Produkt kubkowy

W matematyce , szczególnie w topologii algebraicznej , iloczyn kubkowy jest metodą łączenia dwóch kocykli stopnia p i q w celu utworzenia złożonego kocyklu stopnia p + q . Definiuje to asocjacyjną (i rozdzielczą) stopniowaną operację iloczynu przemiennego w kohomologii, zamieniając kohomologię przestrzeni X w stopniowany pierścień H ^∗ ( X ), zwany pierścieniem kohomologii . Wyrób kielichowy został wprowadzony w pracach JW Alexandra , Eduarda Čecha i Hasslera Whitneya w latach 1935-1938, a ogólnie przez Samuela Eilenberga w 1944 roku.

Definicja

W kohomologii osobliwej iloczyn kubkowy jest konstrukcją dającą iloczyn na stopniowanym pierścieniu kohomologii H ^∗ ( X ) przestrzeni topologicznej X .

zaczyna $q$ od iloczynu współłańcuchów : jeśli jest $jest$ i - kołańcuchem to

\

gdzie σ jest liczbą pojedynczą ( p + q ) - simplex i ${\ Displaystyle \ jota _ {S}, S \ podzbiór \ {0,1, ..., p + q \}}$ jest kanonicznym simpleksu rozpiętego przez S w ${\ Displaystyle (p + q)}$ -simplex, którego wierzchołki są indeksowane przez $q \}}$ .

Nieformalnie, ${0,1, ..., p}}$ jest p -tą przednią ścianą i ${\ Displaystyle \ sigma \ circ \ jota _ {p, p + 1, ..., p + q}}$ odpowiednio q -tą tylną ścianą σ.

Współgranica iloczynu kubka współłańcuchów i $displaystyle \ alpha ^ {p}}$ ${\ Displaystyle \ beta ^ {q}}$ jest dana przez \

{\ Displaystyle \ delta (\ alfa ^ {p} \ uśmiech \ beta ^ {q}) = \ delta {\ alfa ^ {p}} \ uśmiech \ beta ^ {q} + (-1) ^ {p} ( \alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}

Produkt kubkowy dwóch kocykli jest ponownie kocyklem, a iloczyn współgranicy z kocyklem (w dowolnej kolejności) jest współgranicą. Operacja kubka iloczynu indukuje operację dwuliniową na kohomologii,

{\ Displaystyle H ^ {p} (X) \ razy H ^ {q} (X) \ do H ^ {p + q} (X).}

Nieruchomości

Operacja produktu kubkowego w kohomologii spełnia tożsamość

{\ Displaystyle \ alfa ^ {p} \ uśmiech \ beta ^ {q} = (-1) ^ {pq} (\ beta ^ { q}\uśmiech \alpha ^{p})}

tak, że odpowiednie mnożenie jest stopniowane-przemienne .

Iloczyn kubkowy jest functorialny w następującym sensie: jeśli

{\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}

jest funkcją ciągłą i

{\ Displaystyle f ^ {*} \ dwukropek H ^ {*} (Y) \ do H ^ {*} (X)}

zatem indukowanym homomorfizmem w kohomologii

{\ Displaystyle f ^ {*} (\ alfa \ uśmiech \ beta) = f ^ {*} (\ alfa) \ uśmiech f ^ {*}(\beta ),}

dla wszystkich klas α, β w H ^* ( Y ). Innymi słowy, f ^* jest (stopniowanym) homomorfizmem pierścienia .

Interpretacja

Możliwe jest obejrzenie produktu kubka ${\ Displaystyle \ uśmiech \ dwukropek H ^ {p} (X) \ razy H ^ {q }(X)\to H^{p+q}(X)}$ indukowane z następującego składu:

${\ Displaystyle \ Displaystyle C ^ {\ punktor} (X) \ razy C ^ {\ punktor} ( X)\do C^{\punktor}(X\razy X){\overset {\Delta ^{*}}{\do}}C^{\punktor}(X)}$

pod względem kompleksów łańcuchowych i $Displaystyle$ $X \ razy X} ,$ ${\ Displaystyle \ Delta \ dwukropek X \ do X \ razy X}$ pierwsza mapa to Künneth , a druga to mapa indukowana przez przekątną × .

