Teoria Bassa-Serre'a

Teoria Bassa-Serre'a jest częścią matematycznego przedmiotu teorii grup , który zajmuje się analizą algebraicznej struktury grup działających przez automorfizmy na drzewach symplicalnych . Teoria wiąże działania grupowe na drzewach z grupami rozkładającymi się jako iteracyjne zastosowania operacji swobodnego iloczynu z amalgamacją i rozszerzeniem HNN , poprzez pojęcie grupy podstawowej grafu grup . Teorię Bassa-Serre'a można uznać za jednowymiarową wersję teorii orbifoldu .

Historia

Teoria Bassa-Serre'a została opracowana przez Jean-Pierre'a Serre'a w latach siedemdziesiątych XX wieku i sformalizowana w Trees , monografii Serre'a z 1977 roku (opracowanej we współpracy z Hymanem Bassem ) na ten temat. Pierwotną motywacją Serre'a było zrozumienie struktury pewnych grup algebraicznych , których budynki Bruhat-Tits są drzewami. Jednak teoria szybko stała się standardowym narzędziem geometrycznej teorii grup i topologii geometrycznej , w szczególności badania 3-rozmaitości . Późniejsze prace Bassa w znacznym stopniu przyczyniły się do sformalizowania i rozwoju podstawowych narzędzi teorii, a obecnie termin „teoria Bassa-Serre'a” jest szeroko stosowany do opisania tematu.

Z matematycznego punktu widzenia teoria Bassa-Serre'a opiera się na wykorzystaniu i uogólnieniu właściwości dwóch starszych konstrukcji teorii grup: swobodnego produktu z połączeniem i rozszerzenia HNN . Jednak w przeciwieństwie do tradycyjnego badania algebraicznego tych dwóch konstrukcji, teoria Bassa-Serre'a wykorzystuje geometryczny język teorii obejmującej i grup podstawowych . Grafy grup , które są podstawowymi obiektami teorii Bassa-Serre'a, można postrzegać jako jednowymiarowe wersje orbifoldów .

Oprócz książki Serre'a podstawowe omówienie teorii Bassa-Serre'a jest dostępne w artykule Bassa, artykule G. Petera Scotta i CTC Wall oraz w książkach Allena Hatchera , Gilberta Baumslaga , Warrena Dicksa i Martina Dunwoody'ego oraz Daniela E. Cohena.

Podstawowe ustawienia

Grafy w sensie Serre'a

grafów Serre'a różni się nieco od standardowego formalizmu z teorii grafów . Tutaj wykres A składa się ze zbioru wierzchołków V , zbioru krawędzi E , mapy odwrócenia krawędzi ${\ Displaystyle E \ do mi, \ e \ mapsto {\ overline {e}}}$ takie, że mi ≠ mi i ${\ Displaystyle {\ overline {\ overline {e}}} = e}$ dla każdego e w mi i początkowa mapa wierzchołków ${\ displaystyle o \ okrężnica E \ do V}$ . Zatem w A każda krawędź e jest wyposażona w swoją formalną odwrotność e . Wierzchołek o ( e ) jest nazywany początkiem lub początkowym wierzchołkiem e , a wierzchołek o ( e ) jest nazywany końcem e i jest oznaczony jako t ( e ). Dozwolone są zarówno krawędzie pętli (czyli krawędzie e takie, że o ( e ) = t ( e )), jak i krawędzie wielokrotne . Orientacja na A jest podziałem E na sumę dwóch rozłącznych podzbiorów E ⁺ i E ⁻ tak, że dla każdej krawędzi e dokładnie jedna z krawędzi z pary e , e należy do E ⁺ , a druga do E ⁻ .

