Ultralimit

W matematyce ultralimit jest konstrukcją X _{geometryczną} , która przypisuje sekwencji przestrzeni metrycznych n ograniczającą przestrzeń metryczną. Pojęcie ultralimitu oddaje ograniczające zachowanie skończonych konfiguracji w przestrzeniach X _n i wykorzystuje ultrafiltr , aby uniknąć procesu wielokrotnego przechodzenia do podsekwencji w celu zapewnienia zbieżności. Ultralimit to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznych Gromowa – Hausdorffa .

Ultrafiltry

Ultrafiltr ω na zbiorze liczb naturalnych to zbiór niepustych podzbiorów (którego funkcję inkluzji można traktować jako miarę), która jest N $\ displaystyle \ mathbb {N$ $}$ zamknięty pod skończonym przecięciem, zamknięty w górę i który, biorąc pod uwagę dowolny podzbiór X z , zawiera X lub ${\ displaystyle \ mathbb {N$ $}$ . Ultrafiltr ω na ${\ displaystyle \ mathbb {N}} nie$ jest głównym, jeśli nie zawiera skończonego zbioru.

Granica ciągu punktów względem ultrafiltra

Niech ω będzie nie-głównym ultrafiltrem na ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ . Jeśli ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ jest ciągiem punktów w przestrzeni metrycznej ( X , re ) i x ∈ X , punkt x nazywamy ω - granicą x _n , oznaczoną jako ${\ Displaystyle x = \ lim _ {\ omega} x_ {n}}$ , jeśli dla każdego mamy: ϵ $\ Displaystyle \ epsilon > 0}$

{\ Displaystyle \ {n: d (x_ {n}, x) \ równoważnik \ epsilon \} \ w \ omega.}

Nietrudno zauważyć, co następuje:

Jeśli istnieje granica ω ciągu punktów, jest ona niepowtarzalna.
Jeśli ${\ Displaystyle x = \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$ w standardowym sensie, ${\ Displaystyle x = \ lim _ {\ omega }x_{n}}$ . (Aby ta właściwość się zachowała, ważne jest, aby ultrafiltr nie był głównym).

Ważny podstawowy fakt stwierdza, że jeśli ( X , d ) jest zwarty, a $ω$ jest nie-głównym ultrafiltrem na granica ω dowolnej sekwencji punktów w X istnieje (i jest koniecznie unikalny).

$)$ rzeczywistych ma dobrze zdefiniowaną granicę ( ponieważ przedziały zamknięte są zwarte .

Ultralimit przestrzeni metrycznych z określonymi punktami bazowymi

Niech ω będzie nie-głównym ultrafiltrem na ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ . Niech ( X _n , d _n ) będzie ciągiem przestrzeni metrycznych o określonych punktach bazowych p _n ∈ X _n .

Powiedzmy, że ciąg ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ , gdzie x _n ∈ X _n , jest dopuszczalny , jeśli ciąg liczb rzeczywistych liczby ( d _n ( x _n , p _n )) _n jest ograniczone, to znaczy jeśli istnieje dodatnia liczba rzeczywista C taka, że ${\ Displaystyle d_ {n} (x_ {n}, p_ {n}) \ równoważnik C}$ . Oznaczmy zbiór wszystkich dopuszczalnych $.$ przez

Z nierówności trójkąta łatwo zauważyć, że dla dowolnych dwóch dopuszczalnych sekwencji ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} }$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ sekwencja ( re _n ( x _n , y _n ) ) _n jest ograniczone, a więc istnieje an ω -limit ${\ Displaystyle {\ kapelusz {d}} _ {\ infty} (\ mathbf {x} \ mathbf {y } ):=\lim _{\omega}d_{n}(x_{n},y_{n})}$ . Zdefiniujmy relację $na$ wszystkich dopuszczalnych sekwencji w następujący $.$ Dla ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ mathbf {y} \ in {\ mathcal {A}}}$ mamy ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ sim \ mathbf {y}}$ ilekroć ${\ Displaystyle {\ hat {d}} _ {\ infty} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = 0.} Łatwo jest pokazać, że ∼ {$ \ $\ sim }$ jest relacją równoważności na ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}.}$

Ultralimit w odniesieniu do ω ciągu ( X _n , re _n , p _n ) to przestrzeń metryczna $Displaystyle (X _ {\ infty}, d_ {\ infty})}$ \ zdefiniowana w następujący sposób .

Jako zestaw mamy ${\ Displaystyle X _ {\ infty} = {\ mathcal {A}}/{\ sim}}$ .

