Historia teorii węzłów

Trywialne węzły lub nierozwiązane

Węzły były używane od tysięcy lat do podstawowych celów, takich jak zapisywanie informacji , łączenie i wiązanie przedmiotów. Wczesny, znaczący bodziec w teorii węzłów pojawił się później wraz z Sir Williamem Thomsonem (Lord Kelvin) i jego wirową teorią atomu .

Historia

Przednowoczesne

Różne węzły są lepsze w różnych zadaniach, takich jak wspinaczka lub żeglarstwo . Uważano również, że węzły oprócz walorów estetycznych mają symbolikę duchową i religijną. Niekończący się węzeł pojawia się w buddyzmie tybetańskim, podczas gdy pierścienie boromejskie wielokrotnie pojawiały się w różnych kulturach, często symbolizując jedność. Celtyccy mnisi, którzy stworzyli Księgę z Kells, ozdobili całe strony zawiłymi celtyckimi splotami .

Wczesny nowożytny

Węzły były badane z matematycznego punktu widzenia przez Carla Friedricha Gaussa , który w 1833 roku opracował całkę łączącą Gaussa do obliczania liczby łączącej dwa węzły. Jego uczeń Johann Benedict Listing , od którego pochodzi nazwa węzła Listinga , pogłębił swoje badania.

W 1867 roku, obserwując eksperymenty szkockiego fizyka Petera Taita z pierścieniami dymu, Thomson doszedł do wniosku, że atomy są węzłami wirujących wirów w eterze . Pierwiastki chemiczne odpowiadałyby zatem węzłom i ogniwom. Eksperymenty Taita zostały zainspirowane artykułem Helmholtza na temat pierścieni wirowych w płynach nieściśliwych. Thomson i Tait wierzyli, że zrozumienie i klasyfikacja wszystkich możliwych węzłów wyjaśniłoby, dlaczego atomy pochłaniają i emitują światło tylko w dyskretnych długościach fal że robią. Na przykład Thomson uważał, że sód może być łącznikiem Hopfa ze względu na dwie linie widm.

Następnie Tait zaczął wymieniać unikalne węzły, wierząc, że tworzy tabelę elementów. Sformułował to, co jest obecnie znane jako przypuszczenia Taita dotyczące naprzemiennych węzłów . (Przypuszczenia zostały udowodnione w latach 90.) Tabele węzłów Taita zostały następnie ulepszone przez CN Little i Thomasa Kirkmana .

James Clerk Maxwell , kolega i przyjaciel Thomsona i Taita, również zainteresował się węzłami. Maxwell przestudiował prace Listinga dotyczące węzłów. Ponownie zinterpretował całkę łączącą Gaussa w kategoriach teorii elektromagnetycznej. W jego sformułowaniu całka przedstawiała pracę wykonaną przez naładowaną cząstkę poruszającą się wzdłuż jednego składnika ogniwa pod wpływem pola magnetycznego generowanego przez prąd elektryczny wraz z drugim składnikiem. Maxwell kontynuował również badania pierścieni dymu, rozważając trzy oddziałujące ze sobą pierścienie.

Gdy w eksperymencie Michelsona-Morleya nie wykryto świecącego eteru , teoria wirów stała się całkowicie przestarzała, a teoria węzłów przestała mieć duże znaczenie naukowe. Współczesna fizyka pokazuje, że dyskretne długości fal zależą od poziomów energii kwantowej .

Późna nowoczesność

topologią rozwojową z początku XX wieku, której przewodził Henri Poincaré , topolodzy tacy jak Max Dehn , JW Alexander i Kurt Reidemeister badali węzły. Z tego wyrosły ruchy Reidemeistera i wielomian Aleksandra . Dehn opracował również chirurgię Dehna , która powiązała węzły z ogólną teorią 3-rozmaitości i sformułował problemy Dehna w teorii grup , takie jak problem słowny . Do wczesnych pionierów pierwszej połowy XX wieku należy Ralph Fox , który spopularyzował ten temat. W tym wczesnym okresie teoria węzłów polegała głównie na badaniu grupy węzłów i homologicznych niezmienników dopełnienia węzła .

Współczesny

W 1961 roku Wolfgang Haken odkrył algorytm, który może określić , czy węzeł jest nietrywialny . Nakreślił również strategię rozwiązania ogólnego problemu rozpoznawania węzłów, czyli określenia, czy dwa podane węzły są równoważne, czy nie. We wczesnych latach siedemdziesiątych Friedhelm Waldhausen ogłosił zakończenie programu Hakena na podstawie jego wyników oraz wyników Klausa Johannsona, Williama Jaco , Petera Shalena i Geoffreya Hemiona. W 2003 roku Siergiej Matwiejew wskazał i uzupełnił kluczową lukę.