Wykresy grup

Wykres grup A składa się z następujących danych:

• Spójny graf A ;
• Przypisanie grupy wierzchołków A _v do każdego wierzchołka v z A .
• Przypisanie grupy krawędzi ZA _e do każdej krawędzi e A tak, że mamy $A_ {e} = A _ {\ overline {e}}}$ Displaystyle dla każdego mi ∈ mi .
• Monomorfizmy brzegowe ${\ Displaystyle \ alfa _ {e}: A_ {e} \ do A_ {o (e)}}$ dla wszystkich krawędzi e z A , tak że każdy ${ \displaystyle \alpha _{e}}$ jest iniekcyjnym homomorfizmem grupowym .

mi ${\ Displaystyle e \ w mi}$ mapa $\ Displaystyle \ alfa _ {\ overline {e}} \ dwukropek A_ {e} \ do A_ { t (e)}}$ jest również oznaczane przez ${\ Displaystyle \ omega _ {e}}$ .

Podstawowa grupa wykresu grup

Istnieją dwie równoważne definicje pojęcia grupy podstawowej wykresu grup: pierwsza to bezpośrednia definicja algebraiczna poprzez jawną prezentację grupy (jako pewne iterowane zastosowanie połączonych produktów wolnych i rozszerzeń HNN ), a druga za pomocą język groupoidów .

Definicja algebraiczna jest łatwiejsza do sformułowania:

Najpierw wybierz drzewo rozpinające T w A . Podstawowa grupa A względem T , oznaczona jako π ₁ ( A , T ), jest zdefiniowana jako iloraz swobodnego iloczynu

${\ Displaystyle (\ ast _ {v \ in V} A_ {v}) \ ast F (E)}$

gdzie F ( E ) jest grupą swobodną z wolną bazą E , podlegającą następującym relacjom:

• ${\ Displaystyle {\ overline {e}} \ alfa _ {e} (g) e = \ alfa _ {\ overline {e}} (g)}$ dla każdego e w mi i każdego ${\ displaystyle g \ in A_ {e}}$ . (Tak zwana relacja Bassa-Serre'a ).
• mi mi = 1 dla każdego e w mi .
• e = 1 dla każdej krawędzi e drzewa rozpinającego T .

Istnieje również pojęcie grupy podstawowej A względem wierzchołka podstawy v w V , oznaczonej π ₁ ( A , v ), która jest zdefiniowana za pomocą formalizmu grupoid . Okazuje się, że dla każdego wyboru wierzchołka podstawy v i każdego drzewa rozpinającego T w A grupy π ₁ ( A , T ) i π ₁ ( A , v ) są naturalnie izomorficzne .

Podstawowa grupa grafu grup ma również naturalną interpretację topologiczną: jest to podstawowa grupa grafu przestrzeni, którego przestrzenie wierzchołków i przestrzenie krawędzi mają odpowiednio grupy podstawowe grup wierzchołków i grup krawędzi, i której mapy sklejające indukuj homomorfizmy grup krawędziowych do grup wierzchołków. Można zatem przyjąć to jako trzecią definicję podstawowej grupy grafu grup.

Podstawowe grupy grafów grup jako iteracje połączonych produktów i rozszerzeń HNN

grupa G = π ₁ ( A , T ) dopuszcza opis algebraiczny w kategoriach iterowanych połączonych iloczynów swobodnych i rozszerzeń HNN . Najpierw utwórz grupę B jako iloraz wolnego produktu

${\ Displaystyle (\ ast _ {v \ in V} A_ {v}) * F (E ^ {+} T)}$

podlegają stosunkom

• mi ^-1 α _mi ( sol ) mi = ω _mi ( sol ) dla każdego mi w mi ⁺ T i każdego ${\ Displaystyle g \ in A_ {e}}$ .
• mi = 1 dla każdego e w E ⁺ T .

Tę prezentację można przepisać jako

$\ Displaystyle B = \ ast _ {v \ w V }A_{v}/{\rm {ncl}}\{\alpha _{e}(g)=\omega _{e}(g),{\text{gdzie }}e\w E^{+} T,g\w G_{e}\}}$

co pokazuje, że B jest iterowanym , połączonym wolnym iloczynem grup wierzchołków A _v .

