Homologia Floera

W matematyce . homologia Floera jest narzędziem do badania geometrii symplektycznej i topologii niskowymiarowej Homologia Floera to nowy niezmiennik , który powstaje jako nieskończenie wymiarowy analog skończenie wymiarowej homologii Morse'a . Andreas Floer przedstawił pierwszą wersję homologii Floera, obecnie nazywaną homologią Lagrange'a Floera, w swoim dowodzie hipotezy Arnolda w geometrii symplektycznej. Floer opracował również ściśle powiązaną teorię dla podrozmaitości Lagrange'a rozmaitości symplektycznej . Trzecia konstrukcja, również za sprawą Floera, łączy grupy homologii z zamkniętymi trójwymiarowymi rozmaitościami za pomocą funkcjonału Yanga – Millsa . Konstrukcje te i ich następcy odgrywają fundamentalną rolę we współczesnych badaniach nad topologią rozmaitości symplektycznych i kontaktowych oraz (gładkich) rozmaitości trój- i czterowymiarowych.

Homologia Floera jest zwykle definiowana przez powiązanie z obiektem zainteresowania nieskończenie wymiarowej rozmaitości i funkcji o rzeczywistej wartości. W wersji symplektycznej jest to wolna przestrzeń pętli rozmaitości symplektycznej z funkcjonałem działania symplektycznego. Dla wersji ( instanton ) dla trójrozmaitości jest to przestrzeń połączeń SU(2) na trójwymiarowej rozmaitości z funkcjonałem Cherna-Simonsa . Mówiąc luźno, homologia Floera jest homologią Morse'a funkcji na nieskończenie wymiarowej rozmaitości. Kompleks łańcucha Floera jest tworzony z grupy abelowej obejmującej punkty krytyczne funkcji (lub ewentualnie pewne zbiory punktów krytycznych). Różniczkę linii przepływu gradientu funkcji łączących pewne pary punktów krytycznych (lub ich zbiory) . Homologia Floera jest homologią tego kompleksu łańcuchów.

Równanie linii przepływu gradientu, w sytuacji, w której można z powodzeniem zastosować idee Floera, jest zazwyczaj geometrycznie znaczącym i możliwym do analitycznego rozwiązania równaniem. W przypadku homologii symplektycznej Floera równanie przepływu gradientu dla ścieżki w przestrzeni pętli jest (jego zaburzoną wersją) równaniem Cauchy'ego -Riemanna dla mapy cylindra (całkowita przestrzeń ścieżki pętli) do interesującej nas rozmaitości symplektycznej; rozwiązania są znane jako krzywe pseudoholomorficzne . Następnie stosuje się twierdzenie Gromowa o zwartości , aby pokazać, że różniczka jest dobrze zdefiniowana i równa się zero, tak że zdefiniowano homologię Floera. W przypadku natychmiastowej homologii Floera równania przepływu gradientu są dokładnie równaniami Yanga-Millsa na trójrozmaitości przecinanej z linią rzeczywistą.

Symplektyczna homologia Floera

Symplektyczna homologia Floera (SFH) to teoria homologii związana z rozmaitością symplektyczną i jej niezdegenerowanym symplektomorfizmem . Jeśli symplektomorfizm jest hamiltonowski , homologia wynika z badania działania symplektycznego funkcjonału na ( uniwersalnej pokrywie ) wolnej przestrzeni pętli rozmaitości symplektycznej. SFH jest niezmiennikiem pod hamiltonowską izotopią symplektomorfizmu.

Tutaj niedegeneracja oznacza, że ​​1 nie jest wartością własną pochodnej symplektomorfizmu w żadnym z jej stałych punktów. Warunek ten oznacza, że ​​punkty stałe są izolowane. SFH jest homologią kompleksu łańcuchowego generowanego przez punkty stałe takiego symplektomorfizmu, gdzie różniczka zlicza pewne pseudoholomorficzne krzywe w iloczynie prostej rzeczywistej i torusa odwzorowania symplektomorfizmu. To samo w sobie jest symplektyczną rozmaitością o wymiarze dwa większym niż oryginalna rozmaitość. Dla odpowiedniego doboru prawie złożonej struktury , przebite krzywe holomorficzne (o skończonej energii) mają w niej cylindryczne końce asymptotyczne względem pętli w torusie odwzorowującym odpowiadającym ustalonym punktom symplektomorfizmu. Względny indeks można zdefiniować między parami stałych punktów, a różnica zlicza liczbę cylindrów holomorficznych o względnym indeksie 1.

Symplektyczna homologia Floera hamiltonowskiego symplektomorfizmu zwartej rozmaitości jest izomorficzna z pojedynczą homologią podstawowej rozmaitości. Zatem suma liczb Bettiego tej rozmaitości daje dolną granicę przewidzianą przez jedną wersję hipotezy Arnolda dla liczby punktów stałych dla niezdegenerowanego symplektomorfizmu. SFH hamiltonowskiego symplektomorfizmu ma również iloczyn pary spodni , który jest zdeformowanym produktem miseczki równoważnym kohomologii kwantowej . Istnieje również wersja produktu dla niedokładnych symplektomorfizmów.

