rozkład JSJ

W matematyce rozkład JSJ , znany również jako rozkład toralny , jest konstruktem topologicznym określonym przez następujące twierdzenie:

Nieredukowalne , dające się zorientować, zamknięte (tj. zwarte i bez granic) 3-rozmaitości mają unikalny (aż do izotopu ) minimalny zbiór rozłącznie osadzonych nieściśliwych torusów , tak że każdy składnik 3-rozmaitości uzyskany przez przecięcie wzdłuż torusa jest albo atoroidalny , albo Seifert- włóknisty .

Akronim JSJ oznacza Williama Jaco , Petera Shalena i Klausa Johannsona. Dwie pierwsze pracowały razem, a trzecia działała niezależnie.

Charakterystyczna podrozmaitość

Alternatywna wersja rozkładu JSJ stwierdza:

Zamknięta, nieredukowalna, orientowalna 3-rozmaitość M ma podrozmaitość Σ, która jest rozmaitością Seiferta (prawdopodobnie odłączoną iz granicą), której dopełnienie jest atoroidalne (i prawdopodobnie rozłączne).

Podrozmaitość Σ z najmniejszą liczbą torusów brzegowych nazywana jest podrozmaitością charakterystyczną M ; jest unikalny (do izotopu). Cięcie rozmaitości wzdłuż torusa ograniczającego charakterystyczną podrozmaitość jest czasami nazywane rozkładem JSJ, chociaż może mieć więcej torusów niż standardowy rozkład JSJ.

Granica charakterystycznej podrozmaitości Σ jest sumą torusów, które są prawie takie same jak torusy pojawiające się w rozkładzie JSJ. Istnieje jednak subtelna różnica: jeśli jeden z torusów w rozkładzie JSJ jest „nierozdzielny”, to granica charakterystycznej podrozmaitości ma dwie równoległe kopie (a obszar między nimi jest rozmaitością Seiferta izomorficzną z iloczynem torusa i odstępu jednostkowego). Zbiór torusów ograniczających charakterystyczną podrozmaitość można scharakteryzować jako unikalny (z dokładnością do izotopu ) minimalny zbiór rozłącznie osadzonych nieściśliwych torusów takie, że zamknięcie każdego elementu 3-rozmaitości uzyskanego przez cięcie wzdłuż torusa jest albo atoroidalne , albo włókniste Seiferta .

Rozkład JSJ nie jest tym samym, co rozkład w hipotezie geometryzacji , ponieważ niektóre elementy w rozkładzie JSJ mogą nie mieć struktur geometrycznych o skończonej objętości. Na przykład torus odwzorowania mapy Anosowa torusa ma strukturę zolu o skończonej objętości, ale jego rozkład JSJ rozcina go wzdłuż jednego torusa, tworząc iloczyn torusa i przedziału jednostkowego, a jego wnętrze nie ma skończonej struktura geometryczna objętości.

Zobacz też

• Hipoteza geometryzacyjna
• Rozkład wieloraki
• Węzeł satelitarny

• Jaco, William H .; Shalen, Peter B (1979), „Przestrzenie z włóknami Seiferta w 3-rozmaitościach”, Memoirs of the American Mathematical Society , 21 (220) .
• Jakub, William; Shalen, Peter B. Seifert włókniste przestrzenie w 3-rozmaitościach. Topologia geometryczna (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), s. 91–99, Academic Press, Nowy Jork-Londyn, 1979.
• Jakub, William; Shalen, Peter B. Nowe twierdzenie o rozkładzie dla nieredukowalnych wystarczająco dużych 3-rozmaitości. Topologia algebraiczna i geometryczna (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Kalifornia, 1976), część 2, s. 71–84, Proc. Sympozjum Czysta matematyka, XXXII, Amer. Matematyka Soc., Providence, RI, 1978.
•   Johannson, Klaus, Równoważności homotopii 3-rozmaitości z granicami. Notatki z wykładów z matematyki, 761. Springer, Berlin, 1979. ISBN 3-540-09714-7

Linki zewnętrzne

• Allen Hatcher , Uwagi na temat podstawowej topologii 3-rozmaitościowej .
• William Jaco , JSJ Rozkład 3-rozmaitości . Ten wykład stanowi krótkie wprowadzenie do 3-rozmaitości z włóknami Seiferta i przedstawia twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności Jaco, Shalena i Johannsona dotyczące rozkładu 3-rozmaitości JSJ.
• William Jaco, algorytm do konstruowania rozkładu JSJ 3-rozmaitości . Podano algorytm konstruowania rozkładu JSJ 3-rozmaitości i wyprowadzania niezmienników Seiferta z podrozmaitości charakterystycznej.