Wtedy grupa G = π ₁ ( A , T ) ma prezentację

${\ Displaystyle \ langle B, E ^ {+} (AT) | e ^ {-1}\alpha _{e}(g)e=\omega _{e}(g){\text{ gdzie }}e\in E^{+}(AT),g\in G_{e} \rangle ,}$

, że G = π ₁ ( A , T ) jest wielokrotnym rozszerzeniem HNN B ze stabilnymi literami ${\ Displaystyle \ {e | e \ w E ^ {+} (AT) \}}$ .

Podziały

Izomorfizm między grupą G a podstawową grupą grafu grup nazywamy rozszczepieniem G . Jeśli grupy krawędzi w rozszczepieniu pochodzą z określonej klasy grup (np. skończonej, cyklicznej, abelowej itp.), mówi się, że rozszczepienie jest rozszczepieniem na tę klasę. Zatem podział, w którym wszystkie grupy krawędzi są skończone, nazywa się podziałem na grupy skończone.

Algebraicznie, rozszczepienie G z trywialnymi grupami krawędzi odpowiada swobodnemu rozkładowi produktu

${\ Displaystyle G = (\ ast A_ {v}) \ ast F (X)}$

gdzie F ( X ) jest grupą swobodną z dowolną bazą X = E ⁺ ( A - T ) składającą się ze wszystkich dodatnio zorientowanych krawędzi (w odniesieniu do pewnej orientacji na A ) w dopełnieniu pewnego drzewa rozpinającego T z A .

Twierdzenie o postaciach normalnych

Niech g będzie elementem G = π ₁ ( A , T ) reprezentowanym jako iloczyn formy

${\ Displaystyle g = a_ {0} e_ {1} a_ {1} \ kropki e_ {n} a_ {n},}$

₀₀₀ gdzie e ₁ , ..., en ₍ jest zamkniętą ścieżką krawędziową w A z sekwencją wierzchołków v , v ₁ , ..., v _n = v czyli v = o ( e ₁ ), v _n = t ( mi _n ) i v _ja = t ( mi _ja ) = o ( mi _{ja +1} ) dla 0 < ja < n ) i gdzie za $\ Displaystyle a_ {i} \ w A_ {v_ {i }}}$ dla i = 0, ..., n .

Załóżmy, że g = 1 w G . Następnie

• ₀ albo n = 0 i za = 1 w ${\ Displaystyle A_ {v_ {0}}}$ ,
• lub n > 0 i jest jakieś 0 < ja < n takie, że mi _{ja +1} = mi _ja i ${\ Displaystyle a_ {i} \ w \ omega _ {e_ {i }}(A_{e_{i}})}$ .

Twierdzenie o postaciach normalnych natychmiast implikuje, że kanoniczne homomorfizmy A _v → π ₁ ( A , T ) są iniekcyjne, więc możemy myśleć o grupach wierzchołków A _v jako podgrupach G .

Higgins dał ładną wersję postaci normalnej, używając podstawowej grupoidy grafu grup. Pozwala to uniknąć wyboru punktu bazowego lub drzewa i zostało wykorzystane przez Moore'a.

Bass-Serre obejmujący drzewa

Do każdego wykresu grup A , z określonym wyborem wierzchołka podstawy, można powiązać drzewo $pokrywające$ -Serre'a , które jest drzewem, które wyposażone w naturalne działanie grupowe grupy podstawowej π ₁ ( A , v ) bez inwersji krawędzi. $_$ , ilorazu _ _ .

Podobnie, jeśli G jest grupą działającą na drzewie X bez inwersji krawędzi (to znaczy, że dla każdej krawędzi e z X i każdego g w G mamy ge ≠ e ), można zdefiniować naturalne pojęcie wykresu ilorazu z grup A. Podstawowym wykresem A z A jest wykres ilorazu X/G . Grupy wierzchołków A są izomorficzne ze stabilizatorami wierzchołków w G wierzchołków X , a grupy krawędzi A są izomorficzne ze stabilizatorami krawędzi w G krawędzi X.