$)$ dwóch $_$ sekwencji ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ _ i ${\ Displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {n })_{n\in \mathbb {N} }}$ mamy ${\ Displaystyle d _ {\ infty} ([\ mathbf {x}], [\ mathbf {y}]): = {\ kapelusz {d}} _ {\ infty} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y } )=\lim _{\omega}d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

Nietrudno zauważyć, że $.$ $to$ i że jest metryka zbiorze

Oznacz ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n} ,d_{n},p_{n})}$ .

Na punktach bazowych w przypadku przestrzeni jednostajnie ograniczonych

Załóżmy, że ( X _n , re _n ) jest ciągiem przestrzeni metrycznych o jednostajnie ograniczonej średnicy, to znaczy istnieje liczba rzeczywista C > 0 taka, że diam ( X _n ) ≤ C dla każdego ${\ displaystyle n \ w \mathbb {N}}$ . Wtedy dla dowolnego wyboru p _n punktów bazowych w X _n każdy ciąg $_$ _ Dlatego w tej sytuacji wybór punktów bazowych nie musi być określony przy definiowaniu ultralimitu, a ultralimit zależy od ( $\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty})}$ tylko na ( X _n , d _n ) i na ω ale nie zależy od wyboru ciągu punktów bazowych ${\ displaystyle p_ {n} \ w X_ {n}.$ } W tym przypadku pisze się ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n },d_{n})}$ .

Podstawowe właściwości ultralimitów

Jeśli ( X _n , re _n ) są geodezyjnymi przestrzeniami metrycznymi , to ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ jest również geodezyjną przestrzenią metryczną.
Jeśli ( X _n , re _n ) są kompletnymi przestrzeniami metrycznymi , to ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ jest również zupełną przestrzenią metryczną.

W rzeczywistości, z założenia, przestrzeń graniczna jest zawsze zupełna, nawet gdy ( X _n , d _n ) jest powtarzającym się ciągiem przestrzeni ( X , d ), która nie jest zupełna.

Jeśli ( X _n , d _n ) są zwartymi przestrzeniami metrycznymi, które zbiegają się do zwartej przestrzeni metrycznej ( X , d ) w sensie Gromowa-Hausdorffa (to automatycznie implikuje, że przestrzenie ( X _n , d _n ) mają jednostajnie ograniczoną średnicę), wtedy ultralimit ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})} jest izometryczny do ($ X , re ) .
Załóżmy, że ( X _n , re _n ) są odpowiednimi _n przestrzeniami metrycznymi i że $n$ punktami że wskazana sekwencja ( X _, , p _n ) zbiega się do właściwej przestrzeni metrycznej ( X , d ) w sensie Gromowa-Hausdorffa . Wtedy ultralimit ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})}$ jest izometryczne do ( X , d ).
Niech κ ≤0 i niech ( X _n , d _n ) będzie ciągiem przestrzeni CAT( κ )-metrycznych . Wtedy ultralimit ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ { n},d_{n},p_{n})}$ jest również przestrzenią CAT( κ ).
Niech ( X _n , d _n ) będzie ciągiem przestrzeni CAT( κ _n )-metrycznych , gdzie ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ kappa _ {n} = - \ infty.}$ Wtedy ultralimit ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})} to$ prawdziwe drzewo .

Stożki asymptotyczne

Ważną klasą ultralimitów są tak zwane stożki asymptotyczne przestrzeni metrycznych. Niech ( X , d ) będzie przestrzenią metryczną, niech $ω$ będzie nie-głównym ultrafiltrem na i niech p _n ∈ X będzie sekwencją punktów bazowych ω –ultralimit sekwencji ${\ Displaystyle (X, {\ Frac {d} {n}}, p_ {n})}$ ${\ Displaystyle Stożek _ {\ omega} (X, d, (p_ {n}) _ {n}) \,}$ się $oznaczany$ X odniesieniu ω i jest . Często przyjmuje się, że sekwencja punktów bazowych jest stała, p _n = p dla pewnego p ∈ X ; w tym przypadku asymptotyczny stożek nie zależy od wyboru p ∈ X i ${\ Displaystyle Stożek _ {\ omega} (X, d) \,}$ oznaczony przez lub po prostu ${\ Displaystyle Stożek _ {\ omega} (X) \,}$ .

Pojęcie stożka asymptotycznego odgrywa ważną rolę w geometrycznej teorii grup, ponieważ stożki asymptotyczne (a dokładniej ich typy topologiczne i typy bi-Lipschitza ) dostarczają quasi-izometrycznych niezmienników przestrzeni metrycznych w ogóle, aw szczególności skończenie generowanych grup. Stożki asymptotyczne okazują się również przydatnym narzędziem w badaniu grup względnie hiperbolicznych i ich uogólnień.