W przypadku wiązki kostycznej rozmaitości M homologia Floera zależy od wyboru hamiltonianu ze względu na jego niezwartość. Dla hamiltonianów, które są kwadratowe w nieskończoności, homologia Floera jest pojedynczą homologią przestrzeni wolnej pętli M (dowody różnych wersji tego stwierdzenia pochodzą od Viterbo, Salamona – Webera, Abbondandolo – Schwarza i Cohena). Istnieją bardziej skomplikowane operacje na homologii Floera wiązki kostycznej, które odpowiadają operacjom topologii strun na homologii przestrzeni pętli leżącej u podstaw rozmaitości.

Symplektyczna wersja homologii Floera odgrywa kluczową rolę w formułowaniu hipotezy homologicznej symetrii lustrzanej .

Izomorfizm PSS

W 1996 roku S. Piunikhin, D. Salamon i M. Schwarz podsumowali wyniki dotyczące związku między homologią Floera a kohomologią kwantową i sformułowali następująco. Piunikhin, Salamon i Schwarz (1996)

• kohomologii Floera przestrzeni pętli półdodatniej rozmaitości symplektycznej ( M , ω ) są naturalnie izomorficzne ze zwykłą kohomologią M , tensorowaną przez odpowiedni pierścień Nowikowa związany z grupą przekształceń pokrywających .
• Ten izomorfizm przeplata strukturę produktu kubka kwantowego na kohomologii M z produktem pary spodni na homologii Floera.

Powyższy warunek półpozytywu i zwartości rozmaitości symplektycznej M jest wymagany do uzyskania pierścienia Nowikowa i do zdefiniowania zarówno homologii Floera, jak i kohomologii kwantowej. Warunek półpozytywny oznacza, że ​​spełniony jest jeden z następujących warunków (należy zauważyć, że te trzy przypadki nie są rozłączne):

• $\ langle c_ {1}, A \ rangle}$ \ langle [\ omega ] , A \ rangle = _\ lambda ) gdzie λ≥0 ( M jest monotoniczne ).
• ${\ Displaystyle \ langle c_ {1}, A \ rangle = 0}$ dla każdego A w π ₂ ( M ).
• Minimalna liczba Cherna N ≥ 0 określona przez ${\ Displaystyle \ langle c_ {1}, \ pi _ {2} (M) \ rangle = N \ mathbb {Z} }$ jest większe lub równe n − 2.

Grupę kohomologii kwantowej rozmaitości symplektycznej M można zdefiniować jako iloczyny tensorowe kohomologii zwykłej z pierścieniem Nowikowa Λ, tj.

${\ Displaystyle QH_ {*} (M) = H_ {*} (M) \ czasami \ Lambda.}$

Ta konstrukcja homologii Floera wyjaśnia niezależność od wyboru prawie złożonej struktury na M i izomorfizm homologii Floera zapewniony z idei teorii Morse'a i krzywych pseudoholomorficznych , gdzie musimy uznać dualizm Poincarégo między homologią a kohomologią jako tło.

Homologia Floera trójrozmaitości

Istnieje kilka równoważnych homologii Floera związanych z zamkniętymi trzema rozmaitościami . Każda daje trzy typy grup homologii, które pasują do dokładnego trójkąta . Węzeł w trójrozmaitości indukuje filtrację na kompleksie łańcuchowym każdej teorii, której typ homotopii łańcucha jest niezmiennikiem węzła. (Ich homologie spełniają podobne właściwości formalne do kombinatorycznie zdefiniowanej homologii Khovanova ).

Te homologie są blisko spokrewnione z niezmiennikami Donaldsona i Seiberga 4-rozmaitości, a także z niezmiennikiem Gromowa Taubesa dla symplektycznych 4-rozmaitości; Różnice odpowiednich trójrozmaitościowych homologii do tych teorii są badane poprzez rozważenie rozwiązań odpowiednich równań różniczkowych ( Yang – Mills , Seiberg – Witten i Cauchy – Riemanna ) na 3-rozmaitościowym krzyżu R . Homologie 3-rozmaitości Floera powinny być również celem względnych niezmienników dla czterorozmaitości z granicą, związanych przez sklejanie konstrukcji z niezmiennikami zamkniętej 4-rozmaitości otrzymanej przez sklejenie ze sobą ograniczonych 3-rozmaitości wzdłuż ich granic. (Jest to ściśle związane z pojęciem topologicznej kwantowej teorii pola ). W przypadku homologii Heegaarda Floera najpierw zdefiniowano homologię 3-rozmaitości, a później zdefiniowano na jej podstawie niezmiennik dla zamkniętych 4-rozmaitości.