Ponadto, jeśli X było drzewem obejmującym Bassa-Serre'a grafu grup A i jeśli G = π ₁ ( A , v ), to wykres ilorazu grup dla działania G na X można wybrać tak, aby był naturalnie izomorficzny z A .

Podstawowe twierdzenie teorii Bassa-Serre'a

Niech G będzie grupą działającą na drzewie X bez inwersji. Niech A będzie wykresem ilorazowym grup i niech v będzie wierzchołkiem podstawy w A . Wtedy G jest izomorficzne z grupą π ₁ ( ZA , v ) i istnieje izomorfizm ekwiwariantny między drzewem X a drzewem pokrywającym Bassa-Serre'a ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mathbf {A}}}}$ . Dokładniej, istnieje izomorfizm grupy σ: sol → π ₁ ( ZA , v ) i izomorfizm wykresu ${\ Displaystyle j: X \ do {\ tylda {\ mathbf {A}}}}$ taki że dla każdego g w G , dla każdego wierzchołka x z X i dla każdej krawędzi e z X mamy j ( gx ) = g j ( x ) i j ( ge ) = g j ( e ).

Wynik ten jest również znany jako twierdzenie o strukturze .

Jedną z bezpośrednich konsekwencji jest klasyczne twierdzenie Kurosza o podgrupach opisujące algebraiczną strukturę podgrup produktów swobodnych .

Przykłady

Połączony darmowy produkt

Rozważmy graf grup A składający się z pojedynczej niezapętlonej krawędzi e (wraz z jej formalną odwrotnością e ) z dwoma różnymi wierzchołkami końcowymi u = o ( e ) i v = t ( e Au ₎ , grupy wierzchołków H = , K = ZA _v , grupa krawędzi C = ZA _e i monomorfizmy brzegowe ${\ Displaystyle \ alfa = \ alfa _ {e}: C \ do H ,\omega =\omega _{e}:C\to K}$ . Wtedy T = A jest drzewem rozpinającym w A , a podstawowa grupa π ₁ ( A , T ) jest izomorficzna z amalgamatem wolnego iloczynu

${\ Displaystyle G = H \ ast _ {C} K = H \ ast K / {\ rm {ncl}} \ {\ alfa (c) = \ omega (c), c \ w C \}.}$

$tym$ przypadku drzewo Bassa-Serre'a następujący sposób Zbiór wierzchołków X jest zbiorem cosetów

${\ Displaystyle VX = \ {gK: g \ w G \} \ sqcup \ {gH: g \ w G \}.}$

Dwa wierzchołki gK i fH sąsiadują w X zawsze, gdy istnieje k ∈ K takie, że fH = gkH (lub równoważnie, gdy istnieje h ∈ H takie, że gK = fhK ).

G -stabilizator każdego wierzchołka X typu gK jest równy gKg ⁻¹ , a G -stabilizator każdego wierzchołka X typu gH jest równy gHg ⁻¹ . Dla krawędzi [ gH , ghK ] X jej stabilizator G jest równy gh α( C ) h ⁻¹ g ⁻¹ .

Dla każdego c ∈ C i h ∈ ' k ∈ K' krawędzie [ gH , ghK ] i [ gH, gh α( c ) K ] są równe i stopień wierzchołka gH w X jest równy indeksowi [ H : α( C )]. Podobnie każdy wierzchołek typu gK ma stopień [ K :ω( C )] w X .

rozszerzenie HNN

Niech A będzie grafem grup składających się z pojedynczej krawędzi pętli e (wraz z jej formalną odwrotnością e ), pojedynczego wierzchołka v = o ( e ) = t ( e ), grupy wierzchołków B = A _v , grupy krawędzi do = A _mi i monomorfizmy brzegowe ${\ Displaystyle \ alpha = \ alfa _ {e}: C \ do B, \ omega = \ omega _ { e}:C\do B}$ . Wtedy T = v jest drzewem rozpinającym w A i podstawowa grupa π ₁ ( A , T ) jest izomorficzna z rozszerzeniem HNN

