Notacja Conwaya (teoria węzłów)

Pełny zestaw podstawowych przekształceń i operacji na splotach 2, obok splotów elementarnych 0, ∞, ±1 i ±2.

Węzeł koniczyny ma notację Conwaya [3].

W teorii węzłów notacja Conwaya , wymyślona przez Johna Hortona Conwaya , jest sposobem opisywania węzłów , który wyjaśnia wiele ich właściwości. Tworzy węzeł, używając pewnych operacji na splotach , aby go zbudować.

Podstawowe koncepcje

sploty

W notacji Conwaya sploty są na ogół algebraicznymi splotami 2. Oznacza to, że ich diagramy splotów składają się z 2 łuków i 4 punktów na krawędzi diagramu; co więcej, są one zbudowane z racjonalnych splotów przy użyciu operacji Conwaya.

[Poniższy tekst wydaje się być próbą opisania tylko splotów całkowitych lub 1/n wymiernych] Sploty składające się wyłącznie z dodatnich skrzyżowań są oznaczane liczbą skrzyżowań, a jeśli są tylko ujemne przecięcia, oznacza się je liczbą ujemną. Jeśli łuki nie są skrzyżowane lub można je przekształcić w pozycję nieskrzyżowaną za pomocą ruchów Reidemeistera , nazywa się to splotem 0 lub ∞, w zależności od orientacji splotu.

Operacje na splotach

Jeśli splot a , odbija się na linii NW-SE, jest oznaczany przez ⁻ a . (Zauważ, że różni się to od splotu z ujemną liczbą przecięć). Sploty mają trzy operacje binarne , suma , iloczyn i rozgałęzienie , jednak wszystkie można wyjaśnić za pomocą dodawania i negacji splotu. Produkt splotu, ab , jest równoważny ⁻ a+b . a rozgałęzienie lub a,b jest równoważne ⁻ a+ ⁻ b .

Zaawansowane koncepcje

Sploty wymierne są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich ułamki są równe. Przystępny dowód tego faktu znajduje się w (Kauffman i Lambropoulou 2004). Liczba przed gwiazdką, * , oznacza numer wielościanu; wiele gwiazdek wskazuje, że istnieje wiele wielościanów o tej liczbie.

Zobacz też

• Węzeł Conwaya
• Notacja Dowkera
• Notacja Alexandra-Briggsa
• notacja Gaussa

Dalsza lektura

•   Conway, JH (1970). „Wyliczenie węzłów i połączeń oraz niektóre z ich właściwości algebraicznych” (PDF) . W Leech, J. (red.). Problemy obliczeniowe w algebrze abstrakcyjnej . Prasa Pergamońska. s. 329–358. ISBN 0080129757 .
•   Kauffman, Louis H.; Lambropoulou, Sofia (2004). „O klasyfikacji splotów racjonalnych”. Postępy w matematyce stosowanej . 33 (2): 199–237. arXiv : matematyka/0311499 . doi : 10.1016/j.aam.2003.06.002 . S2CID 119143716 .