Istnieją również rozszerzenia 3-rozmaitościowych homologii do 3-rozmaitości z granicą: zszyta homologia Floera ( Juhász 2008 ) i graniczna homologia Floera ( Lipsshitz, Ozsváth & Thurston 2008 ). Są one powiązane z niezmiennikami dla zamkniętych 3-rozmaitości przez sklejenie wzorów na homologię Floera 3-rozmaitości opisanej jako suma wzdłuż granicy dwóch 3-rozmaitości z granicą.

Trzyrozmaitościowe homologie Floer są również wyposażone w wyróżniający się element homologii, jeśli trójrozmaitości są wyposażone w strukturę kontaktową . Kronheimer i Mrówka jako pierwsi wprowadzili element kontaktowy w sprawie Seiberga-Wittena. Ozsvath i Szabo skonstruowali to dla homologii Heegaarda Floera, używając relacji Giroux między rozmaitościami kontaktowymi a dekompozycjami otwartej książki, i jest ona dostępna za darmo, jako klasa homologii zbioru pustego, we wbudowanej homologii kontaktowej. (Która, w przeciwieństwie do pozostałych trzech, wymaga do zdefiniowania homologii kontaktowej. Aby zapoznać się z wbudowaną homologią kontaktową, patrz Hutchings (2009) .

Wszystkie te teorie są wyposażone w względne oceny a priori; zostały one podniesione do ocen bezwzględnych (według klas homotopii zorientowanych pól dwupłaszczyznowych) przez Kronheimera i Mrowkę (dla SWF), Grippa i Huanga (dla HF) oraz Hutchingsa (dla ECH). Cristofaro-Gardiner wykazał, że izomorfizm Taubesa między ECH a kohomologią Seiberga-Wittena Floera zachowuje te bezwzględne stopnie.

Homologia Instantona Floera

Jest to trójrozmaitościowy niezmiennik związany z teorią Donaldsona wprowadzoną przez samego Floera. Uzyskuje się to za pomocą Cherna-Simonsa na przestrzeni połączeń na głównej wiązce SU (2) na trójrozmaitości (a dokładniej 3-sferach homologii). Jej punktami krytycznymi są połączenia płaskie , a liniami przepływu momentony , czyli połączenia antysamodualne na trójrozmaitości przecinającej się z linią rzeczywistą. Homologię Instantona Floera można postrzegać jako uogólnienie niezmiennika Cassona , ponieważ charakterystyka Eulera homologii Floera zgadza się z niezmiennikiem Cassona.

Wkrótce po wprowadzeniu przez Floera homologii Floera Donaldson zdał sobie sprawę, że kobordyzmy wywołują mapy. Był to pierwszy przypadek struktury, która stała się znana jako topologiczna kwantowa teoria pola .

Homologia Seiberga-Wittena Floera

Homologia Seiberga – Wittena Floera lub monopolowa homologia Floera to teoria homologii gładkich 3-rozmaitości (wyposażonych w spinową strukturę ^c ). Można to postrzegać jako homologię Morse'a funkcjonału Cherna-Simonsa-Diraca na połączeniach U (1) na trójrozmaitości. Powiązane równanie przepływu gradientu odpowiada równaniom Seiberga-Wittena na 3-rozmaitości skrzyżowanej z linią rzeczywistą. Równoważnie, generatory kompleksu łańcuchowego są rozwiązaniami niezmiennymi względem translacji równań Seiberga-Wittena (znanych jako monopole) na iloczynie 3-rozmaitości i linii rzeczywistej, a rozwiązania zliczeń różniczkowych równań Seiberga-Wittena na produkcie trójrozmaitości i linii rzeczywistej, które są asymptotyczne do niezmienniczych rozwiązań w nieskończoności i ujemnej nieskończoności.

Jedna wersja homologii Seiberga-Wittena-Floera została skonstruowana rygorystycznie w monografii Monopoles and Three-manifolds autorstwa Petera Kronheimera i Tomasza Mrówki , gdzie jest znana jako monopolowa homologia Floera. Taubes wykazał, że jest to izomorficzne z homologią osadzoną w kontakcie. Alternatywne konstrukcje SWF dla racjonalnych 3-sfer homologii zostały podane przez Manolescu (2003) i Frøyshov (2010) ; wiadomo, że się zgadzają.

Homologia Heegaarda Floera

Homologia Heegaarda Floera // ( słuchaj ) jest niezmiennikiem ze względu na Petera Ozsvátha i Zoltána Szabó zamkniętej 3-rozmaitości wyposażonej w spinową strukturę ^c . Oblicza się go za pomocą diagramu Heegaarda przestrzeni za pomocą konstrukcji analogicznej do homologii Lagrange'a Floera. Kutluhan, Lee & Taubes (2010) ogłosili dowód, że homologia Heegaarda Floera jest izomorficzna z homologią Seiberga-Wittena Floera, a Colin, Ghiggini i Honda (2011) ogłosili dowód, że homologia plus- wersja homologii Heegaarda Floera (z odwróconą orientacją) jest izomorficzna z osadzoną homologią kontaktową.