${\ Displaystyle G = \ langle B, e | e ^ {- 1} \ alfa (c) e = \ omega (c), c \ w C \ rangle.}$

z grupą podstawową B , stabilną literą e i powiązanymi podgrupami H = α ( C ), K = ω ( C ) w B . Kompozycja $_$ _ _ _ przepisany jako

${\ Displaystyle G = \ langle B, e | e ^ {-1} on = \ phi (h), h \ w H \ rangle. \,}$

$tym$ przypadku drzewo Bassa-Serre'a następujący sposób Zbiór wierzchołków X jest zbiorem cosetów VX = { gB : g ∈ G }.

Dwa wierzchołki gB i fB sąsiadują ze sobą w X zawsze, gdy istnieje b w B takie, że fB = gbeB lub fB = gbe ⁻¹ B . Stabilizator G każdego wierzchołka X jest sprzężony z B w G , a stabilizator każdej krawędzi X jest sprzężony z H w ​​G. Każdy wierzchołek X ma stopień równy [ B : H ] + [ B : K ].

Graf z trywialnym wykresem struktury grup

Niech A będzie grafem grup z grafem bazowym A takim, że wszystkie grupy wierzchołków i krawędzi w A są trywialne. Niech v będzie wierzchołkiem podstawy w A . Wtedy π ₁ ( A , v ) jest równe podstawowej grupie π ₁ ( A , v ) podstawowego wykresu A w standardowym sensie topologii algebraicznej i drzewa pokrywającego Bassa-Serre'a ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mathbf {A}}}}$ jest równa standardowej uniwersalnej przestrzeni obejmującej $\ tylda {A}}}$ { A . Co więcej, działanie π ₁ ( ZA , v ) na ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mathbf {A}}}}$ jest dokładnie standardową akcją π ₁ ( ZA , v ) na ${\ displaystyle { \tilde {A}}}$ przez transformacje talii .

Podstawowe fakty i właściwości

• Jeśli A jest grafem grup z drzewem rozpinającym T i jeśli G = π ₁ ( A , T ), to dla każdego wierzchołka v A homomorfizm kanoniczny od A _v do G jest iniekcyjny .
• Jeśli g ∈ G jest elementem skończonego rzędu, to g jest sprzężone w G z elementem skończonego rzędu w jakiejś grupie wierzchołków A _v .
• Jeśli F ≤ G jest skończoną podgrupą, to F jest sprzężone w G z podgrupą pewnej grupy wierzchołków A _v .
• Jeśli graf A jest skończony i wszystkie grupy wierzchołków Av _, są skończone, to grupa G jest praktycznie swobodna to znaczy G zawiera wolną podgrupę o skończonym indeksie.
• Jeśli A jest skończone i wszystkie grupy wierzchołków A _v są skończenie generowane, to G jest generowany skończenie.
• Jeśli A Ae _jest skończone i wszystkie grupy wierzchołków Av _G są skończenie przedstawione i wszystkie grupy krawędzi są skończenie generowane, to jest skończenie przedstawione.

Działania trywialne i nietrywialne

Graf grup A nazywamy trywialnym , jeśli A = T jest już drzewem i istnieje jakiś wierzchołek v A taki, że A _v = π ₁ ( A , A ). Jest to równoważne z warunkiem, że A jest drzewem i że dla każdej krawędzi e = [ u , z ] A (gdzie o ( e ) = u , t ( e ) = z ) taka, że ​​u jest bliższe v niż z mamy [ A _z : ω _e ( A _e )] = 1, czyli A _z = ω _e ( A _e ).

Działanie grupy G na drzewie X bez inwersji krawędzi nazywamy trywialnym , jeśli istnieje wierzchołek x z X , który jest ustalony przez G , to znaczy taki, że Gx = x . Wiadomo, że działanie G na X jest trywialne wtedy i tylko wtedy, gdy wykres ilorazu grup dla tego działania jest trywialny.

