Przypuszczenie Arnolda

Hipoteza Arnolda , nazwana na cześć matematyka Vladimira Arnolda , jest matematyczną hipotezą z dziedziny geometrii symplektycznej , gałęzi geometrii różniczkowej .

Oświadczenie

Niech ${\ Displaystyle (M, \ omega)}$ będzie zwartą rozmaitością symplektyczną . Dla $.$$gładkiej$ forma $_ }$ _ _ na $zdefiniowany$ przez tożsamość

${\ Displaystyle \ omega (X_ {H}, \ cdot) = dH.}$

Funkcja nazywana $hamiltonowską$ funkcją .

$_$ istnieje _ indukując $parametrową$$.$ rodzinę pól na Rodzina pól wektorowych integruje się z 1-parametrową rodziną dyfeomorfizmów ${\ Displaystyle \ varphi _ {t}: M \ do M}$ . Każda jednostka z $displaystyle$ dyfeomorfizmem $\ varphi _ {t}}$ .

Przypuszczenie Arnolda mówi, że dla każdego hamiltonowskiego dyfeomorfizmu $,$$on$ co najmniej tyle punktów stałych, ile gładka funkcja na posiada punkty krytyczne.

Hipoteza niezdegenerowanego Hamiltona i słabego Arnolda

Dyfeomorfizm Hamiltona $niezdegenerowanym, jeśli jego wykres przecina$ jest przekątną $displaystyle M \ razy$ \ . W przypadku niezdegenerowanych dyfeomorfizmów hamiltonowskich wariant hipotezy Arnolda mówi, że liczba stałych punktów jest co najmniej równa minimalnej liczbie punktów krytycznych funkcji Morse'a na $M}$ zwanej liczbą Morse'a M $M}$$displaystyle$ .

W świetle nierówności Morse'a liczba Morse'a jest również większa lub równa niezmiennikowi homologicznemu $displaystyle$ na przykład sumie liczb Bettiego na polu. ${\ mathbb {F}} }$ :

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {2n} {\ rm {ciemny}} H_ {i} (M; {\ mathbb {F}}).}$

Słaba hipoteza Arnolda mówi, że dla niezdegenerowanego dyfeomorfizmu Hamiltona na $liczba$ całkowita jest dolną granicą jej liczby stałych punktów.