Link Hopfa

Długość warkocza	2
Warkocz nr.	2
Skrzyżowanie nr.	2
Objętość hiperboliczna	0
Łączenie nr.	1
kij nr.	6
Rozplątanie nie.	1
Notacja Conwaya	[2]
Notacja A – B	2 2 1
Thistlethwaite	L2a1
Ostatni/Następny	L0 / L4a1
Inne
naprzemienne , torusowe , włókniste

Relacja motka dla łącza Hopfa.

W matematycznej teorii węzłów połączenie Hopfa jest najprostszym nietrywialnym połączeniem z więcej niż jednym składnikiem. Składa się z dwóch kręgów połączonych ze sobą dokładnie raz i nosi imię Heinza Hopfa .

Realizacja geometryczna

Konkretny model składa się z dwóch okręgów jednostkowych w prostopadłych płaszczyznach, z których każdy przechodzi przez środek drugiego. Model ten minimalizuje długość liny ogniwa i do 2002 roku ogniwo Hopfa było jedynym ogniwem, którego długość liny była znana. Wypukła otoczka tych dwóch okręgów tworzy kształt zwany oloidem .

Nieruchomości

W zależności od względnych orientacji dwóch komponentów, liczba połączeń łącza Hopfa wynosi ± 1.

Połączenie Hopfa jest połączeniem torusowym (2,2) ze słowem warkocz

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2}. \,}$

Dopełnienie węzła wiązania Hopfa to R × S ¹ × S ¹ , walec nad torusem . Przestrzeń ta ma geometrię lokalnie euklidesową , więc łącze Hopfa nie jest łączem hiperbolicznym . Grupa węzłów wiązania Hopfa ( podstawowa grupa jego dopełnienia) to Z ² ( swobodna grupa abelowa na dwóch generatorach), co odróżnia ją od niepołączonej pary pętli, która ma wolną grupę na dwóch generatorach jako swoją grupę.

Połączenie Hopf nie jest trójkolorowe : nie jest możliwe pokolorowanie pasm jego diagramu trzema kolorami, tak aby użyć co najmniej dwóch kolorów i aby każde skrzyżowanie miało jeden lub trzy kolory. Każde ogniwo ma tylko jedną nitkę, a jeśli obie nitki mają ten sam kolor, używany jest tylko jeden kolor, a jeśli mają różne kolory, skrzyżowania będą miały dwa kolory.

Pakiet Hopfa

Fibracja Hopfa jest ciągłą funkcją od 3-sfery (trójwymiarowej powierzchni w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej) do bardziej znanej 2-sfery , z tą właściwością, że odwrotny obraz każdego punktu na 2-sferze jest koło. W ten sposób obrazy te rozkładają 3-sferę na ciągłą rodzinę okręgów, a każde dwa odrębne okręgi tworzą łącze Hopfa. To była motywacja Hopfa do zbadania łącza Hopfa: ponieważ każde dwa włókna są połączone, włóknienie Hopfa jest nietrywialnym włóknieniem . Ten przykład rozpoczął badanie grup homotopii sfer .

Biologia

Łącznik Hopf jest również obecny w niektórych białkach. Składa się z dwóch pętli kowalencyjnych, utworzonych przez fragmenty szkieletu białkowego , zamknięte wiązaniami dwusiarczkowymi . Topologia łącza Hopfa jest wysoce konserwatywna w białkach i zwiększa ich stabilność.

Historia

Herb Buzan-ha

Łącze Hopfa zostało nazwane na cześć topologa Heinza Hopfa , który rozważał je w 1931 roku jako część swoich badań nad włóknieniem Hopfa . Jednak w matematyce był znany Carlowi Friedrichowi Gaussowi przed pracą Hopfa. Od dawna jest również używany poza matematyką, na przykład jako herb Buzan-ha , japońskiej sekty buddyjskiej założonej w XVI wieku.

Zobacz też

• Pierścienie boromejskie , ogniwo z trzema zamkniętymi pętlami
• Catenane , cząsteczka z dwoma połączonymi pętlami
• Węzeł Salomona , dwie pętle, które są podwójnie połączone

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. , „Hopf Link” , MathWorld
• „ Link Hopf ”, The Knot Atlas .
• „LinkProt” – baza znanych połączeń białkowych.