homologia Morse'a

W matematyce , szczególnie w dziedzinie topologii różniczkowej , homologia Morse'a jest teorią homologii zdefiniowaną dla dowolnej rozmaitości gładkiej . Jest skonstruowany przy użyciu gładkiej struktury i pomocniczej metryki na rozmaitości, ale okazuje się, że jest topologicznie niezmienny iw rzeczywistości jest izomorficzny z homologią pojedynczą . Homologia Morse'a służy również jako model dla różnych nieskończenie wymiarowych uogólnień znanych jako teorie homologii Floera .

Definicja formalna

Mając dowolną (zwartą) gładką rozmaitość, niech f będzie funkcją Morse'a , a g metryką Riemanna na rozmaitości. ( pomocnicze; ostatecznie homologia Morse'a nie zależy od żadnego z nich.) Para nam . Mówimy że jest - Smale'a jeśli i ze wszystkimi punktami krytycznymi f przecinają się poprzecznie .

Dla każdej takiej pary , że różnica indeksu równa wymiarowi przestrzeni modułów gradientowych między tymi punktami Zatem istnieje jednowymiarowa przestrzeń modułów przepływów między punktem krytycznym o indeksie i a punktem o indeksie . Każdy przepływ można ponownie sparametryzować za pomocą jednowymiarowej translacji w domenie. Po zmodyfikowaniu przez te reparametryzacje, przestrzeń ilorazowa jest zerowymiarowa — to znaczy zbiór zorientowanych punktów reprezentujących niesparametryzowane linie przepływu.

Do ∗ zdefiniować w następujący sposób. Zbiór łańcuchów to Z - moduł generowany przez punkty krytyczne. Różniczka d kompleksu wysyła punkt krytyczny p indeksu i do sumy indeksu - liczbie niesparametryzowanych linii przepływu od do tych krytycznych. Fakt, że liczba takich linii przepływu jest skończona, wynika ze zwartości przestrzeni modułów.

Fakt, że definiuje to łańcuchowy (to znaczy, że przestrzenie modułów przepływów gradientowych kompaktują się . Mianowicie we współczynniku punktu krytycznego q (podpisana) liczba przerwane przepływy składające się z przepływu indeksu-1 z p do pewnego krytycznego punktu r indeksu i inny przepływ indeksu-1 od r do q . Te przerywane przepływy dokładnie stanowią granicę przestrzeni modułów przepływów o indeksie-2: można wykazać, że granica dowolnej sekwencji nieprzerwanych przepływów o indeksie-2 ma tę postać, a wszystkie takie przepływy przerywane powstają jako granice nieprzerwanego indeksu-2 płynie. Niesparametryzowane przepływy indeksu-2 występują w jednowymiarowych rodzinach, które kompaktują się w kompaktowe jednorozmaitości z granicami. Fakt, że granica zwartej jednorozmaitości ma podpisaną liczbę zero, dowodzi, że .

Niezmienność homologii Morse'a

00 Można wykazać, że homologia tego kompleksu jest niezależna od użytej do jego zdefiniowania pary Morse-Smale ( f , g ). Zawsze można zdefiniować homotopię par ( f t , g t ), która interpoluje między dowolnymi dwiema danymi parami ( f , g ) i ( f 1 , g 1 ). Albo poprzez analizę bifurkacji , albo za pomocą mapy kontynuacji do zdefiniowania mapy łańcucha z do , można wykazać, że dwie homologie Morse'a są izomorficzne. Analogiczne argumenty wykorzystujące homotopię homotopii pokazują, że ten izomorfizm jest kanoniczny.

Innym podejściem do udowodnienia niezmienności homologii Morse'a jest odniesienie jej bezpośrednio do homologii pojedynczej. Można zdefiniować mapę do pojedynczej homologii, wysyłając punkt krytyczny do pojedynczego łańcucha powiązanego z niestabilną rozmaitością powiązaną z tym punktem; odwrotnie, pojedynczy łańcuch jest wysyłany do granicznych punktów krytycznych, do których dociera przepływ łańcucha przy użyciu pola wektora gradientu. Najczystszym sposobem, aby zrobić to rygorystycznie, jest użycie teorii prądów .

Izomorfizm z homologią pojedynczą można również udowodnić, wykazując izomorfizm z homologią komórkową , oglądając niestabilną rozmaitość związaną z punktem krytycznym indeksu i jako komórkę i i pokazując, że mapy granic w kompleksach Morse'a i komórkowych odpowiadają.

