Tabela węzłów

Mała tabela wszystkich głównych węzłów (z wyłączeniem odbić lustrzanych ) z maksymalnie 7 skrzyżowaniami .

Od czasu teorii wirów Sir Williama Thomsona matematycy próbowali sklasyfikować i zestawić wszystkie możliwe węzły . Od maja 2008 r. Zestawiono wszystkie główne węzły do ​​16 skrzyżowań . Głównym wyzwaniem tego procesu jest to, że wiele pozornie różnych węzłów może w rzeczywistości być różnymi geometrycznymi prezentacjami tej samej jednostki topologicznej, a udowodnienie lub obalenie równoważności węzłów jest znacznie trudniejsze, niż się na pierwszy rzut oka wydaje.

Początki

Główne artykuły: Historia teorii węzłów i teoria wirów atomu

W XIX wieku Sir William Thomson postawił hipotezę, że pierwiastki chemiczne opierają się na zawiązanych wirach w eterze. Próbując stworzyć układ okresowy pierwiastków , PG Tait , CN Little i inni zaczęli próbować policzyć wszystkie możliwe węzły. Ponieważ ich praca poprzedzała wynalezienie komputera cyfrowego, wszystkie prace musiały być wykonywane ręcznie.

Perko para

Główny artykuł: para Perko

W 1974 roku Kenneth Perko odkrył duplikację w tabelach Tait-Little, zwaną parą Perko . Późniejsze tabele węzłów wymagały dwóch podejść do rozwiązania tego problemu: niektórzy po prostu pominęli jeden z wpisów bez zmiany numeracji, a inni zmienili numerację późniejszych wpisów, aby usunąć dziurę. Wynikająca z tego niejednoznaczność utrzymuje się do dnia dzisiejszego i została dodatkowo spotęgowana błędnymi próbami naprawienia spowodowanych przez to błędów, które same w sobie były błędne. Na przykład strona Perko Pair firmy Wolfram Web błędnie porównuje dwa różne węzły (z powodu zmiany numeracji przez matematyków, takich jak Burde i Bar-Natan).

Nowe metody

Jim Hoste, Jeff Weeks i Morwen Thistlethwaite użyli wyszukiwania komputerowego, aby policzyć wszystkie węzły z 16 lub mniej skrzyżowaniami. Badanie to przeprowadzono oddzielnie przy użyciu dwóch różnych algorytmów na różnych komputerach, co potwierdza poprawność jego wyników. Oba obliczenia wykazały 1701936 głównych węzłów (w tym nierozwiązany ) z maksymalnie 16 skrzyżowaniami. Ostatnio, w 2020 roku, Benjamin Burton sklasyfikował wszystkie główne węzły do ​​19 skrzyżowań (z których jest prawie 300 milionów).

Zaczynając od trzech skrzyżowań (minimum dla każdego nietrywialnego węzła), liczba głównych węzłów dla każdej liczby skrzyżowań wynosi

1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972, 253293, 1388705, ... (sekwencja A002863 w OEIS )

Nowoczesne zautomatyzowane metody mogą teraz policzyć miliardy węzłów w ciągu kilku dni.

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Knot_tabulation&oldid=1120232237 ”