Względna homologia kontaktu
W matematyce , w obszarze topologii symplektycznej , homologia kontaktu względnego jest niezmiennikiem przestrzeni wraz z wybraną podprzestrzenią. Mianowicie jest powiązany z rozmaitością kontaktową i jedną z jej legendarnych podrozmaitości . Jest częścią bardziej ogólnego niezmiennika znanego jako symplektyczna teoria pola i jest definiowana za pomocą krzywych pseudoholomorficznych .
Legendrowskie węzły
Najprostszy przypadek daje niezmienniki węzłów legendryjskich wewnątrz trójrozmaitości kontaktowych. Wykazano, że względna homologia kontaktu jest ściśle silniejszym niezmiennikiem niż „niezmienniki klasyczne”, mianowicie liczba Thurstona-Bennequina i liczba rotacji (w klasie gładkich węzłów).
Jurij Czekanow opracował czysto kombinatoryczną wersję homologii względnego kontaktu dla węzłów legendryjskich, tj. kombinatorycznie zdefiniowany niezmiennik, który odtwarza wyniki homologii względnego kontaktu.
Tamas Kalman opracował kombinatoryczny niezmiennik dla pętli węzłów legendryjskich, za pomocą którego wykrył różnice pomiędzy podstawowymi grupami przestrzeni węzłów gładkich i przestrzeni węzłów legendryjskich.
Wysokowymiarowe podrozmaitości legendarne
W pracy Lenharda Ng względna SFT jest używana do uzyskania niezmienników gładkich węzłów: węzeł lub połączenie wewnątrz topologicznej trójrozmaitości daje początek torusowi Legendriana wewnątrz kontaktowej pięciorozmaitości, składającej się z jednostkowej wiązki konormalnej prowadzącej do węzła wewnątrz jednostkowej wiązki cotangensowej otaczającej trójrozmaitości. Względna SFT tej pary to algebra stopniowana różniczkowa; Ng wyprowadza potężny niezmiennik węzła z kombinatorycznej wersji części homologii zerowego stopnia. Ma postać skończenie przedstawionej algebry tensorowej na pewnym pierścieniu wielomianów Laurenta o wielu zmiennych całkowite . Niezmiennik ten przypisuje różne niezmienniki do (przynajmniej) węzłów co najwyżej dziesięciu skrzyżowań i dominuje wielomian Aleksandra i wielomian A (i w ten sposób odróżnia węzeł ) .
Zobacz też
- Lenhard Ng , Wiązki konormalne, homologia kontaktowa i niezmienniki węzłów .
- Tobias Ekholm, John Etnyre, Michael G. Sullivan, Legendriańskie podrozmaitości w $R^{2n+1}$ i Homologia kontaktowa .
- Jurij Czekanow, „Algebra różniczkowa łączy legendarnych”. Inventiones Mathematicae 150 (2002), s. 441-483.
- Homologia kontaktowa i rodziny jednoparametrowe węzłów legendryjskich autorstwa Tamasa Kalmana