Twierdzenie Gromowa o zwartości ( topologia )

Nie mylić z twierdzeniem Gromowa o zwartości w geometrii metrycznej .

W dziedzinie matematycznej topologii symplektycznej , twierdzenie Gromowa o zwartości stwierdza, że ​​sekwencja krzywych pseudoholomorficznych w prawie złożonej rozmaitości z jednorodną energią związaną musi mieć podsekwencję, która ogranicza się do krzywej pseudoholomorficznej, która może mieć węzły lub (skończone drzewo) „ bąbelki". Bańka to holomorficzna kula, która ma poprzeczne przecięcie z resztą krzywej. To twierdzenie i jego uogólnienia na przebite krzywe pseudoholomorficzne leżą u podstaw wyników zwartości dla linii przepływu w Homologia Floera i symplektyczna teoria pola.

Jeśli złożone struktury na krzywych w sekwencji nie zmieniają się, mogą wystąpić tylko bąbelki; węzły mogą występować tylko wtedy, gdy złożone struktury w domenie mogą się zmieniać. Zwykle wiązanie energii osiąga się, biorąc za cel rozmaitość symplektyczną z kompatybilną prawie złożoną strukturą i zakładając, że krzywe leżą w ustalonej klasie homologii w celu. Dzieje się tak, ponieważ energia takiej pseudoholomorficznej krzywej jest dana przez całkę docelowej postaci symplektycznej na krzywej, a zatem przez ocenę klasy kohomologii tej formy symplektycznej na klasie homologii krzywej. Skończoność drzewa bąbelkowego wynika z (dodatnich) dolnych granic energii wnoszonej przez kulę holomorficzną.

• Gromow, M. (1985). „Pseudoholomorficzne krzywe w rozmaitościach symplektycznych”. Inventiones Mathematicae . 82 (2): 307–347. doi : 10.1007/BF01388806 .
• Bourgeois, F.; Eliaszberg, Ya.; Hofer, H.; Wysocki K.; Zehnder, E. (2003). „Zwartość skutkuje symplektyczną teorią pola”. Geometria i Topologia . 7 (2): 799–888. arXiv : matematyka/0308183 . doi : 10.2140/gt.2003.7.799 .