Plątanina (matematyka)

Węzeł precla (-2,3,7) ma dwa skręty w prawo w pierwszym splocie , trzy skręty w lewo w drugim i siedem skrętów w lewo w trzecim.

W matematyce plątanina jest ogólnie jednym z dwóch powiązanych pojęć :

W definicji Johna Conwaya n -tangle to właściwe osadzenie rozłącznej sumy n łuków w kuli 3 ; osadzanie musi wysłać punkty końcowe łuków do 2 n zaznaczonych punktów na granicy piłki.
W teorii połączeń plątanina to osadzenie n łuków i m okręgów w ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ razy [0,1]}$ - różnica w stosunku do poprzedniej definicji polega na tym, że obejmuje zarówno okręgi, jak i łuki, i dzieli granicę na dwie (izomorficzne) części, co jest algebraicznie wygodniejsze - pozwala na przykład dodawać sploty, układając je w stos.

(Całkiem inne użycie słowa „plątanina” pojawia się w Graph minors X. Obstructions to tree-decomposition autorstwa N. Robertsona i PD Seymoura, Journal of Combinatorial Theory B 52 (1991) 153–190, którzy użyli go do opisania separacji na grafach. To użycie zostało rozszerzone na matroidy ).

Bilans tego artykułu omawia poczucie splotów Conwaya; dla sensu teorii linków, zobacz ten artykuł.

Dwa n -sploty są uważane za równoważne, jeśli istnieje izotop otoczenia jednego splotu względem drugiego, utrzymujący stałą granicę kuli 3. Teorię splotów można uznać za analogiczną do teorii węzłów, z wyjątkiem tego, że zamiast zamkniętych pętli stosuje się sznurki, których końce są przybite gwoździami. Zobacz także teorię warkocza .

Diagramy splątane

Bez utraty ogólności rozważmy, że zaznaczone punkty na granicy 3 kul leżą na wielkim kole. Splot można ustawić tak, aby znajdował się w ogólnym położeniu względem rzutu na płaski dysk ograniczony wielkim kołem. Rzut daje nam wtedy diagram splątania , w którym odnotowujemy skrzyżowania nad i pod, tak jak w przypadku diagramów węzłów .

Sploty często pojawiają się jako diagramy splotów na diagramach węzłów lub połączeń i mogą być używane jako elementy składowe diagramów połączeń , np. linki precla .

Sploty wymierne i algebraiczne

Niektóre operacje na splotach:

Po lewej: splot a i jego odbicie ⁻ a . Górny prawy: dodatek splotu, oznaczony przez a + b . Środek po prawej: Produkt splotu, oznaczony przez ab , co odpowiada ^- a + b . Na dole po prawej: Rozgałęzienie, oznaczone przez a , b , równoważne ^- a + ^- b

Racjonalna plątanina to splot 2, który jest homeomorficzny z trywialną plątaniną 2 przez mapę par składającą się z kuli 3 i dwóch łuków. Cztery punkty końcowe łuków na okręgu granicznym diagramu splątanego są zwykle określane jako NE, NW, SW, SE, a symbole odnoszą się do kierunków kompasu.

Dowolny diagram splątania splątania wymiernego może wyglądać na bardzo skomplikowany, ale zawsze istnieje diagram o określonej prostej postaci: zacznij od diagramu splątania składającego się z dwóch poziomych (pionowych) łuków; dodać „skręt”, tj. pojedyncze skrzyżowanie poprzez zamianę punktów końcowych NE i SE (punkty końcowe SW i SE); kontynuuj, dodając więcej skrętów, używając punktów końcowych NE i SE lub punktów końcowych SW i SE. Można przypuszczać, że każdy skręt nie zmienia diagramu wewnątrz dysku zawierającego utworzone wcześniej skrzyżowania.

Możemy opisać taki diagram, biorąc pod uwagę liczby podane przez kolejne skręcenia wokół tego samego zestawu punktów końcowych, np. (2, 1, -3) oznacza rozpoczęcie od dwóch łuków poziomych, następnie 2 skręcenia za pomocą punktów końcowych NE/SE, następnie 1 skręt za pomocą Punkty końcowe SW/SE, a następnie 3 skręty używając punktów końcowych NE/SE, ale skręcając w przeciwnym kierunku niż poprzednio. Lista zaczyna się od 0, jeśli zaczynasz od dwóch pionowych łuków. Diagram z dwoma łukami poziomymi to wtedy (0), ale przypisujemy (0, 0) diagramowi z łukami pionowymi. Potrzebna jest konwencja, aby opisać zwrot „pozytywny” lub „negatywny”. Często „racjonalna plątanina” odnosi się do listy liczb reprezentujących prosty diagram zgodnie z opisem.

Ułamek wymiernej $_$ jako _ ułamek ${\ Displaystyle [a_ {n}, a_ {n-1}, a_ {n-2}, \ kropki]}$ . Ułamek określony przez (0,0) jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle \ infty}$ . Conway udowodnił, że ułamek jest dobrze zdefiniowany i całkowicie określa splątanie wymierne aż do równoważności splątania. Przystępny dowód tego faktu podano w:. Conway zdefiniował również ułamek dowolnej splotu, używając wielomianu Aleksandra .

Operacje na splotach

Istnieje „arytmetyka” splotów z operacjami dodawania, mnożenia i odwrotności. Splot algebraiczny otrzymuje się z dodawania i mnożenia splotów wymiernych.

Domknięcie licznika splątania wymiernego definiuje się jako połączenie otrzymane przez połączenie ze sobą „północnych” punktów końcowych i „południowych” punktów końcowych. Zamknięcie mianownika definiuje się podobnie, grupując punkty końcowe „wschód” i „zachód”. Powiązania racjonalne definiuje się jako takie domknięcia racjonalnych splotów.

Notacja Conwaya

Jedną z motywacji do badania splotów przez Conwaya było zapewnienie notacji węzłów bardziej systematycznej niż tradycyjne wyliczanie w tabelach.

Aplikacje

Wykazano, że sploty są przydatne w badaniu topologii DNA . Działanie danego enzymu można analizować za pomocą teorii splątań.

Zobacz też

Zaplątana łamigłówka

Dalsza lektura

Adams, CC (2004). Księga węzłów: elementarne wprowadzenie do matematycznej teorii węzłów . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. XIV + 307. ISBN 0-8218-3678-1 .

Linki zewnętrzne

Mackay, Dawid . „Kod Metapost do rysowania splotów i innych obrazków” . Grupa wnioskowania . Źródło 2018-04-13 .
Goldman, Jay R.; Kauffman, Louis H. (1997). „Racjonalne sploty” (PDF) . Postępy w matematyce stosowanej . 18 (3): 300–332. doi : 10.1006/aama.1996.0511 .