Torus Cliftona-Pohla

W geometrii torus Cliftona -Pohla jest przykładem zwartej rozmaitości Lorentza , która nie jest geodezyjnie kompletna . Chociaż każda zwarta rozmaitość Riemanna jest również geodezyjnie kompletna (zgodnie z twierdzeniem Hopfa-Rinowa ), przestrzeń ta pokazuje, że ta sama implikacja nie uogólnia się na rozmaitości pseudo-riemanna. Jej nazwa pochodzi od Yeatona H. Cliftona i Williama F. Pohla , którzy opisali ją w 1962 roku, ale nie opublikowali swoich wyników.

Definicja

Rozważ rozmaitość z metryką ${\ Displaystyle \ operatorname {M} = \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$

${\ Displaystyle g = {\ Frac {dx \ dy} {{\ tfrac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^$

Każda jednorodność jest izometrią , w szczególności obejmującą mapę: ${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ lambda (x, y) = 2 \ cdot (x, y)}$

Niech będzie podgrupą grupy izometrii wygenerowanej przez $}$$lambda$ . Wtedy ma właściwe, nieciągłe $działanie$ na M $displaystyle M}$ . Stąd iloraz , który jest topologicznie torusem $,$ Cliftona- $displaystyle$ idzie, powierzchnia nazywana jest torusem Cliftona-Pohla, jeśli jest skończonym pokryciem ilorazu przez dowolną jednorodność stosunku różną od $\ pm 1}$ .

Niekompletność geodezyjna

Można sprawdzić, że krzywa

${\ Displaystyle \ sigma (t): = \ lewo ({\ Frac {1} {1-t}}, 0 \ prawej)}$

jest geodezyjną M , która nie jest kompletna (ponieważ nie jest zdefiniowana w t $\ displaystyle t = 1}$ ). W konsekwencji $zwarty$ stąd także $) jest$$jest$ niekompletny, pomimo faktu, . Podobnie krzywa

${\ Displaystyle \ sigma (t): = (\ tan (t), 1)}$

jest zerową geodezją , która jest niekompletna. $niekompletna$ rzeczywistości każda zerowa geodezja $lub$ jest .

$. że można$ jako bezpośrednią konsekwencję faktu, że jest rozszerzalny, postrzegać jako podzbiór większego powierzchnia. Jest to bezpośrednia konsekwencja prostej zmiany współrzędnych. Z

${\ Displaystyle N = \ lewo (- \ pi / 2, \ pi / 2 \ prawo) ^ {2} \ smallsetminus \ {0 \};}$

rozważać

${\ Displaystyle F: N \ do M}$

${\ Displaystyle F (u, v): = (\ tan (u), \ tan (v)).}$

Metryka (tj. metryka wyrażona we współrzędnych $\ Displaystyle$$(u, v)}$$^ {*} g$ ) brzmi fa ∗ sol

${\ Displaystyle {\ widehat {g \,}} = {\ Frac {du \, dv} {{\ tfrac {1} {2}} (\ cos (u) ^ {2} \ sin (v) ^ { 2}+\sin(u)^{2}\cos(v)^{2})}}.}$

Ale ta metryka rozciąga się naturalnie od R $\$$Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ smallsetminus \ Lambda}$ , gdzie N {\ Displaystyle N

${\ Displaystyle \ Lambda = \ lewo \ {{\ tfrac {\ pi} {2}} (k, \ ell) \ \ mid \ (k, \ ell) \ w \ mathbb {Z} ^ {2}, k + \ell \equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

Powierzchnia ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2} \ smallsetminus \ Lambda, {\ widehat {g \,}})}$ , znana jako rozszerzona płaszczyzna Cliftona-Pohla, jest geodezyjnie kompletny.

Punkty sprzężone

Tori Cliftona-Pohla są również niezwykłe ze względu na fakt, że były pierwszymi znanymi niepłaskimi torusami Lorentza bez punktów sprzężonych . Rozszerzona płaszczyzna Cliftona-Pohla zawiera wiele par punktów sprzężonych, niektóre z nich znajdują się na granicy ${\ Displaystyle (- \ pi / 2, \ pi / 2) ^ {2}},$ tj. „w nieskończoności” w ${\ displaystyle M}$ . Przypomnijmy również, że zgodnie z twierdzeniem E. Hopfa taki torus nie istnieje w układzie riemannowskim.