Atlas (topologia)

W matematyce , zwłaszcza w topologii , rozmaitość opisuje się za pomocą atlasu . Atlas składa się z pojedynczych wykresów , które z grubsza opisują poszczególne regiony rozmaitości. Jeśli rozmaitość jest powierzchnią Ziemi, to atlas ma swoje bardziej powszechne znaczenie. Ogólnie rzecz biorąc, pojęcie atlasu leży u podstaw formalnej definicji rozmaitości i powiązanych struktur, takich jak wiązki wektorowe i inne wiązki włókien .

Wykresy

Definicja atlasu zależy od pojęcia wykresu . Wykres dla przestrzeni topologicznej M (zwany także $)$ współrzędnych , łatą współrzędnych , mapą współrzędnych lub ramką lokalną jest homeomorfizmem od otwartego podzbioru U z M do otwartego podzbioru przestrzeni euklidesowej . Wykres jest tradycyjnie zapisywany jako uporządkowana para ${\ Displaystyle (U, \ varphi)}$ .

Formalna definicja atlasu

Atlas przestrzeni topologicznej jest indeksowaną rodziną $_ {\ alfa})$ α $ja$ ${\ displaystyle M}$ na $,$ które obejmują (to znaczy ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha}=M}$ ). Jeśli kodomena każdego wykresu jest n -wymiarową $się$ euklidesową , to mówi , że jest n -wymiarową rozmaitością .

Liczba mnoga słowa atlas to atlases , chociaż niektórzy autorzy używają atlantes .

Atlas ${\ Displaystyle \ lewo (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ na ${\ displaystyle n}$ -wymiarowy rozmaitość nazywana jest odpowiednim atlasem , jeśli obraz każdego wykresu jest albo $lub$ $\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ R $\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+ }^{n}}$ , ${\ Displaystyle \ lewo (U_ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ jest lokalnie skończoną otwartą pokrywą ${\ displaystyle M}$ i ${\ textstyle M = \ bigcup _ {i \ w ja} \ varphi _ {i} ^ {- 1} \ lewo (B_ {1} \ prawej)}, gdzie b 1 {$ \ ${ 1}}$ to otwarta kula o promieniu 1 wyśrodkowana w początku i ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ to zamknięta półprzestrzeń. Każda druga policzalna rozmaitość dopuszcza odpowiedni atlas. Ponadto, jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} = \ lewo (V_ {j} \ prawo) _ {j \ w J}} jest$ otwartym pokryciem drugiego policzalnego rozmaitość istnieje odpowiedni $ja$ ${\ Displaystyle \ lewo (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ na ${\ Displaystyle M}$ tak, że ${\ Displaystyle \ lewo ( U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ jest udoskonaleniem ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$ .

Mapy przejścia

{\ displaystyle M}

{\ Displaystyle U _ {\ alfa}}

{\ Displaystyle U _ {\ beta}}

{\ Displaystyle \ varphi _ {\ alfa}}

{\ Displaystyle \ varphi _ {\ beta}}

{\ Displaystyle \ tau _ {\ alfa, \ beta}}

{\ Displaystyle \ tau _ {\ beta, \ alfa}}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}

Dwa wykresy na rozmaitości i odpowiadająca im mapa przejść

Mapa przejść umożliwia porównanie dwóch wykresów atlasu. Aby dokonać tego porównania, rozważymy skład jednego wykresu z odwrotnością drugiego. Ta kompozycja nie jest dobrze zdefiniowana, chyba że ograniczymy oba wykresy do przecięcia ich domen definicji . (Na przykład, jeśli mamy wykres Europy i wykres Rosji, możemy porównać te dwa wykresy pod kątem ich nakładania się, a mianowicie europejskiej części Rosji).

$}$ bardziej precyzyjnym, załóżmy, że ( $\ Displaystyle (U_ {\ alfa}, \ varphi _$ $.$ { wykresy dla rozmaitości M takiej, nie pusta Mapa przejścia ${\ Displaystyle \ tau _ {\ alfa, \ beta}: \ varphi _ {\ alfa} (U _ {\ alfa} \ czapka U_ {\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ to mapa zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \ tau _ {\ alfa, \ beta} = \ varphi _ {\ beta} \ circ \ varphi _ {\ alfa} ^ {-1}.}

$,\beta }}$ ponieważ i oba są homeomorfizmami, mapa przejść $alfa$ $}$ $\ Displaystyle \ varphi _ {\ alfa}$ jest również homeomorfizmem.

Więcej struktury

Często pragnie się większej struktury rozmaitości niż tylko struktury topologicznej. Na przykład, jeśli ktoś chciałby mieć jednoznaczne pojęcie różniczkowania funkcji na rozmaitości, to konieczne jest skonstruowanie atlasu, którego funkcje przejścia są różniczkowalne . Taka rozmaitość nazywana jest różniczkowalną . Mając rozmaitość różniczkowalną, można jednoznacznie zdefiniować pojęcie wektorów stycznych , a następnie pochodnych kierunkowych .

Jeśli każda funkcja przejścia jest gładką mapą , to atlas jest nazywany atlasem gładkim , a sama rozmaitość nazywana jest gładką . Alternatywnie, można wymagać, aby mapy przejść miały tylko k ciągłych pochodnych, w którym to przypadku mówi się, że atlas to ${\ displaystyle C ^ {k}}$ .

$-atlasem$ należy do pseudogrupy $homeomorfizmów$ przestrzeni euklidesowej, to atlas nazywa się Jeśli mapy przejść między wykresami atlasu zachowują lokalną trywializację , to atlas określa strukturę wiązki włókien.

Zobacz też

Dieudonné, Jean (1972). „XVI. Kolektory różnicowe”. Traktat o analizie . Matematyka czysta i stosowana . Tom. III. Przetłumaczone przez Iana G. Macdonalda . Prasa akademicka . MR 0350769 .
Lee, John M. (2006). Wprowadzenie do gładkich rozmaitości . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6 .
Loomis, Lynn ; Sternberg, Szlomo (2014). „Rozmaitości różniczkowalne”. Zaawansowany rachunek różniczkowy (poprawiona red.). Świat naukowy. s. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0 . MR 3222280 .
Sepanski, Mark R. (2007). Kompaktowe grupy kłamstw . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8 .
Husemoller, D (1994), Wiązki światłowodowe , Springer , Rozdział 5 „Lokalny opis współrzędnych wiązek światłowodowych”.

Linki zewnętrzne

Atlas autorstwa Rowlanda, Todda