Węzeł w trójrozmaitości indukuje filtrację na grupach homologii Heegaarda Floera, a filtrowany typ homotopii jest potężnym niezmiennikiem węzła , zwanym homologią węzła Floera. To kategoryzuje wielomian Aleksandra . Homologia Knot Floer została zdefiniowana przez Ozsvátha i Szabó (2003) i niezależnie przez Rasmussena (2003) . Wiadomo, że wykrywa rodzaj węzłów. Korzystając z diagramów siatki dla rozszczepień Heegaarda, homologii węzła Floer nadano konstrukcję kombinatoryczną przez Manolescu, Ozsváth i Sarkar (2009) .

Homologia Heegaarda Floera podwójnej osłony S^3 rozgałęzionej na węźle jest powiązana przez sekwencję widmową z homologią Khovanova ( Ozsváth & Szabó 2005 ) .

Wersja „kapeluszowa” homologii Heegaarda Floera została opisana kombinatorycznie przez Sarkara i Wanga (2010) . Wersje „plus” i „minus” homologii Heegaarda Floera i powiązane czterorozmaitościowe niezmienniki Ozsvátha – Szabó można również opisać kombinatorycznie ( Manolescu, Ozsváth i Thurston 2009 ).

Wbudowana homologia kontaktowa

Wbudowana homologia kontaktowa , ze względu na Michaela Hutchingsa , jest niezmiennikiem 3-rozmaitości (z wyróżnioną drugą klasą homologii, odpowiadającą wyborowi struktury spinowej ^c w homologii Seiberga-Wittena Floera) izomorficzną (według pracy Clifforda Taubesa ) do Seiberga –Kohomologia Wittena Floera iw konsekwencji (w pracy ogłoszonej przez Kutluhana, Lee & Taubesa 2010 i Colin, Ghiggini & Honda 2011 ) do wersji plus homologii Heegaarda Floera (z odwróconą orientacją). Można to postrzegać jako rozszerzenie niezmiennika Gromowa Taubesa , o którym wiadomo, że jest równoważne niezmiennikowi Seiberga-Wittena , od zamkniętych 4-rozmaitości symplektycznych do pewnych niezwartych 4-rozmaitości symplektycznych (mianowicie kontaktowego trójwymiarowego krzyża R). Jego konstrukcja jest analogiczna do symplektycznej teorii pola, ponieważ jest generowana przez pewne zbiory zamkniętych orbit Reeba , a jej różniczka zlicza pewne holomorficzne krzywe z końcami na pewnych zbiorach orbit Reeba. Różni się od SFT warunkami technicznymi na zbiorach orbit Reeba, które go generują - i tym, że nie liczy wszystkich krzywych holomorficznych o indeksie Fredholma 1 z podanymi końcami, ale tylko te, które również spełniają warunek topologiczny określony przez indeks ECH , który w szczególności oznacza, że ​​rozważane krzywe są (głównie) osadzone.

Hipoteza Weinsteina , że ​​3-rozmaitość kontaktowa ma zamkniętą orbitę Reeba dla dowolnej formy kontaktu, obowiązuje na każdej rozmaitości, której ECH jest nietrywialna, i została udowodniona przez Taubesa przy użyciu technik ściśle związanych z ECH; rozszerzenia tej pracy dały izomorfizm między ECH i SWF. Wiele konstrukcji w ECH (w tym jego dobrze zdefiniowana) opiera się na tym izomorfizmie ( Taubes 2007 ).

Element kontaktowy ECH ma szczególnie ładną formę: jest to cykl związany z pustym zbiorem orbit Reeba.

Analog osadzonej homologii kontaktowej można zdefiniować do mapowania torusów symplektomorfizmów powierzchni (prawdopodobnie z granicą) i jest znany jako okresowa homologia Floera, uogólniająca symplektyczną homologię Floera powierzchniowych symplektomorfizmów. Bardziej ogólnie, można to zdefiniować w odniesieniu do dowolnej stabilnej struktury hamiltonowskiej na 3-rozmaitości; podobnie jak struktury kontaktowe, stabilne struktury hamiltonowskie definiują niezanikające pole wektorowe (pole wektorowe Reeba), a Hutchings i Taubes dowiedli dla nich analogii do hipotezy Weinsteina, a mianowicie, że zawsze mają zamknięte orbity (chyba że odwzorowują torus 2 -torus).

