Wyczerpanie zestawami zwartymi

W matematyce $jest$ zwłaszcza $w$ topologii ogólnej i analizie , wyczerpanie przez zwarte przestrzeni topologicznej zagnieżdżoną sekwencją zwartych $.$ ( ${\ Displaystyle K_ {1} \ subseteq K_ {2} \ subseteq K_ {3} \ subseteq \ cdots} )$ , tak że zawarty jest ${\ Displaystyle K_ {i}}$ K. ${\ Displaystyle K_ {i + 1}}$ , $\ tekst {int}} (K_ {i +1})}$ 1 { dla każdego $⋃$$1} ^ {\ infty} K_ {i}$ ja {\ Displaystyle X = \ bigcup _ {i } Przestrzeń dopuszczająca wyczerpanie przez zbiory zwarte nazywana jest wyczerpywalną przez zbiory zwarte .

Rozważmy na przykład ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ i sekwencję zamkniętych kul ${\ Displaystyle K_ {i} = \ {x:|x|\ równoważnik i \}.}$

Czasami niektórzy autorzy rezygnują z wymogu, aby znajdował się we wnętrzu $Displaystyle$$K_ {i + 1}}$ { \ , ale wtedy właściwość staje się taka sama jak przestrzeń compact , czyli przeliczalna suma zwartych podzbiorów.

Nieruchomości

Poniższe są równoważne dla przestrzeni topologicznej: ${\ displaystyle X}$ :

1. $zwarte$ .
2. $jest$ σ-zwarty słabo lokalnie zwarty .
3. $jest$ lokalnie zwarty .

(gdzie słabo lokalnie zwarty oznacza lokalnie zwarty w słabym sensie, że każdy punkt ma zwarte sąsiedztwo ).

hemicompact jest pośrednia między wyczerpywalnymi przez zbiory zwarte a σ-zwartymi . Każda przestrzeń wyczerpująca się przez zbiory zwarte jest hemizwarta, a każda przestrzeń hemizwarta jest σ-zwarta, ale implikacje odwrotne nie zachodzą. Na przykład przestrzeń Arensa-Forta i przestrzeń Apperta są półzwarte, ale nie wyczerpują się przez zbiory zwarte (ponieważ nie są słabo zwarte lokalnie), a zbiór liczb wymiernych o zwykłej topologii to ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ σ-zwarty, ale nie półzwarty.

Każda regularna przestrzeń , którą można wyczerpać przez zbiory zwarte, jest parazwarta .

Notatki

•   Leon Ehrenpreis , Theory of Distributions for Locally Compact Spaces , American Mathematical Society , 1982. ISBN 0-8218-1221-1 .
•   Hans Grauert i Reinhold Remmert , Teoria przestrzeni Steina , Springer Verlag (Classics in Mathematics), 2004. ISBN 978-3540003731 .
•   Lee, John M. (2011). Wprowadzenie do rozmaitości topologicznych (wyd. 2). Nowy Jork: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1 .

Linki zewnętrzne

• „Wyczerpanie zwartymi zestawami” . Planeta Matematyka .
• „Istnienie wyczerpania przez zbiory zwarte” . Wymiana stosu matematyki .