Twierdzenie Gromowa o zwartości (geometria)

W dziedzinie matematyki , geometrii metrycznej , Michaił Gromow udowodnił fundamentalne twierdzenie o zwartości dla ciągów przestrzeni metrycznych . W szczególnym przypadku rozmaitości Riemanna kluczowe założenie jego twierdzenia o zwartości jest automatycznie spełnione przy założeniu krzywizny Ricciego . Twierdzenia te były szeroko stosowane w dziedzinie geometrycznej teorii grup i geometrii Riemanna .

Twierdzenie o zwartości metrycznej

Gromowa – Hausdorffa definiuje pojęcie odległości między dowolnymi dwiema przestrzeniami metrycznymi , ustanawiając w ten sposób koncepcję sekwencji przestrzeni metrycznych, która zbiega się do innej przestrzeni metrycznej. Jest to znane jako konwergencja Gromowa – Hausdorffa . Gromow znalazł warunek na sekwencji zwartych przestrzeni metrycznych, który zapewnia zbieżność podsekwencji do pewnej przestrzeni metrycznej względem odległości Gromowa – Hausdorffa:

Niech $(X i, d i)$ będzie ciągiem zwartych przestrzeni metrycznych o jednostajnie ograniczonej średnicy. Załóżmy, że dla każdej liczby dodatniej $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ oraz dla każdego $i$ zbiór $X i$ może być pokryty przez $N$ kul metrycznych o promieniu $ε$ . Wtedy sekwencja $(X i, d i)$ ma podciąg, który jest zbieżny względem odległości Gromowa – Hausdorffa.

Rolę tego twierdzenia w teorii zbieżności Gromowa-Hausdorffa można uznać za analogiczną do roli twierdzenia Arzelà-Ascoli w teorii zbieżności jednostajnej . Gromow po raz pierwszy formalnie wprowadził to w swojej rezolucji z 1981 r. Dotyczącej hipotezy Milnora-Wolfa w dziedzinie geometrycznej teorii grup , gdzie zastosował ją do zdefiniowania asymptotycznego stożka pewnych przestrzeni metrycznych. Techniki te zostały później rozszerzone przez Gromowa i innych, wykorzystując teorię ultrafiltrów .

Twierdzenie Riemanna o zwartości

Specjalizujący się w ustalaniu geodezyjnie kompletnych rozmaitości Riemanna ze stałą dolną granicą krzywizny Ricciego , kluczowy warunek pokrycia w twierdzeniu Gromowa o zwartości metrycznej jest automatycznie spełniony jako następstwo twierdzenia o porównaniu objętości Biskupa-Gromowa . Wynika z tego, że:

Rozważ sekwencję zamkniętych rozmaitości riemannowskich z jednolitą dolną granicą krzywizny Ricciego i jednostajną górną granicą średnicy. Następnie istnieje podsekwencja, która jest zbieżna względem odległości Gromowa – Hausdorffa.

Granicą podciągu zbieżnego może być przestrzeń metryczna bez żadnej struktury gładkiej lub riemannowskiej. Ten szczególny przypadek twierdzenia o zwartości metrycznej jest istotny w dziedzinie geometrii Riemanna , ponieważ izoluje czysto metryczne konsekwencje dolnych granic krzywizny Ricciego.

Źródła.

Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999). Przestrzenie metryczne o nie dodatniej krzywiźnie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 319. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN 3-540-64324-9 . MR 1744486 . Zbl 0988.53001 .
Burago, Dymitr ; Burago, Jurij ; Iwanow, Siergiej (2001). Kurs geometrii metrycznej . Studia podyplomowe z matematyki . Tom. 33. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . doi : 10.1090/gsm/033 . ISBN 0-8218-2129-6 . MR 1835418 . Zbl 0981.51016 . (Erratum: [1] )
Gromow, Michał (1981). „Grupy wzrostu wielomianów i map rozszerzających się” . Publikacje Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 53 : 53–73. doi : 10.1007/BF02698687 . MR 0623534 . Zbl 0474.20018 .
Gromow, M. (1993). „Asymptotyczne niezmienniki grup nieskończonych”. W Niblo, Graham A.; Wałek, Martin A. (red.). Geometryczna teoria grup. Tom. 2 . Sympozjum na Sussex University (Sussex, lipiec 1991). Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press . s. 1–295. ISBN 0-521-44680-5 . MR 1253544 . Zbl 0841.20039 .
Gromow, Misza (1999). Struktury metryczne dla przestrzeni riemannowskich i nieriemannowskich . Postęp w matematyce. Tom. 152. Przetłumaczone przez Batesa, Seana Michaela. Z załącznikami autorstwa M. Katza , P. Pansu i S. Semmesa . (Na podstawie francuskiego oryginalnego wydania z 1981 r.). Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007/978-0-8176-4583-0 . ISBN 0-8176-3898-9 . MR 1699320 . Zbl 0953.53002 .
Petersena, Piotra (2016). geometria riemannowska . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 171 (trzecie wydanie z 1998 r. Wyd. Oryginalne). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . MR 3469435 . Zbl 1417.53001 .
Villani, Cédric (2009). Optymalny transport. Stare i nowe . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 338. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-540-71050-9 . ISBN 978-3-540-71049-3 . MR 2459454 . Zbl 1156.53003 .