Twierdzenie Stallingsa o końcach grup

W matematycznym przedmiocie teorii grup twierdzenie Stallingsa o końcach grup stwierdza, że skończenie generowana grupa G ma więcej niż jeden koniec wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G dopuszcza nietrywialny rozkład jako połączony wolny produkt lub rozszerzenie HNN na skończonym podgrupa . We współczesnym języku teorii Bassa-Serre'a twierdzenie mówi, że skończenie wygenerowana grupa G ma więcej niż jeden koniec wtedy i tylko wtedy, gdy G dopuszcza nietrywialne (to znaczy bez globalnego punktu stałego) działanie na uproszczonym drzewie ze skończonymi stabilizatorami krawędzi i bez inwersji krawędzi.

Twierdzenie zostało udowodnione przez Johna R. Stallingsa , najpierw w przypadku bez skrętu (1968), a następnie w przypadku ogólnym (1971).

Końce wykresów

grafem spójnym , w którym stopień każdego wierzchołka jest skończony. Można postrzegać Γ jako przestrzeń topologiczną , nadając jej naturalną strukturę jednowymiarowego kompleksu komórek . Wtedy końce Γ są końcami tej przestrzeni topologicznej. Bardziej wyraźna definicja liczby końców wykresu jest przedstawiona poniżej dla kompletności.

Niech n ≥ 0 będzie nieujemną liczbą całkowitą. Mówi się, że wykres Γ spełnia e (Γ) ≤ n , jeśli dla każdego skończonego zbioru F krawędzi Γ wykres Γ − F ma co najwyżej n nieskończenie połączonych składowych . Z definicji e (Γ) = m jeśli e (Γ) ≤ m i dla każdego 0 ≤ n < m stwierdzenie e (Γ) ≤ n jest fałszywe. Zatem e (Γ) = m jeśli m jest najmniejszą nieujemną liczbą całkowitą n taką, że e (Γ) ≤ n . Jeśli nie istnieje liczba całkowita n ≥ 0 taka, że e (Γ) ≤ n , wstaw e (Γ) = ∞. Liczba e (Γ) nazywana jest liczbą końców Γ.

Nieformalnie e (Γ) to liczba „połączonych elementów w nieskończoności” Γ. Jeśli e (Γ) = m < ∞, to dla dowolnego skończonego zbioru F krawędzi Γ istnieje skończony zbiór K krawędzi Γ z F ⊆ K taki, że Γ − F ma dokładnie m nieskończonych połączonych składowych. Jeżeli e (Γ) = ∞, to dla dowolnego skończonego zbioru F krawędzi Γ i dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 istnieje skończony zbiór K krawędzi Γ z F ⊆ K takich, że Γ - K ma co najmniej n nieskończenie połączonych składowych.

Końce grup

Niech G będzie skończenie generowaną grupą . Niech S ⊆ G będzie skończonym zbiorem generującym G i niech Γ( G , S ) będzie wykresem Cayleya G względem S . Liczba końców G jest zdefiniowana jako e ( G ) = e(Γ ( G , S )). Podstawowy fakt w teorii końców grup mówi, że e(Γ( G , S )) nie zależy od wyboru skończonego zespołu generującego S z G , tak że e ( G ) jest dobrze zdefiniowane.

Podstawowe fakty i przykłady

Dla skończenie wygenerowanej grupy G mamy e ( G ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy G jest skończona.
Dla nieskończonej grupy cyklicznej mamy mi $) = 2.$ $)$
Dla wolnej grupy abelowej $\ Displaystyle e (\ mathbb {Z} ^ {2})$ stopnia mamy mi $=$
Dla wolnej grupy F ( X ) gdzie 1 < | X | < ∞ mamy e ( fa ( X )) = ∞

Twierdzenia Freudenthala-Hopfa

Hans Freudenthal i niezależnie Heinz Hopf ustalili w latach czterdziestych XX wieku następujące dwa fakty:

Dla dowolnej skończenie wygenerowanej grupy G mamy e ( G ) ∈ {0, 1, 2, ∞}.
Dla dowolnej skończenie wygenerowanej grupy G mamy e ( G ) = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy G jest praktycznie nieskończoną cykliczną (to znaczy, że G zawiera nieskończoną cykliczną podgrupę o skończonym indeksie ).

Charles TC Wall udowodnił w 1967 następujący uzupełniający fakt:

Grupa G jest praktycznie nieskończona cyklicznie wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończoną normalną podgrupę W taką, że G/W jest albo nieskończoną cykliczną, albo nieskończoną dwuścienną .

Cięcia i prawie niezmienne zestawy

Niech G będzie skończenie generowaną grupą , S ⊆ G będzie skończonym zbiorem generującym G i niech Γ = Γ( G , S ) będzie wykresem Cayleya G względem S . Dla podzbioru A ⊆ G oznaczmy przez A ^∗ dopełnienie G - A z A w G .

Dla podzbioru A ⊆ G , granica krawędzi lub współgranica δA A składa się ze wszystkich (topologicznych) krawędzi Γ łączących wierzchołek z A z wierzchołkiem z A ^∗ . Zauważ, że z definicji δA = δA ^∗ .