Powiązane konstrukcje

To podejście do teorii Morse'a było znane w jakiejś formie René Thomowi i Stephenowi Smale'owi . Jest to również ukryte w książce Johna Milnora na temat twierdzenia o h-kobordyzmie .

Z faktu, że homologia Morse'a jest izomorficzna z homologią pojedynczą, wynikają nierówności Morse'a, biorąc pod uwagę liczbę generatorów - to znaczy punktów krytycznych - niezbędnych do wygenerowania grup homologii odpowiednich rang (oraz biorąc pod uwagę skrócenia kompleksu Morse'a , aby uzyskać silniejsze nierówności). Istnienie homologii Morse'a „wyjaśnia” w sensie kategoryzacji nierówności Morse'a.

Edward Witten wymyślił pokrewną konstrukcję na początku lat 80., czasami znaną jako teoria Morse'a-Wittena.

Homologię Morse'a można rozszerzyć na skończenie wymiarowe, niezwarte lub nieskończenie wymiarowe rozmaitości, w których indeks pozostaje skończony, metryka jest kompletna, a funkcja spełnia warunek zwartości Palais-Smale'a , taki jak funkcjonał energii dla geodezji na rozmaitości Riemanna. Uogólnienie na sytuacje, w których zarówno indeks, jak i indeks są nieskończone, ale względny indeks dowolnej pary punktów krytycznych jest skończony, jest znany jako homologia Floera .

Siergiej Nowikow uogólnił tę konstrukcję do teorii homologii związanej z zamkniętą jednoformą na rozmaitości. Homologia Morse'a jest szczególnym przypadkiem dla jednopostaciowej df . Szczególnym przypadkiem teorii Novikova jest teoria Morse'a o wartości koła , którą Michael Hutchings i Yi-Jen Lee połączyli ze skręcaniem Reidemeistera i teorią Seiberga-Wittena .

Homologia Morse'a-Botta

Homologię Morse'a można przeprowadzić w układzie Morse'a-Botta, tj. Gdy zamiast izolowanych niezdegenerowanych punktów krytycznych funkcja ma rozmaitości krytyczne, których przestrzeń styczna w punkcie pokrywa się z jądrem Hesji w punkcie. Taka sytuacja wystąpi zawsze, jeśli rozważana funkcja jest niezmienna względem niedyskretnej grupy Liego.

Aby opisać otrzymany kompleks łańcuchów i jego homologię, wprowadź ogólną funkcję Morse'a na każdej krytycznej podrozmaitości. Łańcuchy będą składać się ze ścieżek, które zaczynają się w krytycznej rozmaitości w krytycznym punkcie pomocniczej funkcji Morse'a, podążając po trajektorii gradientu w odniesieniu do pewnej metryki, a następnie opuszczają podrozmaitość, aby podążać za polem wektora gradientu funkcji Morse'a-Botta, dopóki nie trafia w inny krytyczny kolektor; albo płynie przez chwilę wzdłuż trajektorii gradientu związanej z funkcją Morse'a w tej krytycznej podrozmaitości, a następnie przepływa do innej krytycznej podrozmaitości itp., albo przepływa do punktu krytycznego w oryginalnej podrozmaitości i kończy się. Patrz (Frauenfelder). Takie podejście do homologii Morse'a-Botta pojawiło się w kontekście niepublikowanej pracy dla homologii kontaktowej Bourgeois, w której krytycznymi podrozmaitościami są zbiory orbit Reeba 0 , a przepływy gradientu między krytycznymi podrozmaitościami są krzywymi pseudoholomorficznymi w symplektyzacji rozmaitości kontaktowej asymptotycznej względem orbit Reeba w odpowiednich rozmaitościach krytycznych orbit Reeba. Jeśli rozszerzymy każdą funkcję Morse'a na funkcję na całej rozmaitości obsługiwanej w pobliżu krytycznych podrozmaitości, możemy jawnie zapisać funkcję Morse'a-Smale'a, która zaburza oryginalną funkcję Morse'a-Botta. Mianowicie, pomnóż każdą z rozszerzonych funkcji przez jakąś małą dodatnią stałą, zsumuj je i dodaj wynik do oryginalnej funkcji Morse'a-Botta. Przełamane przepływy opisane powyżej będą C blisko linii przepływu tej funkcji Morse'a-Smale'a.

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Morse_homology&oldid=1136151524 ”