Przecięcie Lagrange'a Homologia Floera

Homologia Lagrange'a Floera dwóch poprzecznie przecinających się podrozmaitości Lagrange'a rozmaitości symplektycznej jest homologią kompleksu łańcuchowego generowanego przez punkty przecięcia dwóch podrozmaitości i którego różnica liczy pseudoholomorficzne dyski Whitneya .

₀ Biorąc pod uwagę trzy podrozmaitości Lagrange'a L , L ₁ i L ₂ rozmaitości symplektycznej, istnieje struktura produktu na homologii Lagrange'a Floera:

${\ Displaystyle HF (L_ {0}, L_ {1}) \ czasami HF (L_ {1} },L_{2})\rightarrow HF(L_{0},L_{2}),}$

który jest definiowany przez zliczanie trójkątów holomorficznych (to znaczy holomorficznych map trójkąta, którego wierzchołki i krawędzie są odwzorowywane na odpowiednie punkty przecięcia i podrozmaitości Lagrange'a).

Artykuły na ten temat pochodzą od Fukayi, Oh, Ono i Ohty; ostatnie prace nad „homologią klastrów” Lalonde i Cornea oferują inne podejście do tego. Homologia Floera pary podrozmaitości Lagrange'a może nie zawsze istnieć; kiedy tak się dzieje, stanowi przeszkodę w izotopowaniu jednego Lagrange'a z dala od drugiego za pomocą izotopu Hamiltona .

Kilka rodzajów homologii Floera to szczególne przypadki homologii Lagrange'a Floera. Symplektyczną homologię Floera symplektomorfizmu M można traktować jako przypadek homologii Lagrange'a Floera, w której rozmaitość otoczenia jest M skrzyżowana z M, a podrozmaitości Lagrange'a to przekątna i wykres symplektomorfizmu. Konstrukcja homologii Heegaarda Floera jest oparta na wariancie homologii Lagrange'a Floera dla całkowicie rzeczywistych podrozmaitości zdefiniowanych za pomocą podziału Heegaarda na trzy rozmaitości. Seidel-Smith i Manolescu skonstruowali niezmiennik łączenia jako pewien przypadek homologii Lagrange'a Floera, który przypuszczalnie zgadza się z homologią Khovanova , kombinatorycznie zdefiniowanym niezmiennikiem łączenia.

Przypuszczenie Atiyaha-Floera

Hipoteza Atiyaha-Floera łączy natychmiastową homologię Floera z homologią Floera na przecięciu Lagrange'a. Rozważ 3-rozmaitościowy Y z Heegaardem rozdzielającym się wzdłuż powierzchni ${\ displaystyle \ Sigma}$ . Wtedy przestrzeń płaskich połączeń na $równoważności$ miernika jest rozmaitością symplektyczną $\ Displaystyle \$ wymiarze 6 g - 6, gdzie g jest rodzajem powierzchni ${\ Displaystyle \ Sigma}$ . W podziale Heegaarda ogranicza dwie różne 3-rozmaitości; ${\ displaystyle \ Sigma}$ przestrzeń płaskich połączeń równoważności miernika modulo na każdej 3-rozmaitości z $osadzonymi$ . Można rozważyć homologię Floera przecięcia Lagrange'a. Alternatywnie, możemy rozważyć homologię Instantona Floera 3-rozmaitości Y. Hipoteza Atiyaha-Floera zakłada, że ​​te dwa niezmienniki są izomorficzne. Salamon-Wehrheim i Daemi-Fukaya pracują nad swoimi programami, aby udowodnić tę hipotezę.

Relacje z symetrią lustrzaną

Przypuszczenie homologicznej symetrii lustrzanej Maxima Kontsevicha przewiduje równość między homologią Lagrange'a Floera Lagrange'ów w $rozmaitości$ Calabiego – Yau grupami Ext spójnych snopów na lustrzanej rozmaitości Calabiego – Yau. W tej sytuacji nie należy skupiać się na grupach homologii Floera, ale na grupach łańcucha Floera. n -gonów można konstruować multikompozycje . Te kompozycje spełniają $-kategorię$ wszystkich (bez przeszkód) podrozmaitości Lagrange'a w rozmaitości symplektycznej $w$ Fukaya . kategoria .

Aby być bardziej precyzyjnym, należy dodać do Lagrange'a dodatkowe dane – stopniowanie i strukturę spinową . Lagrange'a z wyborem tych struktur jest często nazywany brane w hołdzie dla leżącej u podstaw fizyki. Przypuszczenie Homological Mirror Symmetry stwierdza, że ​​​​istnieje rodzaj pochodnej równoważności Mority $między$ kategorią Fukaya Calabiego – Yau kategorią dg leżącą u podstaw ograniczonej kategorii pochodnej spójnych snopów lustra i odwrotnie.

