewej można zdefiniować jako grupę wraz z podzbiorem spełniającym dwa warunki, które: ${\ displaystyle G$

dla ${\ Displaystyle g, h \ w P}$ mamy również ${\ Displaystyle gh \ w P}$ ;
niech ${\ Displaystyle P ^ {- 1} = \ {g ^ {- 1}, g \ w P \}}$ , to jest ${\ Displaystyle G}$ rozłączny związek P $\ Displaystyle P, P ^ {- 1}}$ i ${\ Displaystyle \ {e \}}$ .

Kolejność związana z ${\ Displaystyle P}$ $jest$ $Leftrightarrow g ^{-1}h\w P}$ przez ; pierwszy warunek jest równoznaczny z niezmienniczością lewej strony, a drugi z dobrze zdefiniowanym i całkowitym porządkiem. Dodatni stożek ${\ displaystyle \ leq _ {P}}$ to ${\ displaystyle P}$ .

Porządek niezmienny po lewej stronie jest niezmienny bi wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezmiennikiem koniugacji, to znaczy jeśli $to$ $\ Displaystyle g \ leq h}$ dla dowolnego ${\ displaystyle x \ w G}$ mamy również ${\ Displaystyle xgx ^ {-1} \ równoważnik xhx ^ {-1}} .$ Jest to równoważne temu, że dodatni stożek jest stabilny w warunkach wewnętrznych automorfizmów .

Jeśli ${\ Displaystyle a \ in G}$ , to bezwzględna za $\ Displaystyle a}$ , oznaczona przez ${\ displaystyle | a |}$ , jest zdefiniowany jako:

{\ Displaystyle | a |: = {\ rozpocząć {przypadki} a, & {\ tekst {jeśli}} a \ geq 0, \\ -a, & {\ tekst {inaczej}}. \ koniec {przypadków}}}

Jeśli dodatkowo grupa

a

abelowa , to dla dowolnej nierówności trójkąta jest spełniona:

{\ Displaystyle | a + b | \ równoważnik | a | + | b |}

, b \ in G}

.

Przykłady

Każda grupa uporządkowana w lewo lub w prawo jest wolna od skrętu , to znaczy nie zawiera żadnych elementów skończonego porządku poza tożsamością. I odwrotnie, FW Levi wykazał, że grupa abelowa bez skrętu jest dwurzędowa; jest to nadal prawdziwe w przypadku grup nilpotentnych, ale istnieją grupy wolne od skręcania, skończenie przedstawione , których nie można uporządkować w lewo.

Grupy uporządkowane Archimedesa

Otto Hölder wykazał, że każda grupa Archimedesa (grupa podwójnie uporządkowana spełniająca własność Archimedesa ) jest izomorficzna z podgrupą grupy addytywnej liczb rzeczywistych ( Fuchs i Salce 2001 , s. 61). Jeśli napiszemy multiplikatywnie grupę lo Archimedesa, można to pokazać, rozważając zakończenie Dedekinda $}$ grupy lo pod $n$ \ korzenie. Nadajemy tej przestrzeni zwykłą topologię $odwzorowania$ można pokazać, że + ${\ Displaystyle g ^ {\ cdot}: (\ mathbb {R}, +) \ do ({\ widehat {G}}, \ cdot): \ lim _ {i} q_ {i} \ w \ mathbb {Q } \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}} są dobrze zdefiniowanymi izomorfizmami$ grup topologicznych zachowujących/odwracających kolejność . Ukończenie grupy lo może być trudne w przypadku niearchimedesowym. W takich przypadkach można sklasyfikować grupę według jej rangi: która jest związana z typem uporządkowania największej sekwencji wypukłych podgrup.

Inne przykłady

Grupy bezpłatne można zamawiać po lewej stronie. Bardziej ogólnie dotyczy to również grup Artina pod kątem prostym . Grupy warkoczy można również uporządkować po lewej stronie.

Grupa podana przez prezentację ${\ Displaystyle \ langle a, b | a ^ {2} ba ^ {2} b ^ {- 1}, b ^ {2} ab ^{2}a^{-1}\rangle }$ jest wolne od skręcania, ale nie można go uporządkować w lewo; zwróć uwagę, że jest to trójwymiarowa grupa krystalograficzna (można to zrealizować jako grupę utworzoną przez dwa ślizgające się półobroty o ortogonalnych osiach i tej samej długości translacji) i to ta sama grupa, która okazała się kontrprzykładem do przypuszczenia jednostki . Mówiąc bardziej ogólnie, temat uporządkowania grup 3-rozmaitościowych jest interesujący ze względu na jego związek z różnymi niezmiennikami topologicznymi. Istnieje 3-rozmaitościowa grupa, która jest lewostronna, ale nie dwukierunkowa (w rzeczywistości nie spełnia słabszej właściwości bycia lokalnie wskazywalną).

Grupy lewostronnie uporządkowane wzbudziły również zainteresowanie z perspektywy układów dynamicznych , ponieważ wiadomo, że grupa przeliczalna jest lewostronnie uporządkowana wtedy i tylko wtedy, gdy działa na prostej rzeczywistej przez homeomorfizmy. Nie-przykładami związanymi z tym paradygmatem są kraty w grupach Liego wyższego rzędu; wiadomo, że (na przykład) podgrupy o skończonym $indeksie$ lewo niedawno ogłoszono szerokie uogólnienie tego.

Zobacz też

Notatki

Deroin, Bertrand; Navas, Andrés; Rivas, Cristóbal (2014). „Grupy, zamówienia i dynamika”. arXiv : 1408,5805 [ matematyka. GT ].
Levi, FW (1942), "Uporządkowane grupy.", Proc. Indyjski Acad. nauka , A16 (4): 256–263, doi : 10.1007/BF03174799
Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Moduły dotyczące domen innych niż noetherowskie , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 84, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1963-0 , MR 1794715
Ghys, E. (2001), „Grupy działające na kole.”, L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407