Przestrzeń półkompaktowa

W matematyce , w dziedzinie topologii , mówi się, że przestrzeń topologiczna jest półzwarta, jeśli ma ciąg zwartych podzbiorów takich, że każdy zwarty podzbiór przestrzeni leży wewnątrz jakiegoś zwartego zbioru w ciągu. Oczywiście zmusza to sumę ciągu do całej przestrzeni, ponieważ każdy punkt jest zwarty, a zatem musi leżeć w jednym ze zbiorów zwartych.

Przykłady

Każda przestrzeń zwarta jest półzwarta.
Prawdziwa linia to hemicompact.
Każda lokalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest półzwarta.

Nieruchomości

Każda przestrzeń hemizwarta jest σ-zwarta , a jeśli dodatkowo jest najpierw przeliczalna, to jest lokalnie zwarta .

Aplikacje

Jeśli jest przestrzenią półzwartą, to przestrzeń $M} do ( X , M )$ funkcji ciągłych $(X, M)}$ $M {\ Displaystyle$ do przestrzeni metrycznej ${\ Displaystyle (M, \ delta)}$ z topologią zwarto-otwartą jest metryzowalna . Aby to zobaczyć, weźmy sekwencję ${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, \ kropki}$ zwartych podzbiorów takich, że każdy zwarty podzbiór z $}$ $X$ leży wewnątrz jakiegoś zwartego zbioru w tej sekwencji ( istnienie takiej sekwencji wynika z $)$ . Zdefiniuj pseudometrię

{\ Displaystyle d_ {n} (f, g) = \ sup _ {x \ w K_ {n}} \ lewo | f (x) -g (x) \ prawo |, \ quad f, g \ w C ( X,M),n\w \mathbb {N} .}

Następnie

{\ Displaystyle d (f, g) = \ suma _ {n = 1} ^{\infty}{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}

$.$ metrykę na zwarto-

Zobacz też

Notatki

Willard, Stephen (2004). Topologia ogólna . Publikacje Dover. ISBN 0-486-43479-6 .
Conway, JB (1990). Kurs analizy funkcjonalnej . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5 .