Symplektyczna teoria pola (SFT)

Jest to niezmiennik rozmaitości kontaktowych i kobordyzmów symplektycznych między nimi, pierwotnie za sprawą Jakowa Eliaszberga , Aleksandra Giventala i Helmuta Hofera . Symplektyczna teoria pola i jej podzespoły, wymierna symplektyczna teoria pola i homologia kontaktowa, są definiowane jako homologie algebr różniczkowych, które są generowane przez zamknięte orbity pola wektorowego Reeba o wybranej formie kontaktowej. Mechanizm różnicowy zlicza pewne holomorficzne krzywe w cylindrze nad kolektorem kontaktowym, gdzie trywialnymi przykładami są rozgałęzione pokrycia (trywialnych) cylindrów na zamkniętych orbitach Reeba. Obejmuje ponadto teorię homologii liniowej, zwaną homologią kontaktową cylindryczną lub zlinearyzowaną (czasami, przez nadużycie notacji, po prostu homologią kontaktową), której grupami łańcuchów są przestrzenie wektorowe generowane przez zamknięte orbity i których różniczki liczą tylko cylindry holomorficzne. Jednak cylindryczna homologia kontaktowa nie zawsze jest zdefiniowana ze względu na obecność dysków holomorficznych oraz brak wyników regularności i poprzeczności. W sytuacjach, w których cylindryczna homologia kontaktowa ma sens, można ją postrzegać jako (nieco zmodyfikowaną) homologię Morse'a funkcjonału działania na wolnej przestrzeni pętli, która wysyła pętlę do całki formy kontaktowej alfa przez pętlę. Punktami krytycznymi tego funkcjonału są orbity Reeba.

SFT wiąże również względny niezmiennik legendarnej podrozmaitości rozmaitości kontaktowej, znany jako względna homologia kontaktowa . Jego generatorami są akordy Reeba, które są trajektoriami pola wektorowego Reeba, rozpoczynającymi się i kończącymi na Lagrange'u, a jego różniczka zlicza pewne holomorficzne paski w symplektyzacji rozmaitości kontaktowej, której końce są asymptotyczne względem danych akordów Reeba.

W SFT rozmaitości kontaktowe można zastąpić przez odwzorowanie torusów rozmaitości symplektycznych za pomocą symplektomorfizmów. Podczas gdy cylindryczna homologia kontaktowa jest dobrze zdefiniowana i dana przez symplektyczne homologie Floera potęg symplektomorfizmu, (racjonalną) symplektyczną teorię pola i homologię kontaktową można uznać za uogólnione symplektyczne homologie Floera. W ważnym przypadku, gdy symplektomorfizm jest jednoczasową mapą hamiltonianu zależnego od czasu, wykazano jednak, że te wyższe niezmienniki nie zawierają żadnych dalszych informacji.

Homotopia Floera

Jednym z możliwych sposobów skonstruowania teorii homologii Floera jakiegoś obiektu byłoby skonstruowanie powiązanego widma , którego zwykłą homologią jest pożądana homologia Floera. Zastosowanie innych teorii homologii do takiego widma mogłoby przynieść inne interesujące niezmienniki. Strategia ta została zaproponowana przez Ralpha Cohena, Johna Jonesa i Graeme'a Segala i została zastosowana w niektórych przypadkach dla homologii Seiberga-Wittena-Floera przez Manolescu (2003) oraz dla symplektycznej homologii wiązek kostycznych Floera przez Cohena. To podejście było podstawą konstrukcji Manolescu z 2013 r. Równoważnej homologii Pin (2) Seiberga-Wittena Floera, za pomocą której obalił hipotezę triangulacji dla rozmaitości o wymiarze 5 i wyższym.

Podstawy analityczne

Wiele z tych homologii Floera nie zostało całkowicie i rygorystycznie skonstruowanych, a wiele domniemanych równoważności nie zostało udowodnionych. W przeprowadzonej analizie pojawiają się trudności techniczne, zwłaszcza przy konstruowaniu zagęszczonych przestrzeni modułów krzywych pseudoholomorficznych. Hofer, we współpracy z Krisem Wysockim i Eduardem Zehnderem, opracował nowe podstawy analityczne poprzez swoją teorię polifoldów i „ogólną teorię Fredholma”. Chociaż projekt polyfold nie został jeszcze w pełni ukończony, w niektórych ważnych przypadkach poprzeczność została pokazana przy użyciu prostszych metod.

Obliczenie

Homologie Floera są generalnie trudne do jednoznacznego obliczenia. Na przykład symplektyczna homologia Floera dla wszystkich powierzchniowych symplektomorfizmów została zakończona dopiero w 2007 roku. Homologia Heegaarda Floera była pod tym względem sukcesem: naukowcy wykorzystali jej strukturę algebraiczną do obliczenia jej dla różnych klas 3-rozmaitości i znaleźli kombinatorykę algorytmy do obliczania większości teorii. Jest również powiązany z istniejącymi niezmiennikami i strukturami, co zaowocowało wieloma wglądami w topologię 3-rozmaitości.

