A _∞ -operacja

W teorii operad w algebrze i topologii algebraicznej operada A _∞ jest przestrzenią parametrów dla mapy mnożenia, która jest homotopią koherentnie asocjacyjną . (Operada, która opisuje mnożenie, które jest zarówno homotopią spójnie asocjacyjną, jak i homotopią spójnie przemienną, nazywa się E _∞ -operad ).

Definicja

W (zwykłym) ustawieniu operad z działaniem grupy symetrycznej na przestrzenie topologiczne, mówi się, że operada A jest A _∞ -operadą, jeśli wszystkie jej przestrzenie A ( n ) są Σ _n - ekwiwariantnie homotopii równoważnej dyskretnej przestrzenie Σ _n ( grupa symetryczna ) z jej akcją mnożenia (gdzie n ∈ N ). W przypadku operad innych niż Σ (nazywanych również operadami niesymetrycznymi, operadami bez permutacji), operada A to A _∞ , jeśli wszystkie jej przestrzenie A ( n ) są skracalne. W kategoriach innych niż przestrzenie topologiczne pojęcia homotopii i kurczliwości należy zastąpić odpowiednimi analogami, takimi jak równoważności homologii w kategorii kompleksów łańcuchowych .

A _n -operady

Litera A w terminologii oznacza „asocjacyjny”, a symbole nieskończoności mówią, że asocjatywność jest wymagana aż do „wszystkich” wyższych homotopii. Mówiąc bardziej ogólnie, istnieje słabsze pojęcie An _- operady ( n ∈ N ), parametryzujące mnożenia, które są asocjacyjne tylko do pewnego poziomu homotopii. W szczególności,

A ₁ – spacje to spacje spiczaste;
A ₂ -przestrzenie to H-przestrzenie bez warunków asocjatywności; I
A ₃ -przestrzenie są homotopowymi asocjacyjnymi H-przestrzeniami.

A _∞ -operady i pojedyncze przestrzenie pętli

₀ Przestrzeń X jest przestrzenią pętli innej przestrzeni, oznaczoną przez ${\ Displaystyle A _ {\ infty}}$ , wtedy i tylko wtedy, gdy X jest algebrą na -operadzie i monoidzie π ( X ) jej połączonych składników jest grupą. Algebra $-space$ _ $-operadzie$ jest _ Charakterystyka przestrzeni pętli ma trzy konsekwencje. $-przestrzeń$ pierwsze, przestrzeń pętli . Po drugie, połączona -przestrzeń X jest przestrzenią pętli. ZA $\ displaystyle A _ {\ infty}}$ Po trzecie, grupowe zakończenie prawdopodobnie rozłączonej $-przestrzeni$ przestrzenią pętli

Znaczenie -operad w teorii homotopii $wynika$ z tego związku między algebrami $przestrzeniami$ pętli

A _∞ -algebry

Algebra nad -operadą nazywa się -algebrą $\ Displaystyle A_ {\ infty$ $}$ . Przykłady obejmują kategorię Fukayi rozmaitości symplektycznej, kiedy można ją zdefiniować (patrz także krzywa pseudoholomorficzna ).

Przykłady

Najbardziej oczywistym, jeśli nie szczególnie użytecznym przykładem ${n.}}$ $jest$ operada asocjacyjna a podana przez ${\ Displaystyle a (n) = \ Sigma$ . Operada ta opisuje mnożenia ściśle asocjacyjne. Z definicji każda inna $ma$ mapę do a która jest równoważnością homotopii.

Geometryczny przykład operady A _∞ podaje Stasheff polytopes lub associahedra .

Mniej kombinatorycznym przykładem jest operada małych odstępów $:$ Przestrzeń składa ze wszystkich osadzeń n przedziałów w jednostkowym

Zobacz też

Stasheff, Jim (czerwiec – lipiec 2004). „Co to jest… operad?” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 51 (6): 630–631 . Źródło 2008-01-17 .
J. Peter May (1972). Geometria iterowanych przestrzeni pętli . Springer-Verlag. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2015-07-07 . Źródło 2008-02-19 .
Martina Markla; Steve'a Shnidera ; Jim Stasheff (2002). Operady w algebrze, topologii i fizyce . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.
Stasheff, James (1963). „Asocjatywność homotopii H. I, II”. Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 108 (2): 275-292, 293-312. doi : 10.2307/1993608 . JSTOR 1993608 .

A ∞ -operacja