Uporządkowaną parę ( A , A ^∗ ) nazywamy cięciem w Γ, jeśli δA jest skończone. Przekrój ( A , A ^∗ ) nazywamy istotnym , jeśli oba zbiory A i A ^∗ są nieskończone.

Podzbiór A ⊆ G nazywamy prawie niezmiennym , jeśli dla każdego g ∈ G różnica symetryczna między A i Ag jest skończona. Łatwo zauważyć, że ( A , A ^∗ ) jest przecięciem wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A i A ^∗ są prawie niezmienne (równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest prawie niezmienny).

Cięcia i końcówki

Prosta, ale ważna obserwacja stwierdza:

e ( G ) > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje co najmniej jedno zasadnicze przecięcie ( A , A ^∗ ) w Γ.

Cięcia i podziały na grupach skończonych

Jeśli G = H ∗ K , gdzie H i K są nietrywialnymi, skończenie generowanymi grupami , to wykres Cayleya G ma co najmniej jedno zasadnicze przecięcie, a zatem e ( G ) > 1. Rzeczywiście, niech X i Y będą skończonymi zbiorami generującymi dla H i K odpowiednio tak, że S = X ∪ Y jest skończonym zbiorem generującym dla G i niech Γ=Γ( G , S ) będzie wykresem Cayleya G względem S . Niech A składa się z elementu trywialnego i wszystkich elementów G , których wyrażenia w postaci normalnej dla G = H ∗ K zaczynają się od nietrywialnego elementu H . Zatem A ^∗ składa się ze wszystkich elementów G , których wyrażenia w postaci normalnej dla G = H ∗ K zaczyna się od nietrywialnego elementu K . Nietrudno zauważyć, że ( A , A ^∗ ) jest istotnym cięciem w Γ tak, że e ( G ) > 1.

Bardziej precyzyjna wersja tego argumentu pokazuje, że dla skończenie wygenerowanej grupy G :

Jeśli G = H ∗ _C K jest iloczynem swobodnym z amalgamacją , gdzie C jest grupą skończoną taką, że C ≠ H i C ≠ K , to H i K są skończenie generowane i e ( G ) > 1 .
Jeśli ${\ Displaystyle \ scriptstyle G = \ langle H, t | t ^ {-1} C_ {1} t = C_ {2} \ rangle} jest$ rozszerzeniem HNN, gdzie C ₁ , C ₂ są izomorficznymi skończonymi podgrupami H , to G jest grupą skończenie generowaną i e ( G ) > 1.

Twierdzenie Stallingsa pokazuje, że odwrotność jest również prawdziwa.

Formalne stwierdzenie twierdzenia Stallingsa

Niech G będzie skończenie generowaną grupą .

Wtedy e ( G ) > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z następujących warunków:

Grupa G dopuszcza rozszczepienie G = H ∗ _C K jako wolny produkt z amalgamacją , gdzie C jest skończoną grupą taką, że C ≠ H i C ≠ K .
Grupa G jest rozszerzeniem HNN ${\ Displaystyle \ scriptstyle G = \ langle H, t | t ^ {-1} C_ {1} t = C_ {2} \ rangle}$ _gdzie i do ₁ , do 2 są izomorficzne skończone podgrupy H .

W języku teorii Bassa-Serre'a wynik ten można przekształcić w następujący sposób: dla skończenie wygenerowanej grupy G mamy e ( G ) > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy G dopuszcza nietrywialne (to znaczy bez globalnego ustalonego wierzchołka) działanie na uproszczone drzewo ze skończonymi stabilizatorami krawędzi i bez inwersji krawędzi.

W przypadku, gdy G jest skończenie generowaną grupą bezskrętną , twierdzenie Stallingsa implikuje, że e ( G ) = ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy G dopuszcza właściwy rozkład swobodnego produktu G = A ∗ B z nietrywialnymi A i B.

