Kategoria Fukaya

W topologii symplektycznej $(M)}$ Fukayi rozmaitości symplektycznej jest kategorią , obiektami są $\ mathcal {F}$ Podrozmaitości Lagrange'a $m$ , morfizmy to grupy łańcuchów Floera : ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (L_ {0}, L_ {1}) = FC (L_ {0}, L_ {1})}$ . Jego drobniejsza struktura może być opisana w języku quasi-kategorii jako A _∞ -kategoria .

Zostały nazwane na cześć Kenjiego Fukayi , który jako pierwszy wprowadził $język$ w kontekście homologii Morse'a i istnieje w wielu Ponieważ kategorie Fukayi są kategoriami A∞ _przedmiotem , mają powiązane kategorie pochodne , które są słynnej hipotezy homologicznej symetrii lustrzanej Maxima Kontsevicha . To przypuszczenie zostało zweryfikowane obliczeniowo dla wielu stosunkowo prostych przykładów.

Definicja formalna

Niech ${\ Displaystyle (X, \ omega)}$ będzie rozmaitością symplektyczną. $podzbiór X} , załóżmy, że przecinają$ \ ${ \displaystyle CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ poprzecznie, a następnie zdefiniuj kompleks cochain Floera , który jest modułem generowanym przez punkty przecięcia ${\ Displaystyle L_ {0} \ czapka L_ {1}}$ . Kompleks cochain Floer jest postrzegany jako zbiór morfizmów od ${\ displaystyle L_ {0}}$ do ${\ displaystyle L_ {1}}$ . Kategoria Fukaya jest $.$ , co oznacza, że ​​oprócz zwykłych kompozycji istnieją wyższe mapy

${\ Displaystyle \ mu _ {d}: CF ^ {*} (L_ {d-1}, L_ {d}) \ czasami CF ^ {*} (L_ {d-2}, L_ {d-1}) \otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{ 0},L_{d}).}$

Jest to określone w następujący sposób. Wybierz kompatybilną , prawie złożoną strukturę $ω$ rozmaitości symplektycznej ${\ Displaystyle (X, \ omega)$ . P ${\ Displaystyle p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}}$ kołańcuchowych po lewej stronie i dowolnego generatora ${\ displaystyle q_ {0d} }$ kompleksu cochain po prawej stronie, przestrzeń modułów ${\ Displaystyle J}$ - holomorficzne wielokąty z $,L_{d}}$$,$ każdą twarzą odwzorowaną na $L_ {1}, \$ ma licznik

${\ Displaystyle n (p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}; q_ {0d})}$

w pierścieniu współczynników. Następnie zdefiniuj

${\ Displaystyle \ mu _ {d} (p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}) = \ suma _ {q_ {0d} \ w L_ {0} \ cap L_ {d}} n (p_ {d-1d},\ldots,p_{01})\cdot q_{0d}\w CF^{*}(L_{0},L_{d})}$

i rozszerzyć $wieloliniowy$ .

Sekwencja wyższych kompozycji $A_$$Displaystyle$ , ZA granice różnych przestrzeni modułowych wielokątów holomorficznych odpowiadają konfiguracjom wielokątów zdegenerowanych.

Ta definicja kategorii Fukayi dla ogólnej (zwartej) rozmaitości symplektycznej nigdy nie została rygorystycznie podana. Głównym wyzwaniem jest kwestia transwersalności, która jest niezbędna przy definiowaniu liczenia dysków holomorficznych.

Zobacz też

• Algebra asocjacyjna homotopii

Bibliografia

• Denis Auroux , Wprowadzenie do kategorii Fukaya dla początkujących.

• Paul Seidel , kategorie Fukayi i teoria Picarda-Lefschetza. Zurych wykłada zaawansowaną matematykę
•    Fukaya, Kenji ; Och, Yong-Geun ; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Przecięcie Lagrange'a Teoria Floera: anomalia i przeszkoda. Część I , Studia AMS/IP w zaawansowanej matematyce, tom. 46, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , Providence, RI; International Press, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4836-4 , MR 2553465
•    Fukaya, Kenji ; Och, Yong-Geun ; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Przecięcie Lagrange'a Teoria Floera: anomalia i przeszkoda. Część II , Studia AMS/IP w zaawansowanej matematyce, tom. 46, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , Providence, RI; International Press, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4837-1 , MR 2548482

Linki zewnętrzne

• Wątek na MathOverflow „Czy kategoria Fukaya jest „ zdefiniowana”?