Cykliczna homologia

W geometrii nieprzemiennej i pokrewnych gałęziach matematyki homologia cykliczna i kohomologia cykliczna są pewnymi teoriami (ko) homologii dla algebr asocjacyjnych , które uogólniają (ko) homologię de Rhama rozmaitości. Pojęcia te zostały niezależnie wprowadzone przez Borisa Tsygana (homologia) i Alaina Connesa (kohomologia) w latach 80. Te niezmienniki mają wiele interesujących związków z kilkoma starszymi gałęziami matematyki, w tym teorią de Rhama, (ko)homologią Hochschilda, kohomologią grupową i teorią K. Współautorzy rozwoju teorii to Max Karoubi , Yuri L. Daletskii, Boris Feigin , Jean-Luc Brylinski , Mariusz Wodzicki , Jean-Louis Loday , Victor Nistor, Daniel Quillen , Joachim Cuntz , Ryszard Nest, Ralf Meyer i Michael Puschnigg .

Wskazówki dotyczące definicji

Pierwsza definicja cyklicznej homologii pierścienia A nad polem charakterystycznym zero, oznaczona

HC _n ( A ) lub H _n ^λ ( A ),

przebiegał za pomocą następującego wyraźnego kompleksu łańcuchowego związanego z kompleksem homologii Hochschilda A , zwanego kompleksem Connesa :

n ≥ 0, define the operator which generates the natural cyclic action of $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ dowolnej liczby naturalnej $t_{n}$ on the n-th tensor product of A:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} t_ {n}: A ^ {\ otimes n} \ do A ^ {\ otimes n}, \ quad a_ {1} \ otimes \ kropki \ otimes a_ {n} \ mapsto ( -1)^{n-1}a_{n}\otimes a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{aligned}}}$

Przypomnijmy, że grupy zespolone Hochschilda A ze współczynnikami w samym A są podane przez ustawienie ${\ Displaystyle HC_ {n} (A): = A ^ {\ otimes n + 1 }}$ dla wszystkich n ≥ 0 . Następnie składniki kompleksu Connesa definiuje się jako do ${\ Displaystyle C_ {n} ^ {\ lambda} (A): = HC_ {n} (A) / \ langle 1-t_ {n + 1} \ rangle}$ i różniczka ${\ Displaystyle d: C_ {n }^{\lambda }(A)\to C_{n-1}^{\lambda }(A)}$ jest ograniczeniem różniczki Hochschilda do tego ilorazu. Można sprawdzić, czy różniczka Hochschilda rzeczywiście uwzględnia tę przestrzeń koniezmienników.

Connes później znalazł bardziej kategoryczne podejście do cyklicznej homologii, używając pojęcia obiektu cyklicznego w kategorii abelowej , co jest analogiczne do pojęcia obiektu uproszczonego . W ten sposób homologię cykliczną (i kohomologię) można interpretować jako pochodny funktor , który można jawnie obliczyć za pomocą bikompleksu ( b , B ). Jeśli pole k zawiera liczby wymierne, definicja w kategoriach kompleksu Connesa oblicza tę samą homologię.

Jedną z uderzających cech cyklicznej homologii jest istnienie długiej dokładnej sekwencji łączącej Hochschilda i cykliczną homologię. Ta długa dokładna sekwencja jest określana jako sekwencja okresowości.

Przypadek pierścieni przemiennych

Kohomologię cykliczną algebry przemiennej A funkcji regularnych na afinicznej rozmaitości algebraicznej na polu k o charakterystycznym zera można obliczyć za pomocą algebraicznego kompleksu de Rham Grothendiecka . W szczególności, jeśli rozmaitość V = Spec A jest gładka, kohomologia cykliczna A jest wyrażona w kategoriach kohomologii de Rhama V w następujący sposób:

${\ Displaystyle HC_ {n} (A) \ simeq \ Omega ^ {n} \! A / d \ Omega ^ {n-1} \! A \ oplus \ bigoplus _ {i \ geq 1} H_ {DR} ^ {n-2i}(V).}$

Ta formuła sugeruje sposób zdefiniowania kohomologii de Rham dla „nieprzemiennego spektrum” nieprzemiennej algebry A , która została obszernie rozwinięta przez Connesa.

Warianty homologii cyklicznej

Jedną z motywacji homologii cyklicznej była potrzeba przybliżenia teorii K , która jest zdefiniowana, w przeciwieństwie do teorii K, jako homologia kompleksu łańcuchowego . Cykliczna kohomologia jest w rzeczywistości obdarzona parą z teorią K i można mieć nadzieję, że ta para nie będzie zdegenerowana.

