Twierdzenie Gordona-Luecke'a
W matematyce twierdzenie Gordona-Luecke o dopełnieniach węzłów mówi, że jeśli uzupełnienia dwóch oswojonych węzłów są homeomorficzne, to węzły są równoważne. W szczególności każdy homeomorfizm między dopełnieniami węzłów musi prowadzić południk do południka.
Twierdzenie jest zwykle określane jako „węzły są określone przez ich uzupełnienia”; jest to jednak nieco niejednoznaczne, ponieważ uważa dwa węzły za równoważne, jeśli istnieje autohomeomorfizm przenoszący jeden węzeł do drugiego. Dlatego odbicia lustrzane są pomijane. Często dwa węzły są uważane za równoważne, jeśli są izotopowe . Poprawna wersja w tym przypadku jest taka, że jeśli dwa węzły mają dopełnienia, które są homeomorficzne zachowujące orientację, to są izotopowe.
Wyniki te wynikają z następującego (zwanego również twierdzeniem Gordona – Luecke): żadna nietrywialna operacja Dehna na nietrywialnym węźle w 3-sferze nie może dać 3-sfery .
Twierdzenie zostało udowodnione przez Camerona Gordona i Johna Luecke . Zasadniczymi składnikami dowodu są ich wspólna praca z Markiem Cullerem i Peterem Shalenem nad twierdzeniem o chirurgii cyklicznej , technikami kombinatorycznymi w stylu Litherlanda, cienką pozycją i cyklami Scharlemanna.
W przypadku uzupełnień linków nie jest w rzeczywistości prawdą, że linki są określane przez ich uzupełnienia. Na przykład JHC Whitehead udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele połączeń, których wszystkie dopełnienia są homeomorficzne z łączem Whiteheada . Jego konstrukcja polega na skręcie wzdłuż dysku obejmującego niezwiązany element (tak jak w przypadku dowolnego elementu łącza Whitehead). Inną metodą jest skręcenie wzdłuż pierścienia obejmującego dwa elementy. Gordon udowodnił, że dla klasy ogniw, w której te dwie konstrukcje nie są możliwe, istnieje w tej klasie skończenie wiele ogniw o zadanym uzupełnieniu.
- Cameron Gordon i John Luecke, Węzły są określane przez ich dopełnienia . J.Amer. Matematyka soc. 2 (1989), nr. 2, 371–415.
- Cameron Gordon, Linki i ich uzupełnienia. Topologia i geometria: upamiętniająca SISTAG, 71–82, Contemp. Matematyka, 314, Amer. Matematyka Soc., Providence, RI, 2002.