Zazwyczaj w teorii Bassa-Serre'a badane są tylko nietrywialne działania na drzewach, ponieważ trywialne grafy grup nie niosą żadnych interesujących informacji algebraicznych, chociaż trywialne działania w powyższym znaczeniu (np. Działania grup przez automorfizmy na ukorzenionych drzewach) mogą być również interesujące dla inne matematyczne przyczyny.

Jednym z klasycznych i wciąż ważnych wyników teorii jest twierdzenie Stallingsa o ​​końcach grup. Twierdzenie stwierdza, że ​​​​skończenie wygenerowana grupa ma więcej niż jeden koniec wtedy i tylko wtedy, gdy ta grupa dopuszcza nietrywialny podział na skończone podgrupy, to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy grupa dopuszcza nietrywialne działanie bez inwersji na drzewie ze skończonymi stabilizatorami krawędzi.

Ważny ogólny wynik teorii stwierdza, że ​​​​jeśli G jest grupą o własności Kazhdana (T), to G nie dopuszcza żadnego nietrywialnego podziału, to znaczy, że każde działanie G na drzewie X bez inwersji krawędzi ma globalny stały wierzchołek .

Funkcje długości hiperbolicznej

Niech G będzie grupą działającą na drzewie X bez inwersji krawędzi.

Dla każdego g ∈ G umieścić

${\ Displaystyle \ ell _ {X} (g) = \ min \ {d (x, gx) | x \ w VX \}.}$

Wtedy ℓ _X ( g ) nazywamy długością translacji g na X .

Funkcja

${\ Displaystyle \ ell _ {X}: G \ do \ mathbf {Z} \ quad g \ w G \ mapsto \ ell _ {X} ( G)}$

nazywa się funkcją długości hiperbolicznej lub funkcją długości translacji dla działania G na X .

Podstawowe fakty dotyczące hiperbolicznych funkcji długości

• Dla g ∈ G jest spełniony dokładnie jeden z następujących warunków:

(a) ℓ _X ( g ) = 0 i g ustala wierzchołek G . W tym przypadku g nazywamy elementem eliptycznym G . (

b ) ℓ _X ( g ) > 0 i istnieje unikalna bi-nieskończona linia osadzona w X , zwana osią g i oznaczona jako L _g , która jest g -niezmienna. W tym przypadku g oddziałuje na L _g przez translację wielkości ℓ _X ( g ) , a element g ∈ G nazywany jest hiperbolicznym .

• Jeśli ℓ _X ( G ) ≠ 0 to istnieje unikalne minimalne G- niezmienne poddrzewo X _G od X . Ponadto X _G jest równe sumie osi hiperbolicznych elementów G .

, że funkcja długości ℓ _X : G → Z jest abelowa , jeśli jest homomorfizmem grupowym od G do Z , aw przeciwnym razie nieabelowa . Podobnie, mówi się, że działanie G na X jest abelowe , jeśli powiązana funkcja długości hiperbolicznej jest abelowa, aw przeciwnym razie mówi się, że jest nieabelowe .

Ogólnie mówi się, że działanie G na drzewo X bez inwersji krawędzi jest minimalne , jeśli w X nie ma odpowiednich G -niezmiennych poddrzew .

Ważny fakt w teorii mówi, że minimalne nieabelowe działania drzewa są jednoznacznie określone przez ich hiperboliczne funkcje długości:

Twierdzenie o jedyności

Niech G będzie grupą z dwoma nieabelowymi działaniami minimalnymi bez inwersji krawędzi na drzewach X i Y . Załóżmy, że hiperboliczne funkcje długości ℓ _X i ℓ _Y na G są równe, to znaczy ℓ _X ( g ) = ℓ _Y ( g ) dla każdego g ∈ G . Wówczas działania G na X i Y są równe w tym sensie, że istnieje izomorfizm grafu f : X → Y , który jest G -ekwiwariantny, czyli f ( gx ) = g f ( x ) dla każdego g ∈ G i każdego x ∈ VX .

