Henselowski pierścień

W matematyce pierścień Hensela (lub pierścień Hensla ) to lokalny pierścień , w którym zachodzi lemat Hensla . Zostały wprowadzone przez Azumaya (1951) , który nazwał je na cześć Kurta Hensela . Azumaya pierwotnie zezwalał na to, aby pierścienie Henselian były nieprzemienne , ale większość autorów ogranicza je teraz do przemienności .

Niektóre standardowe odnośniki do pierścieni Hensla to ( Nagata 1962 , rozdział VII) , ( Raynaud 1970 ) i ( Grothendieck 1967 , rozdział 18).

Definicje

W tym artykule zakłada się, że pierścienie są przemienne, chociaż istnieje również teoria nieprzemiennych pierścieni Hensela.

  • Pierścień lokalny R z ideałem maksymalnym m nazywamy henselowskim , jeśli zachodzi lemat Hensela. Oznacza to, że jeśli P jest wielomianem monicznym w R [ x ], to każdy rozkład na czynniki jego obrazu P w ( R / m ) [ x ] na iloczyn względnie pierwszych wielomianów monicznych można podnieść do faktoryzacji w R [ x ].
  • Pierścień lokalny jest henselowski wtedy i tylko wtedy, gdy każde skończone rozszerzenie pierścienia jest iloczynem pierścieni lokalnych.
  • Lokalny pierścień henselowski nazywany jest ściśle henselowskim , jeśli jego pole resztkowe jest rozłącznie domknięte .
  • Przez terminologii mówi się , że pole z jest henselowskie, jeśli jego pierścień wyceny henselowski Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie (odpowiednio do każdego rozdzielnego rozszerzenia odpowiednio do , odp. do ).
  • Pierścień nazywany jest henselowskim, jeśli jest bezpośrednim iloczynem skończonej liczby lokalnych pierścieni henselowskich.

Nieruchomości

  • Załóżmy polem Wtedy każde rozszerzenie algebraiczne (zgodnie z czwartą definicją powyżej).
  • Jeśli v jest polem Henselowskim i jest algebraiczne względem to dla każdego z nad , . Wynika to z czwartej definicji oraz z faktu, że dla każdego K-automorfizmu Displaystyle , jest rozszerzeniem . Odwrotność tego twierdzenia również zachodzi, ponieważ dla normalnego rozszerzenia pola że rozszerzenia do sprzężone.

Pierścienie Hensela w geometrii algebraicznej

Pierścienie Hensela są lokalnymi pierścieniami „punktów” w odniesieniu do topologii Nisnevicha , więc widma tych pierścieni nie dopuszczają nietrywialnych połączonych pokryć w odniesieniu do topologii Nisnevicha. Podobnie ścisłe pierścienie Hensela są lokalnymi pierścieniami punktów geometrycznych w topologii etalnej .

Henzelizacja

Dla dowolnego lokalnego pierścienia A istnieje uniwersalny pierścień henselowski B generowany przez A , zwany henzelizacją A , wprowadzony przez Nagatę (1953) , tak że każdy lokalny homomorfizm od A do pierścienia Henselowskiego może być rozszerzony jednoznacznie do B . Henselizacja A jest unikalna aż do unikalnego izomorfizmu . Henselizacja A jest algebraicznym substytutem dopełnienia A . Henselizacja A ma takie samo pole uzupełnienia i reszty jak A i jest płaskim modułem nad A . Jeśli A jest noetherowskie , zredukowane , normalne, regularne lub doskonałe , to taka jest też jego henselizacja. Na przykład Henselizacja pierścienia wielomianów k [ x , y ,...] zlokalizowanego w punkcie (0,0,...) jest pierścieniem algebraicznych formalnych szeregów potęgowych (formalny szereg potęgowy spełniający równanie algebraiczne). Można to traktować jako „algebraiczną” część zakończenia.

Podobnie istnieje ściśle henselowski pierścień generowany przez A , zwany ścisłą henzelizacją A . Ścisła henselizacja nie jest całkiem uniwersalna: jest wyjątkowa, ale tylko do nieunikalnego izomorfizmu. Dokładniej, zależy to od wyboru rozdzielnego domknięcia algebraicznego ciała reszty A , a automorfizmy tego rozdzielnego domknięcia algebraicznego odpowiadają automorfizmom odpowiadającej mu ścisłej Henselizacji. Na przykład ścisła Henselizacja pola liczb p -adycznych jest dane przez maksymalne nierozgałęzione rozszerzenie, generowane przez wszystkie pierwiastki jedności rzędu pierwszego do p . Nie jest „uniwersalny”, ponieważ ma nietrywialne automorfizmy.

Przykłady

  • Każde pole jest henselowskim lokalnym pierścieniem. (Ale nie każde pole z wartościowaniem jest „Henselianowskie” w sensie czwartej definicji powyżej).
  • Kompletne pierścienie lokalne Hausdorffa , takie jak pierścień liczb całkowitych p -adycznych i pierścienie formalnych szeregów potęgowych nad ciałem, są henselowskie.
  • Pierścienie zbieżnych szeregów potęgowych nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi są henselowskie.
  • Pierścienie algebraicznych szeregów potęgowych nad ciałem są henselowskie.
  • Lokalny pierścień, który jest integralny z pierścieniem henselowskim, jest pierścieniem henselowskim.
  • Henselizacja lokalnego pierścienia jest lokalnym pierścieniem henselowskim.
  • Każdy iloraz pierścienia henselowskiego jest henselowski.
  • Pierścień A jest henselowski wtedy i tylko wtedy, gdy związany z nim zredukowany pierścień A czerwony jest henselowski (jest to iloraz A przez ideał elementów nilpotentnych ).
  • Jeśli A ma tylko jeden ideał pierwszy , to jest henselowski, ponieważ A czerwony jest polem.
Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Henselian_ring&oldid=1121510596 ”