Książki i ankiety

•   Atiyah, Michael (1988). „Nowe niezmienniki rozmaitości 3- i 4-wymiarowych” . Matematyczne dziedzictwo Hermanna Weyla . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . Tom. 48. s. 285–299. doi : 10.1090/pspum/048/974342 . ISBN 9780821814826 .
•   Augustyn Banyaga ; David Hurtubise (2004). Wykłady z homologii Morse'a . Wydawnictwa Naukowe Kluwer . ISBN 978-1-4020-2695-9 .
•   Simona Donaldsona ; M. Furuta; D. Kotschick (2002). Grupy homologii Floera w teorii Yanga-Millsa . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 147. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-80803-3 .
•   Ellwood, David A.; Ozsváth, Peter S. ; Stipsicz, András I.; Szabó, Zoltán , wyd. (2006). Homologia Floera, teoria cechowania i topologia niskowymiarowa . Clay Mathematics Proceedings . Tom. 5. Instytut Matematyki Gliny . ISBN 978-0-8218-3845-7 .
•   Kronheimer, Piotr ; Mrówka, Tomasz (2007). Monopole i trójrozmaitości . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 978-0-521-88022-0 .
•   McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (1998). Wprowadzenie do topologii symplektycznej . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-850451-1 .
•   McDuff, Dusa (2005). „Teoria Floer i topologia niskowymiarowa” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 43 : 25–42. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01080-3 . MR 2188174 .
•   Schwarz, Maciej (2012) [1993]. Homologia Morse'a . Postęp w matematyce. Tom. 111. Birkäuser . ISBN 978-3-0348-8577-5 .
•   Seidel, Paweł (2008). Kategorie Fukayi i teoria Picarda Lefschetza . Europejskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-3037190630 .