Kilka ważnych odkryć pod koniec XX wieku znacznie odmłodziło teorię węzłów i wprowadziło ją dalej do głównego nurtu. Pod koniec lat siedemdziesiątych Williama Thurstona o hiperbolizacji wprowadziło teorię hiperbolicznych 3-rozmaitości do teorii węzłów i nadało jej pierwszorzędne znaczenie. W 1982 roku Thurston otrzymał Medal Fieldsa, najwyższe odznaczenie w matematyce, głównie dzięki temu przełomowi. Praca Thurstona doprowadziła również, po wielu rozszerzeniach przez innych, do efektywnego wykorzystania narzędzi z teorii reprezentacji i geometrii algebraicznej . Nastąpiły ważne wyniki, w tym twierdzenie Gordona-Luecke , które wykazało, że węzły są określane (aż do odbicia lustrzanego) przez ich dopełnienia, oraz hipoteza Smitha .

Zainteresowanie ogólną społecznością matematyczną teorią węzłów znacznie wzrosło po odkryciu wielomianu Jonesa przez Vaughana Jonesa w 1984 r. Doprowadziło to do powstania innych wielomianów węzłów, takich jak wielomian nawiasowy , wielomian HOMFLY'ego i wielomian Kauffmana . Za tę pracę Jones został odznaczony medalem Fieldsa w 1990 roku. W 1988 roku Edward Witten zaproponował nowe ramy dla wielomianu Jonesa, wykorzystując istniejące pomysły z fizyki matematycznej , takie jak całki po trajektoriach Feynmana oraz wprowadzenie nowych pojęć, takich jak topologiczna kwantowa teoria pola ( Witten 1989 ) . Witten otrzymał również medal Fieldsa w 1990 roku, częściowo za tę pracę. Opis Wittena wielomianu Jonesa implikował powiązane niezmienniki dla 3-rozmaitości . Jednoczesne, ale różne podejścia innych matematyków zaowocowały niezmiennikami Wittena-Reshetikhina-Turaeva i różnymi tak zwanymi „ niezmiennikami kwantowymi ", które wydają się być matematycznie rygorystyczną wersją niezmienników Wittena ( Turaev 1994 ) . W latach 80. John Horton Conway odkrył procedurę stopniowego rozwiązywania węzłów znaną jako notacja Conwaya .

W 1992 roku założono Journal of Knot Theory and Its Ramifications , ustanawiając czasopismo poświęcone wyłącznie teorii węzłów.

Vassiliev i Goussarov odkryli niezmienniki węzłów, które obejmują wielomian Jonesa i jego uogólnienia, zwane niezmiennikami typu skończonego . Te niezmienniki, początkowo opisane przy użyciu „klasycznych” środków topologicznych, zostały wykazane przez medalistę Fieldsa z 1994 r., Maxima Kontsevicha , jako wynik całkowania pewnych struktur algebraicznych przy użyciu całki Kontsevicha ( Kontsevich 1993 , Bar-Natan 1995 ).

Po tych przełomach nastąpiło odkrycie homologii Khovanova i homologii węzła Floera , które znacznie uogólniają wielomiany Jonesa i Alexandra. Te teorie homologii przyczyniły się do dalszego włączenia teorii węzłów do głównego nurtu.

W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat XX wieku naukowcy i matematycy zaczęli znajdować zastosowania teorii węzłów do problemów w biologii i chemii . Teorię węzłów można wykorzystać do określenia, czy cząsteczka jest chiralna (ma „ręczność”), czy nie. Związki chemiczne o różnej ręczności mogą mieć drastycznie różne właściwości, czego godnym uwagi przykładem jest talidomid . Mówiąc bardziej ogólnie, do badania topoizomerów , topologicznie różnych układów tego samego wzoru chemicznego, stosowano metody oparte na teorii węzłów . Ściśle powiązana teoria tzw sploty były skutecznie wykorzystywane do badania działania niektórych enzymów na DNA. Interdyscyplinarna dziedzina fizycznej teorii węzłów bada modele matematyczne węzłów oparte na rozważaniach fizycznych w celu zrozumienia zjawiska wiązania powstającego w materiałach takich jak DNA lub polimery.

W fizyce wykazano, że pewne hipotetyczne kwazicząstki , takie jak anyony nieabelowe , wykazują użyteczne właściwości topologiczne, a mianowicie, że ich stany kwantowe pozostają niezmienione przez otaczającą izotopię ich linii świata . Istnieje nadzieja, że ​​można je wykorzystać do uczynienia komputera kwantowego odpornym na dekoherencję . Ponieważ linie świata tworzą matematyczny warkocz , teoria warkoczy , pokrewna dziedzina teorii węzłów , służy do badania właściwości takiego komputera, zwanego topologicznym komputerem kwantowym .

Zobacz też

• Węzły kwantowe

Notatki

• Silver, Dan, szkocka fizyka i dziwne początki teorii węzłów (rozszerzona wersja Silvera, „Dziwne początki teorii węzłów”, American Scientist, 94, nr 2, 158–165)
• JC Turner & P. ​​van de Griend, redaktorzy (1995) History and Science of Knots , World Scientific .

Linki zewnętrzne

• Thomson, Sir William (Lord Kelvin), On Vortex Atoms , Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, tom. VI, 1867, s. 94–105.
• Silliman, Robert H., William Thomson: pierścienie dymu i dziewiętnastowieczny atomizm , Izyda, tom. 54, nr 4. (grudzień 1963), s. 461–474. Łącze JSTOR
• Film przedstawiający współczesne odtworzenie eksperymentu Taita z kółkiem dymnym
• Historia węzłów