Ważne zmiany w teorii Bassa-Serre'a

Ważne zmiany w teorii Bassa-Serre'a w ciągu ostatnich 30 lat obejmują:

• Różne wyniki dostępności dla skończenie przedstawionych grup , które ograniczają złożoność (czyli liczbę krawędzi) na wykresie rozkładu grup skończenie przedstawionej grupy, gdzie nałożone są pewne ograniczenia algebraiczne lub geometryczne na typy rozważanych grup. Wyniki te obejmują:
  • Twierdzenie Dunwoody'ego o dostępności skończenie przedstawionych grup stwierdzające, że dla dowolnej skończenie przedstawionej grupy G istnieje granica złożoności rozszczepień G na skończone podgrupy (podziały muszą spełniać techniczne założenie, że są „zredukowane”);
  • Uogólnione twierdzenie Bestviny-Feighna o dostępności stwierdzające, że dla dowolnej skończenie przedstawionej grupy G istnieje granica złożoności zredukowanych rozszczepień G na małe podgrupy (klasa małych grup obejmuje w szczególności wszystkie grupy, które nie zawierają nieabelowych swobodnych podgrupy);
  • Acylindryczne wyniki dostępności dla skończenie przedstawionych (Sela , Delzant) i skończenie generowanych (Weidmann) grup, które wiążą złożoność tzw . G są jednostajnie ograniczone.
• Teoria rozkładów JSJ dla grup skończenie przedstawionych. Teoria ta była motywowana klasycznym pojęciem dekompozycji JSJ w topologii 3-rozmaitościowej i została zapoczątkowana, w kontekście grup hiperbolicznych , przez pracę Seli. Dekompozycje JSJ to rozszczepienia skończenie przedstawionych grup na pewne klasy małych podgrup (cyklicznych, abelowych, noetherowskich itp., w zależności od wersji teorii), które dostarczają kanonicznego opisu, w kategoriach pewnych standardowych ruchów, wszystkich rozszczepień grupa nad podgrupami klasy. Istnieje kilka wersji teorii rozkładu JSJ:
  • Początkowa wersja Sela dla cyklicznych podziałów bezskrętnych grup hiperbolicznych .
  • Bowditcha teorii JSJ dla grup hiperbolicznych (z możliwym skręcaniem) kodująca ich podziały na praktycznie cykliczne podgrupy.
  • Wersja dekompozycji Ripsa i Sela z JSJ bezskrętnych skończenie przedstawionych grup kodujących ich rozszczepienia na swobodnych podgrupach abelowych .
  • Wersja dekompozycji JSJ Dunwoody'ego i Sageeva skończenie przedstawionych grup na podgrupach noetherowskich.
  • Wersja Fujiwary i Papasoglu, a także dekompozycje JSJ grup skończenie przedstawionych na podgrupach noetherowskich .
  • Wersja teorii dekompozycji JSJ dla skończenie przedstawionych grup, opracowana przez Scotta i Swarupa.

• Teoria krat w grupach automorfizmów drzew. Teorię krat drzewnych opracowali Bass, Kulkarni i Lubotzky przez analogię z teorią sieci w grupach Liego (czyli dyskretnych podgrupach grup Liego o skończonej kowa objętości). Dla dyskretnej podgrupy G grupy automorfizmów drzewa lokalnie skończonego X można zdefiniować naturalne pojęcie objętości dla wykresu ilorazu grup A jako

${\ Displaystyle vol (\ mathbf {A}) = \ suma _ {v \ in V} {\ frac {1} {| A_ {v} |}}.}$

Grupa G nazywana jest kratą X, jeśli vol ( A )< ∞. Teoria sieci drzew okazuje się przydatna w badaniu dyskretnych podgrup grup algebraicznych na polach lokalnych innych niż archimedesowe oraz w badaniu grup Kaca-Moody'ego.