Artykuły badawcze

•    Colin, Wincenty; Ghiggini, Paolo; Honda, Ko (2011). „Równoważność homologii Heegaarda Floera i osadzonej homologii kontaktowej poprzez dekompozycje otwartej książki” . PNAS . 108 (20): 8100–8105. Bibcode : 2011PNAS..108.8100C . doi : 10.1073/pnas.1018734108 . PMC 3100941 . PMID 21525415 .
• Floer, Andreas (1988). „Nieuregulowany przepływ gradientu działania symplektycznego”. Kom. czysta aplikacja Matematyka 41 (6): 775–813. doi : 10.1002/cpa.3160410603 .
•   ——— (1988). „Niezmiennik natychmiastowy dla 3 rozmaitości” . Kom. Matematyka fizyka 118 (2): 215–240. Bibcode : 1988CMaPh.118..215F . doi : 10.1007/BF01218578 . S2CID 122096068 . Projekt Euclid
•   ——— (1988). „Teoria Morse'a dla przecięć Lagrange'a” . J. Geometria różniczkowa. 28 (3): 513–547. doi : 10.4310/jdg/1214442477 . MR 0965228 .
• ——— (1989). „Szacunki długości miseczki na skrzyżowaniach Lagrange'a”. Kom. czysta aplikacja matematyka _ 42 (4): 335–356. doi : 10.1002/cpa.3160420402 .
•   ——— (1989). „Symplektyczne punkty stałe i kule holomorficzne” . Kom. Matematyka fizyka . 120 (4): 575–611. Bibcode : 1988CMaPh.120..575F . doi : 10.1007/BF01260388 . S2CID 123345003 .
• ——— (1989). „Złożona i nieskończenie wymiarowa teoria Morse'a Wittena” (PDF) . J. Diff. Geom . 30 (1): 202–221. doi : 10.4310/jdg/1214443291 .
•   Frøyshov, Kim A. (2010). „Monopole Floer homologia dla racjonalnej homologii 3-sfer”. Duke Matematyka. J. 155 (3): 519-576. ar Xiv : 0809.4842 . doi : 10.1215/00127094-2010-060 . S2CID 8073050 .
•   Gromow, Michaił (1985). „Pseudoholomorficzne krzywe w rozmaitościach symplektycznych”. Inventiones Mathematicae . 82 (2): 307–347. Bibcode : 1985InMat..82..307G . doi : 10.1007/BF01388806 . S2CID 4983969 .
•   Hofer, Helmut ; Wysocki, Krzyś; Zehnder, Eduard (2007). „Ogólna teoria Fredholma I: geometria różniczkowa oparta na splicingu”. Dziennik Europejskiego Towarzystwa Matematycznego . 9 (4): 841–876. arXiv : math.FA/0612604 . Bibcode : 2006math.....12604H . doi : 10.4171/JEMS/99 . S2CID 14716262 .
•   Juhász, András (2008). „Floer homologia i rozkłady powierzchni”. Geometria i topologia . 12 (1): 299–350. arXiv : matematyka/0609779 . doi : 10.2140/gt.2008.12.299 . S2CID 56418423 .
•   Kutluhan, Cagatay; Lee, Yi-Jen; Taubes, Clifford Henry (2020). „HF = HM I: homologia Heegaarda Floera i homologia Seiberga – Wittena Floera”. Geometria i topologia . 24 (6): 2829–2854. ar Xiv : 1007.1979 . doi : 10.2140/gt.2020.24.2829 . S2CID 118772589 .
•   Lipszyc, Robert; Ozsváth, Peter ; Thurston, Dylan (2008). „Bordered Heegaard Floer homologia: niezmienność i parowanie”. Wspomnienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 254 (1216). ar Xiv : 0810.0687 . doi : 10.1090/memo/1216 . S2CID 115166724 .
•   Manolescu, Ciprian (2003). „Seiberg – Witten – Floer stabilny typ homotopii trzech rozmaitości z b ₁ = 0”. Geom. Topola. 7 (2): 889–932. arXiv : matematyka/0104024 . doi : 10.2140/gt.2003.7.889 . S2CID 9130339 .
•   Manolescu, Ciprian; Ozsvath, Peter S.; Sarkar, Sucharit (2009). „Kombinatoryczny opis homologii węzłów Floer”. Ann. z matematyki. 169 (2): 633–660. arXiv : matematyka/0607691 . Bibcode : 2006math......7691M . doi : 10.4007/annals.2009.169.633 . S2CID 15427272 .
• Manolescu, Ciprian; Ozsváth, Peter; Thurston, Dylan (2009). „Diagramy siatkowe i niezmienniki Heegaarda Floera”. arXiv : 0910.0078 [ matematyka. GT ].
•   Ozsváth, Peter; Szabo, Zoltán (2004). „Dyski holomorficzne i niezmienniki topologiczne dla zamkniętych trójrozmaitości”. Ann. z matematyki. 159 (3): 1027–1158. arXiv : matematyka/0101206 . Bibcode : 2001math......1206O . doi : 10.4007/annals.2004.159.1027 . S2CID 119143219 .
•   ———; Szabo (2004). „Dyski holomorficzne i niezmienniki trzech rozmaitości: właściwości i zastosowania”. Ann. z matematyki . 159 (3): 1159-1245. arXiv : matematyka/0105202 . Bibcode : 2001math......5202O . doi : 10.4007/annals.2004.159.1159 . S2CID 8154024 .
• Ozsváth, Peter; Szabó, Zoltán (2004). „Dyski holomorficzne i niezmienniki węzłów” . Postępy w matematyce . 186 (1): 58–116. arXiv : math.GT/0209056 . doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 .
•   Ozsváth, Peter; Szabo, Zoltán (2005). „O homologii rozgałęzionych podwójnych osłon Heegaarda Floera” . Postępy w matematyce . 194 (1): 1–33. arXiv : math.GT/0209056 . Bibcode : 2003math......9170O . doi : 10.1016/j.aim.2004.05.008 . S2CID 17245314 .
• Rasmussen, Jakub (2003). „Homologia Floera i uzupełnienia węzłów”. arXiv : matematyka/0306378 .
•   Salamon, Dietmar; Wehrheim, Katrin (2008). „Homologia Instantona Floera z warunkami brzegowymi Lagrange'a”. Geometria i topologia . 12 (2): 747–918. arXiv : matematyka/0607318 . doi : 10.2140/gt.2008.12.747 . S2CID 119680541 .
•   Sarkar, Sucharit; Wang, Jiajun (2010). „Algorytm obliczania niektórych homologii Heegaarda Floera”. Ann. z matematyki . 171 (2): 1213–1236. arXiv : matematyka/0607777 . doi : 10.4007/annals.2010.171.1213 . S2CID 55279928 .
•    Hutchingsa (2009). Ponowny przegląd wbudowanego indeksu homologii kontaktowej . CRM proc. Notatki z wykładu . Postępowanie CRM i notatki z wykładów. Tom. 49. s. 263–297. ar Xiv : 0805.1240 . Bibcode : 2008arXiv0805.1240H . doi : 10.1090/crmp/049/10 . ISBN 9780821843567 . S2CID 7751880 .
•   Taubes, Clifford (2007). „Równania Seiberga-Wittena i hipoteza Weisteina”. Geom. topola . 11 (4): 2117–2202. arXiv : matematyka/0611007 . doi : 10.2140/gt.2007.11.2117 . S2CID 119680690 .
•   Piunikhin, Siergiej; Salamon, Dietmar; Schwarz, Matthias (1996). „Teoria symplektyczna Floera – Donaldsona i kohomologia kwantowa”. Geometria kontaktowa i symplektyczna . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. s. 171–200. ISBN 978-0-521-57086-2 .

Linki zewnętrzne

• „Przypuszczenie Atiyaha-Floera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• „ Homologia węzłów Heegaard Floer ”, The Knot Atlas .