Ta kompozycja przechodzi do ilorazu, dając dobrze zdefiniowaną mapę pod względem kohomologii, jest to produkt kubkowy. Takie podejście wyjaśnia istnienie iloczynu kubkowego dla kohomologii, ale nie dla homologii: ${\ Displaystyle \ Delta \ okrężnica X \ do X \ razy X}$ indukuje mapę ${\ Displaystyle \ Delta ^ {*} \ dwukropek H ^ {\ punktor} (X \ razy X) \ do H ^ {\ punktor} (X)}, ale również wywołałoby$ mapę ${\ Displaystyle \ Delta _ {*} \ dwukropek H _ {\ punktor} (X) \ do H _ {\ punktor} (X \ razy X)}, co$ idzie w niewłaściwy sposób, aby umożliwić nam zdefiniowanie produktu. Jest to jednak przydatne przy definiowaniu produktu typu cap .

Dwuliniowość wynika z tej prezentacji iloczynu kubka, tj. ${\ Displaystyle (u_ {1} + u_ {2}) \ uśmiech v = u_ {1 }\smile v+u_{2}\smile v}$ i ${\ Displaystyle u \ uśmiech (v_ {1} + v_ {2}) = u \ uśmiech v_ {1} + u \ uśmiech v_ {2}.}$

Przykłady

Produktów kubkowych można używać do rozróżniania rozmaitości od klinów przestrzeni o identycznych grupach kohomologicznych. Przestrzeń ${\ Displaystyle X: = S ^ {2} \ vee S ^ {1} \ vee S ^ {1}}$ ma te same grupy kohomologii co torus T , ale z innym produktem kubkowym. W przypadku X mnożenie współłańcuchów związanych z kopiami $jest$ zdegenerowane, podczas gdy w mnożenie w pierwszej grupie kohomologii może być użyte do rozłożenia torusa na 2- diagram, mając w ten sposób iloczyn równy Z (bardziej ogólnie M , gdzie jest to moduł podstawowy).

Inne definicje

Produkt kubkowy i formy różniczkowe

W kohomologii de Rhama iloczyn miseczek form różniczkowych jest indukowany przez iloczyn klina . Innymi słowy, iloczyn klinowy dwóch zamkniętych form różniczkowych należy do klasy de Rham iloczynu kubkowego dwóch pierwotnych klas de Rham.

Produkt kubkowy i przecięcia geometryczne

Numer powiązania można zdefiniować w kategoriach nieznikającego produktu kubkowego na dopełnieniu łącza. Dopełnienie tych dwóch połączonych okręgów

torusa

i 2-kuli, która ma nieznikający iloczyn kubkowy w stopniu 1.

W przypadku rozmaitości zorientowanych istnieje heurystyka geometryczna, zgodnie z którą „iloczyn miseczek jest podwójny w stosunku do przecięć”.

$.$ , $zorientowaną$ będzie gładką rozmaitością wymiaru Jeśli dwie podrozmaitości $Displaystyle A$ współwymiarach $i$ $poprzecznie$ , to $}$ przecięcie jest ponownie podrozmaitością { \ \ cap współwymiar ${\ Displaystyle i + j}$ . Uwzględniając obrazy podstawowych klas homologii tych rozmaitości, można uzyskać dwuliniowy iloczyn homologii. Ten $pary$ podwójny iloczynu zachodzi następująca równość:

${\ Displaystyle [A] ^ {*} \ uśmiech [B] ^ {*} = [A \ cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}$ .

Podobnie liczbę powiązań można zdefiniować w kategoriach przecięć, przesuwając wymiary o 1 lub alternatywnie w kategoriach nieznikającego iloczynu miseczek na dopełnieniu łącza.

Produkty marki Massey

Produkty Massey uogólniają produkt kubkowy, umożliwiając zdefiniowanie „liczb łączących wyższego rzędu”, niezmienników Milnora .

Produkt kubkowy jest operacją binarną (2-argumentową); można zdefiniować operację trójskładnikową (3-argumentową) i wyższego rzędu zwaną iloczynem Masseya , która uogólnia iloczyn kubka. Jest to operacja kohomologii wyższego rzędu , która jest zdefiniowana tylko częściowo (zdefiniowana tylko dla niektórych trójek).

Zobacz też

James R. Munkres, „Elements of Algebraic Topology”, Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (oprawa twarda) ISBN 0-201-62728-0 (oprawa miękka)
Glen E. Bredon , „Topologia i geometria”, Springer-Verlag, Nowy Jork (1993) ISBN 0-387-97926-3
Allen Hatcher, „ Topologia algebraiczna ”, Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0