Rozmaitość geodezyjna

W matematyce zupełna rozmaitość ( lub geodezyjnie zupełna rozmaitość ) M jest rozmaitością ( pseudo- ) Riemanna , dla której zaczynając od dowolnego punktu p można podążać „prostą” w nieskończoność wzdłuż dowolnego kierunku. Bardziej formalnie mapa wykładnicza w punkcie p jest zdefiniowana na T _p M , całej przestrzeni stycznej w p .

Równoważnie rozważmy maksymalną geodezyjną ${\ displaystyle \ ell \ okrężnica I \ do M}$ . Tutaj $przedziałem$ otwartym , a ponieważ $geodezja jest$ jest jednoznacznie zdefiniowana aż do poprzeczności. Ponieważ $maksymalna$ , $odwzorowuje$ końce ∂ długość M , a $tymi$$_$ punktami . Rozmaitość jest geodezyjnie kompletna, jeśli dla każdego takiego geodezyjnego $)$ , że ${\ Displaystyle I = (- \ infty, \ infty$ )

Przykłady i nie-przykłady

Przestrzeń euklidesowa ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ , kule ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}$ i torus ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {n}}$ (z ich naturalnymi metrykami riemannowskimi ) są kompletnymi rozmaitościami.

Wszystkie zwarte rozmaitości riemannowskie i wszystkie rozmaitości jednorodne są geodezyjnie kompletne. Wszystkie przestrzenie symetryczne są geodezyjnie kompletne.

Każda skończona wymiarowa rozmaitość Riemanna połączona ze ścieżkami, która jest jednocześnie zupełną przestrzenią metryczną (w odniesieniu do odległości riemannowskiej ), jest geodezyjnie kompletna. W rzeczywistości kompletność geodezyjna i kompletność metryczna są dla tych przestrzeni równoważne. To jest treść twierdzenia Hopfa-Rinowa .

Nie-przykłady

Prostym przykładem niepełnej rozmaitości jest przebita $($ jej indukowaną Geodezja idąca do początku nie może być zdefiniowana na całej linii rzeczywistej. Z twierdzenia Hopfa-Rinowa możemy alternatywnie zauważyć, że nie jest to pełna przestrzeń metryczna: dowolny ciąg na płaszczyźnie zbieżnej do początku jest niezbieżnym ciągiem Cauchy'ego na płaszczyźnie przebitej.

Istnieją niegeodezyjnie kompletne zwarte rozmaitości pseudo-riemanna (ale nie riemannowskie). Przykładem tego jest torus Cliftona – Pohla .

W ogólnej teorii względności , która opisuje grawitację w kategoriach geometrii pseudo-riemanna, pojawia się wiele ważnych przykładów przestrzeni geodezyjnie niekompletnych, np. nieobrotowe nienaładowane czarne dziury czy kosmologie z Wielkim Wybuchem . Fakt, że taka niezupełność jest dość ogólna w ogólnej teorii względności, pokazano w twierdzeniach o osobliwości Penrose'a-Hawkinga .

•   O'Neill, Barrett (1983). Geometria semi-riemanna . Prasa akademicka . Rozdział 3. ISBN 0-12-526740-1 .