Zdefiniowano szereg wariantów, których celem jest lepsze dopasowanie do algebr z topologią, takich jak $algebry$ , itp . Powodem jest to, że teoria K zachowuje się znacznie lepiej na algebrach topologicznych, takich jak algebry Banacha czy C*-algebry, niż na algebrach bez dodatkowej struktury. Ponieważ z drugiej strony homologia cykliczna degeneruje się na C*-algebrach, pojawiła się potrzeba zdefiniowania zmodyfikowanych teorii. Należą do nich: całkowita homologia cykliczna autorstwa Alaina Connesa , analityczna homologia cykliczna autorstwa Ralfa Meyera czy asymptotyczna i lokalna homologia cykliczna autorstwa Michaela Puschnigga. Ten ostatni jest bardzo zbliżony do K-teorii , ponieważ jest wyposażony w dwuwariantowy charakter Cherna z KK-teorii .

Aplikacje

Jednym z zastosowań homologii cyklicznej jest znajdowanie nowych dowodów i uogólnień twierdzenia o indeksie Atiyaha-Singera . Wśród tych uogólnień są twierdzenia o indeksach oparte na trójkach widmowych i kwantyzacji deformacji struktur Poissona .

Operator eliptyczny D na zwartej gładkiej rozmaitości definiuje klasę w homologii K. Jednym z niezmienników tej klasy jest indeks analityczny operatora. Jest to postrzegane jako parowanie klasy [D] z elementem 1 w HC(C(M)). Kohomologię cykliczną można postrzegać jako sposób na uzyskanie wyższych niezmienników eliptycznych operatorów różniczkowych nie tylko dla rozmaitości gładkich, ale także dla foliacji, orbifoldów i przestrzeni osobliwych, które pojawiają się w geometrii nieprzemiennej.

Obliczenia algebraicznej teorii K

Mapa śladu cyklotomicznego jest mapą od algebraicznej teorii K (powiedzmy pierścienia A ) do cyklicznej homologii:

${\ Displaystyle tr: K_ {n} (A) \ do HC_ {n-1} (A).}$

W niektórych sytuacjach ta mapa może być użyta do obliczenia K-teorii za pomocą tej mapy. Pionierskim wynikiem w tym kierunku jest twierdzenie Goodwilliego (1986) : stwierdza ono, że mapa

$\ Displaystyle K_ {n} (A, ja) \ czasami \ mathbf {Q} \ do HC_ {n-1} ( A,I)\oraz \mathbf {Q} }$

między względną teorią K A w odniesieniu do nilpotentnego dwustronnego ideału I a względną homologią cykliczną (mierzącą różnicę między teorią K lub homologią cykliczną A i A / I ) jest izomorfizmem dla n ≥1.

$.$ tylko stwierdzenie o W przypadku pierścieni niezawierających Q homologię cykliczną należy zastąpić topologiczną homologią cykliczną, aby zachować ścisłe powiązanie z teorią K. (Jeśli Q jest zawarte w A , to homologia cykliczna i topologiczna homologia cykliczna A są zgodne.) Jest to zgodne z faktem, że (klasyczna) homologia Hochschilda jest mniej grzeczna niż topologiczna homologia Hochschilda dla pierścieni niezawierających Q . Clausen, Mathew & Morrow (2018) udowodnili daleko idące uogólnienie wyniku Goodwilliego, stwierdzając, że dla przemiennego pierścienia A , tak aby lemat Hensela był spełniony w odniesieniu do ideału I , względna teoria K jest izomorficzna względem względnej topologicznej homologii cyklicznej (bez tensorowania obu z Q ). Ich wynik obejmuje również twierdzenie Gabbera (1992) , stwierdzające, że w tej sytuacji względne widmo K-teorii modulo an liczba całkowita n , która jest odwracalna w A , znika. Jardine (1993) wykorzystał wynik Gabbera i sztywność Suslina , aby obalić obliczenia Quillena dotyczące K-teorii pól skończonych .

Zobacz też

• Geometria nieprzemienna

Notatki

•   Jardine, JF (1993), „K-teoria pól skończonych, powtórka”, K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007 / BF00961219 , MR 1268594
•   Loday, Jean-Louis (1998), Homologia cykliczna , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 301, Springera, ISBN 978-3-540-63074-6
• Gabber, Ofer (1992), „ K -teoria lokalnych pierścieni i par henselowskich”, Algebraiczna teoria K , algebra przemienna i geometria algebraiczna (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Matematyka, tom. 126, AMS, s. 59–70
• Clausen, Dustin; Mateusz, Achil; Morrow, Matthew (2018), „K-teoria i topologiczna cykliczna homologia par henselowskich”, arXiv : 1803,10897 [ math.KT ]
•    Goodwillie, Thomas G. (1986), „Względna algebraiczna teoria K i homologia cykliczna”, Annals of Mathematics , druga seria, 124 (2): 347–402, doi : 10,2307/1971283 , JSTOR 1971283 , MR 0855300
•     Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraiczna teoria K i jej zastosowania , Graduate Texts in Mathematics , tom. 147, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3 , MR 1282290 , Zbl 0801.19001 . Errata

Linki zewnętrzne

• „Kohomologia cykliczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Osobista notatka na temat homologii Hochschilda i cyklicznej