Węzeł satelitarny

W matematycznej teorii węzłów węzeł satelitarny to węzeł , który zawiera nieściśliwy , nierównoległy do ​​granic torus w swoim dopełnieniu . Każdy węzeł jest hiperboliczny, torusowy lub satelitarny. Klasa węzłów satelitarnych obejmuje węzły kompozytowe , węzły kablowe i podwójne Whitehead . Łącze satelitarne to takie, które krąży wokół węzła towarzyszącego K w tym sensie, że leży w regularnym sąsiedztwie towarzysza.

Przykład 1: Łączna suma koniczyny i węzła w kształcie ósemki.

Węzeł satelitarny $zacznij od$$leżącego$$:$ węzła wewnątrz niezwiązanego bryły torusa . Tutaj „ $nietrywialny$ ” oznacza, że ​​​​węzeł nie może znajdować się wewnątrz 3-piłki w $\ Displaystyle K$$}$ nie może być izotopowy w stosunku do centralnej krzywej rdzenia stałego torusa. Następnie zawiąż solidny torus w nietrywialny węzeł.

Przykład 2: Dublet Whiteheada z cyfrą-ósemką.

$′$ że istnieje nietrywialne osadzenie K. $prawo)}$$= f \ lewo ($ . Centralna krzywa rdzenia stałego torusa jest wysyłana do węzła , który nazywa się „ $węzłem towarzyszącym” i$ uważany za planetę, wokół której „węzeł satelitarny” $K$$\ displaystyle$ orbity. Konstrukcja zapewnia, $nieściśliwym$$​​jest$ bez . Węzły kompozytowe zawierają pewien rodzaj nieściśliwego torusa zwanego torusem połykania , który można wizualizować jako połykanie jednej sumy i podążanie za inną sumą.

Przykład 3: Kabel sumy połączeń.

Ponieważ $jest$ torusem bryłowym $bez$ to $węzłów$ bez Łącze dwuskładnikowe $wraz$ z osadzeniem nazywane $wzorcem$ satelity

Konwencja: ludzie zwykle żądają, aby osadzanie $nieskręcone$$w$ tym sensie $,$ że długość $\ displaystyle V}$ do standardowej długości geograficznej ${\ Displaystyle f (V)}$ . Inaczej mówiąc, mając dowolne dwie rozłączne krzywe ${\ Displaystyle c_ {1}, c_ {2} \ podzbiór V}$ , ${\ Displaystyle f}$ zachowuje ich numery łączące, tj.: ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {lk} (f (c_ {1}), f (c_ {2})} = \ nazwa operatora {lk} (c_ {1}, c_ {2})$ .

Podstawowe rodziny

Kiedy $torusa$ , $_$ się . _ _ _ Przykłady 3 i 4 to węzły kablowe. Kabel zbudowany z zadanych numerów uzwojeń (m,n) z innego węzła K jest często nazywany kablem (m,n) K.

Jeśli $jest$ nietrywialnym węzłem w $S$$^ {3}} i jeśli$$Displaystyle$ kompresujący dla się dokładnie jeden punkt, to $nazywa$ się połączeń . Innym sposobem na powiedzenie tego jest to, że wzór jest łączną sumą nietrywialnego węzła $\ Displaystyle K'\ cup J}$${\ Displaystyle K '}$ z linkiem Hopf.

Jeśli łącze jest łączem Whiteheada , $_$$to$ _ Jeśli $nieskręcony$ , nazywany $nieskręconym$ podwójnym Whiteheadem.

Przykłady

Przykład 4: Kabel koniczyny.

Przykład 5: Węzeł, który jest 2-krotnym satelitą, tj.: ma nierównoległy tori jaskółki.

Przykład 6: Węzeł, który jest 2-krotnym satelitą, tj.: ma nierównoległy tori jaskółki.

1. Łączna suma węzła ósemki i koniczyny.
2. Untwisted Whitehead podwójna cyfra-ósemka.
3. Kabel sumy połączeń.
4. Kabel koniczyny.

5 i 6 to warianty tej samej konstrukcji. Oba mają w swoich dopełnieniach dwa nierównoległe, nierównoległe do granic nieściśliwe torusy, dzielące dopełnienie na połączenie trzech rozmaitości. W 5 te rozmaitości to: pierścieni boromejskich , dopełnienie koniczyny i dopełnienie figury 8. W 6 dopełnienie figury 8 zostaje zastąpione innym dopełnieniem koniczyny.

Pochodzenie

W 1949 roku Horst Schubert udowodnił, że każdy zorientowany węzeł w rozkłada się jako suma połączeń głównych węzłów w unikalny sposób, aż do zmiany kolejności, tworząc monoid zorientowanych izotopów klas węzłów w S 3 {\ displaystyle S $}$${\ displaystyle S ^ {3}}$ swobodny przemienny monoid na niezliczonej liczbie generatorów. Wkrótce potem zdał sobie sprawę, że może podać nowy dowód swojego twierdzenia, dokonując dokładnej analizy nieściśliwego torusa obecnego w dopełnieniu sumy połączeń. To skłoniło go do zbadania ogólnych nieściśliwych tori w dopełnieniach węzłów w swojej epickiej pracy Knoten und Vollringe , gdzie zdefiniował węzły satelitarne i towarzyszące.

Prace następcze

Wykazanie Schuberta, że ​​​​nieściśliwe torusy odgrywają główną rolę w teorii węzłów, było jednym z kilku wczesnych spostrzeżeń prowadzących do zjednoczenia teorii 3-rozmaitości i teorii węzłów. Przyciągnęło to uwagę Waldhausena, który później użył nieściśliwych powierzchni, aby pokazać, że duża klasa 3-rozmaitości jest homeomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy ich podstawowe grupy są izomorficzne. Waldhausen przypuszczał, co jest teraz rozkładem 3-rozmaitości Jaco-Shalena-Johannsona , który jest rozkładem 3-rozmaitości wzdłuż sfer i nieściśliwego torusa. To później stało się głównym składnikiem rozwoju geometryzacji , co można postrzegać jako częściową klasyfikację trójwymiarowych rozmaitości. Konsekwencje teorii węzłów zostały po raz pierwszy opisane w długo niepublikowanym rękopisie Bonahona i Siebenmanna.

Wyjątkowość dekompozycji satelity

W Knoten und Vollringe Schubert udowodnił, że w niektórych przypadkach istnieje zasadniczo unikalny sposób wyrażenia węzła jako satelity. Ale istnieje również wiele znanych przykładów, w których rozkład nie jest wyjątkowy. Przy odpowiednio rozszerzonym pojęciu operacji satelitarnej zwanej splicingiem, rozkład JSJ daje właściwe twierdzenie o jednoznaczności dla węzłów satelitarnych.

Zobacz też

• Węzeł hiperboliczny
• Węzeł torusa