Symplektyzacja

W matematyce symplektyzacja rozmaitości kontaktowej jest rozmaitością symplektyczną , która w naturalny sposób jej odpowiada.

Definicja

Niech $(V, \ xi)}$$rozmaitością$ kontaktową i . Rozważ zestaw

${\ Displaystyle S_ {x} V = \ {\ beta \ w T_ {x} ^ {*} V-\{0\}\mid \ker \beta =\xi _{x}\}\subset T_{x}^{*}V}$

wszystkich niezerowych $form$ 1 , $które$ mają płaszczyznę kontaktu jądro Unia

${\ Displaystyle SV = \ bigcup _ {x \ in V} S_ {x} V \ podzbiór T ^ {*} V}$

jest podrozmaitością symplektyczną wiązki kostycznej $posiada$ naturalną strukturę symplektyczną .

Rzut π $: SV \ do V}$$mathbb {R} ^{*}\equiv \mathbb {R} -\{0\}}$ dostarcza symplektyzacji ze strukturą głównego pakietu nad $\$ struktur ${\$ Displaystyle .

Obudowa współosiowa

Kiedy struktura kontaktów $jest$ koorientowana za pomocą formularza kontaktowego , istnieje inna $wersja$ symplektyzacji, w której tylko formy dają taką samą koorientację $displaystyle \ xi}$ jako brane są pod uwagę: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle S_ {x} ^ {+} V = \ {\ beta \ w T_ {x} ^ {*} V- \ {0 \} \, |\,\beta =\lambda \alpha ,\,\lambda >0\}\podzbiór T_{x}^{*}V,}$

${\ Displaystyle S ^ {+} V = \ bigcup _ {x \ w V} S_ {x} ^ {+} V \ podzbiór T ^ {*} V.}$

Zauważ, $wtedy$ i wtedy $gdy$ wiązka trywialna Każda sekcja tej wiązki jest formą koorientującą dla struktury kontaktów.