Zastosowania i uogólnienia

Jednym z bezpośrednich zastosowań twierdzenia Stallingsa było udowodnienie przez Stallingsa długoletniej hipotezy, że każda skończenie wygenerowana grupa o wymiarze kohomologicznym jeden jest wolna i że każda grupa praktycznie wolna od torsji jest wolna .
Twierdzenie Stallingsa implikuje również, że właściwość posiadania nietrywialnego podziału na skończonej podgrupie jest niezmiennikiem quasi-izometrii skończenie wygenerowanej grupy, ponieważ liczba końców skończenie wygenerowanej grupy jest łatwo postrzegana jako niezmiennik quasi-izometrii. Z tego powodu twierdzenie Stallingsa jest uważane za jeden z pierwszych wyników geometrycznej teorii grup .
Twierdzenie Stallingsa było punktem wyjścia dla teorii dostępności Dunwoody'ego . Mówimy , że skończenie wygenerowana grupa G jest dostępna , jeśli proces iteracyjnego nietrywialnego podziału G na skończone podgrupy zawsze kończy się skończoną liczbą kroków. Zgodnie z teorią Bassa-Serre'a liczba krawędzi w zredukowanym podziale G jako podstawowej grupy wykresu grup o skończonych grupach krawędzi jest ograniczona pewną stałą zależną od G . Dunwoody'ego udowodnił, że każda skończenie przedstawiona grupa jest dostępna, ale istnieją skończenie wygenerowane grupy , które nie są dostępne. Linnell wykazał, że jeśli ograniczy się rozmiar skończonych podgrup, na których dokonuje się podziału, to każda skończenie generowana grupa jest również dostępna w tym sensie. Wyniki te z kolei dały początek innym wersjom dostępności, takim jak Bestviny -Feighna grup skończonych (gdzie rozważane są tzw. „małe” podziały), dostępność acylindryczna, dostępność silna i inne.
Twierdzenie Stallingsa jest kluczowym narzędziem do udowodnienia, że skończenie wygenerowana grupa G jest praktycznie dowolna wtedy i tylko wtedy, gdy G można przedstawić jako podstawową grupę skończonego grafu grup , w którym wszystkie grupy wierzchołków i krawędzi są skończone (zob. ).
Korzystając z wyniku dostępności Dunwoody'ego, twierdzenia Stallingsa o końcach grup oraz faktu, że jeśli G jest skończoną grupą o asymptotycznym wymiarze 1, to G jest praktycznie swobodny, można pokazać, że dla skończenie przedstawionej grupy hiperbolicznej G hiperboliczna granica G ma wymiar topologiczny zero wtedy i tylko wtedy, gdy G jest praktycznie swobodny.
Rozważono również względne wersje twierdzenia Stallingsa i względne końce skończenie generowanych grup w odniesieniu do podgrup. Dla podgrupy H ≤ G skończenie generowanej grupy G liczbę względnych końców e ( G , H ) definiuje się jako liczbę końców względnego wykresu Cayleya ( wykresu coset Schreiera ) G względem H . Przypadek, w którym e ( G , H )>1 nazywamy półpodziałem G na H . Wczesne prace nad półpodziałami, zainspirowane twierdzeniem Stallingsa, zostały wykonane w latach 70. i 80. XX wieku przez Scotta, Swarupa i innych. Prace Sageeva i Gerasimova w latach 90. wykazały, że dla podgrupy H ≤ G warunek e ( G , H )> 1 odpowiada grupie G dopuszczającej istotne działanie izometryczne na kostkę CAT (0) , gdzie podgrupa współmierna z H stabilizuje niezbędną „hiperpłaszczyznę” (drzewo uproszczone jest przykładem kostki CAT (0), w której hiperpłaszczyzny są środkami krawędzi). W pewnych sytuacjach taki półpodział można promować do rzeczywistego podziału algebraicznego, zwykle na podgrupę współmierną z H , na przykład w przypadku, gdy H jest skończony ( twierdzenie Stallingsa ). Inną sytuacją, w której można uzyskać rzeczywiste rozszczepienie (modulo z kilkoma wyjątkami), jest półrozszczepienie na praktycznie policykliczne podgrupy. Tutaj przypadek półpodziału grup hiperbolicznych słów ponad dwukońcowymi (praktycznie nieskończonymi cyklicznymi) podgrupami potraktowali Scott-Swarup i Bowditch . Przypadek półpodziału skończenie generowanych grup w odniesieniu do podgrup praktycznie policyklicznych jest rozpatrywany przez algebraiczne twierdzenie torusa Dunwoody'ego-Swensona.

Szereg nowych dowodów twierdzenia Stallingsa zostało uzyskanych przez innych po oryginalnym dowodzie Stallingsa. Dunwoody przedstawił dowód oparty na idei cięć krawędziowych. Później Dunwoody dał również dowód twierdzenia Stallingsa dla skończenie przedstawionych grup, używając metody „śladów” na skończonych 2-zespołach. Niblo uzyskał dowód twierdzenia Stallingsa w wyniku względnej wersji kostkowania CAT (0) Sageeva, w której kostka CAT (0) jest ostatecznie promowana do bycia drzewem. Artykuł Niblo definiuje również abstrakcyjną przeszkodę z teorii grup (która jest połączeniem podwójnych cosetów H w G ) w celu uzyskania rzeczywistego podziału z pół-podziału. Możliwe jest również udowodnienie twierdzenia Stallingsa dla skończenie przedstawionych grup przy użyciu technik geometrii Riemanna minimalnych powierzchni , gdzie najpierw realizuje się skończenie przedstawioną grupę jako grupę podstawową zwartej 4-rozmaitości (patrz na przykład szkic tego argumentu w artykule sondażowym Wall ). Gromow nakreślił dowód (patrz s. 228–230 w ), w którym argument minimalnych powierzchni zostaje zastąpiony argumentem łatwiejszej analizy harmonicznej, a Kapovich posunął dalej to podejście, aby objąć pierwotny przypadek skończenie generowanych grup.

Zobacz też

Notatki

Twierdzenie Stallingsa o ​​końcach grup