Przykłady

Niech ( X , re ) będzie zwartą przestrzenią metryczną i wstawimy ( X _n , re _n ) = ( X , re ) dla każdego ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ . Wtedy ultralimit ${\ Displaystyle (X_ {\ infty}, d_ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_{n})}$ jest izometryczny do ( X , d ).
Niech ( X , d _X ) i ( Y , d _Y ) będą dwiema odrębnymi zwartymi przestrzeniami metrycznymi i niech ( X _n , d _n ) będą takim ciągiem przestrzeni metrycznych, że dla każdego n albo ( X _n , d _n )=( X , re _X ) lub ( X _n , re _n )=( Y , re _Y ). Niech ${\ Displaystyle A_ {1} = \ {n | (X_ {n}, d_ {n}) = (X, d_ {X}) \} \ ,}$ i ${\ Displaystyle A_ {2} = \ {n | (X_ {n}, d_ {n}) = (Y, d_ {Y}) \} \ ,}$ . w ten sposób A ₁ , ZA ₂ są rozłączne i ${\ Displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} = \ mathbb {N} .}$ Dlatego jeden z ZA ₁ , A ₂ ma ω -miarę 1, a drugi ma ω -miarę 0. Stąd ${\ Displaystyle \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})}$ izometryczny do ( X , re _X ) jeśli ω ( ZA ₁ ) = 1 i ${\ Displaystyle \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})}$ jest izometryczny do ( Y , re _Y ) jeśli ω ( ZA ₂ )=1. To pokazuje, że ultralimit może zależeć od wyboru ultrafiltra ω .
Niech ( M , g ) będzie spójną zwartą rozmaitością riemannowską o wymiarze m , gdzie g jest metryką riemannowską na M . Niech d będzie metryką na M odpowiadającą g , tak że ( M , d ) jest geodezyjną przestrzenią metryczną . Wybierz punkt bazowy p ∈ M . Następnie ultralimit (a nawet zwykła granica Gromowa-Hausdorffa ) ${\ Displaystyle \ lim _ {\ omega} (M, nd, p)}$ jest izometryczny do przestrzeni stycznej T _p M od M w p z funkcją odległości na T _p M określoną przez iloczyn wewnętrzny g(p) . Dlatego ultralimit ${\ Displaystyle \ lim _ {\ omega} (M, nd, p)}$ $jest$ izometryczny do przestrzeni euklidesowej standardową metryką euklidesową
Niech ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {m}, d)}$ będzie standardową m -wymiarową przestrzenią euklidesową ze standardową metryką euklidesową. Wtedy stożek asymptotyczny $Displaystyle Stożek _ {\ omega} (\ mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{m},d)}$ do ${$ .
Niech ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} ^ {2}, d)}$ będzie dwuwymiarową siatką całkowitą , w której odległość między dwoma punktami sieci jest określona przez długość najkrótszej ścieżki krawędzi między je w siatce. Wtedy asymptotyczny stożek jest izometryczny do $\ mathbb {Z} ^ {2}, d$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2}, d_ {1})}$ gdzie ${\ Displaystyle d_ {1} \,}$ to metryka Taxicab (lub L ¹ -metric) na ${\ Displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ .
Niech ( X , d ) będzie δ -hiperboliczną geodezyjną przestrzenią metryczną dla pewnego δ ≥0. Wtedy $_$ _ _ _
Niech ( X , d ) będzie przestrzenią metryczną o skończonej średnicy. $_$ stożek _
Niech ( X , d ) będzie przestrzenią metryczną CAT(0) . $Cone_{\omega }(X)\,$ asymptotyczny (

przypisy

Jan Roe. Wykłady z grubej geometrii . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Ch. 7.
L.Van den Dries, AJWilkie, O twierdzeniu Gromowa dotyczącym grup wzrostu wielomianów i logiki elementarnej . Journal of Algebra , tom. 89 (1984), s. 349–374.
M. Kapovich B. Leeb. O stożkach asymptotycznych i klasach quasi-izometrii podstawowych grup 3-rozmaitości , Analiza geometryczna i funkcjonalna, tom. 5 (1995), nr. 3, s. 582–603
M. Kapowicz. Rozmaitości hiperboliczne i grupy dyskretne. Birkäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4 ; Ch. 9.
Cornelia Druţu i Mark Sapir (z dodatkiem Denisa Osina i Marka Sapira), Przestrzenie z podziałem na drzewa i asymptotyczne stożki grup. Topologia , tom 44 (2005), no. 5, s. 959–1058.
M. Gromow. Struktury metryczne dla przestrzeni riemannowskich i nieriemannowskich. Postęp w matematyce, tom. 152, Birkäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9 ; Ch. 3.
B. Kleiner i B. Leeb, Sztywność quasi-izometrii dla przestrzeni symetrycznych i budynków euklidesowych. Publikacje Mathématiques de L'IHÉS . Tom 86, numer 1, grudzień 1997, s. 115–197.

Zobacz też