• Rozwój fałd i metod Nielsena do aproksymacji działań grupowych na drzewach i analizy struktury ich podgrup.
• Teoria końców i względnych końców grup, w szczególności różne uogólnienia twierdzenia Stallingsa o ​​grupach z więcej niż jednym końcem.
• Wyniki sztywności quasi-izometrycznej dla grup działających na drzewach.

Uogólnienia

Było kilka uogólnień teorii Bassa-Serre'a:

• Teoria kompleksów grup (patrz Haefliger, Corson Bridson-Haefliger) zapewnia wielowymiarowe uogólnienie teorii Bassa-Serre'a. Pojęcie wykresu grup zostaje zastąpione pojęciem kompleksu grup, w którym grupy są przypisane do każdej komórki w kompleksie uproszczonym, wraz z monomorfizmami między tymi grupami odpowiadającymi inkluzjom twarzy (te monomorfizmy są wymagane, aby spełnić określone warunki zgodności) . Można wtedy zdefiniować analogię grupy podstawowej wykresu grup dla zespołu grup. Jednak, aby to pojęcie miało dobre właściwości algebraiczne (takie jak osadzenie w nim grup wierzchołków) i aby dobry analog dla pojęcia drzewa pokrywającego Bassa-Serre'a istniał w tym kontekście, trzeba wymagać pewnego rodzaju warunek „niedodatniej krzywizny” dla danego zespołu grup (patrz na przykład ).
• Teoria izometrycznych działań grupowych na drzewach rzeczywistych (lub R -drzewach), które są przestrzeniami metrycznymi uogólniającymi grafowo-teoretyczne pojęcie drzewa (teoria grafów) . Teoria została rozwinięta w dużej mierze w latach 90. XX wieku, gdzie kluczową rolę odegrała maszyna Ripsa Eliyahu Ripsa na teorii struktury stabilnych działań grupowych na drzewach R (patrz Bestvina-Feighn). Ta teoria struktury przypisuje stabilnemu działaniu izometrycznemu skończenie wygenerowanej grupy G pewne przybliżenie tego działania do „postaci normalnej” przez stabilne działanie G na drzewo uproszczone, a tym samym rozszczepienie G w sensie teorii Bassa-Serre'a. Działania grupowe na rzeczywistych drzewach pojawiają się naturalnie w kilku kontekstach topologii geometrycznej : na przykład jako punkty graniczne przestrzeni Teichmüllera (każdy punkt na granicy Thurstona przestrzeni Teichmüllera jest reprezentowany przez zmierzoną geodezyjną laminację na powierzchni; ta laminacja podnosi się do uniwersalnym pokryciem powierzchni i naturalnie dualnym obiektem tej windy jest R -drzewo obdarzone działaniem izometrycznym podstawowej grupy powierzchni), jako granice Gromowa-Hausdorffa odpowiednio przeskalowanych działań grup Kleinowskich i tak dalej. Użycie R -drzew zapewnia znaczne skróty we współczesnych dowodach twierdzenia hiperbolizacji Thurstona dla 3-rozmaitości Hakena . Podobnie R -drzewa odgrywają kluczową rolę w badaniu przestrzeni kosmicznej Cullera - Vogtmanna , jak również w innych obszarach geometrycznej teorii grup ; na przykład asymptotyczne stożki grup często mają strukturę drzewiastą i powodują działania grupowe na prawdziwych drzewach . Wykorzystanie R , wraz z teorią Bassa-Serre'a, jest kluczowym narzędziem w pracy Seli nad rozwiązaniem problemu izomorfizmu dla (wolnych od skręcania) grup hiperbolicznych słów , wersji Seli teorii dekompozycji JSJ i pracy Seli o hipotezie Tarskiego dla grup swobodnych i teorii grup granicznych.
• Teoria działań grupowych na drzewach Λ , gdzie Λ jest uporządkowaną grupą abelową (taką jak R lub Z ) dostarcza dalszego uogólnienia zarówno teorii Bassa-Serre'a, jak i teorii działań grupowych na drzewach R (patrz Morgan, Alperin -Bass, Chiswell).

Zobacz też

• Geometryczna teoria grup