Prawdziwe drzewo

W matematyce drzewa rzeczywiste (zwane także drzewami $.$ to klasa przestrzeni metrycznych uogólniających drzewa uproszczone Powstają naturalnie w wielu kontekstach matematycznych, w szczególności w geometrycznej teorii grup i teorii prawdopodobieństwa . Są to również najprostsze przykłady przestrzeni hiperbolicznych Gromowa .

Definicja i przykłady

Definicja formalna

Trójkąt w prawdziwym drzewie

Przestrzeń metryczna $,$ jeśli jest przestrzenią geodezyjną , w której każdy trójkąt jest trójnogiem. ${\ Displaystyle c = x \ klin y} X {\ Displaystyle x, y,$ to, że na każde trzy punkty istnieje punkt geodezyjny $\$ segmenty ${\ Displaystyle [\ rho, x], [\ rho, y]}$ przecinają się w segmencie ${\ Displaystyle [\ rho, c]}$ a także ${\ Displaystyle c \ w [x, y]}$ . Ta definicja jest równoważna z tym, $że$ jest „zerową przestrzenią hiperboliczną” w sensie Gromowa (wszystkie trójkąty są „cienkie zero”) Prawdziwe drzewa można również scharakteryzować za pomocą właściwości topologicznej . Przestrzeń metryczna ${\ displaystyle X}$ $0,1] w$ $, jeśli dla$ pary punktów wszystkie topologiczne osadzenia $Displaystyle$ [ taki sposób, że ${\ Displaystyle \ sigma (0) = x, \, \ sigma (1) =$ $y$ $y}$ ten sam obraz (który jest wtedy segmentem geodezyjnym od do $displaystyle$ ).

Proste przykłady

Jeśli jest $spójnym wykresem z metryką kombinatoryczną, to jest prawdziwym drzewem wtedy i tylko wtedy, gdy jest drzewem$ tj. nie ma cykli ). Takie drzewo jest często nazywane drzewem uproszczonym. Charakteryzują się one następującą właściwością topologiczną: prawdziwe drzewo ${\ displaystyle X$ $uproszczone wtedy i tylko wtedy$ gdy zbiór punktów osobliwych (punktów, których dopełnienie w ma trzy lub $}$ więcej połączonych komponentów) jest domknięty i dyskretny w ${\ Displaystyle X}$ .
Drzewo $otrzymane$ w następujący sposób nie jest proste Zacznij od przedziału [0, 2] i przyklej dla każdej dodatniej liczby całkowitej n przedział o długości 1/ n do punktu 1 − 1/ n w pierwotnym przedziale. Zbiór punktów osobliwych jest dyskretny, ale nie można go zamknąć, ponieważ 1 jest zwykłym punktem w $tym$ . Przyklejenie przedziału do 1 skutkowałoby zamkniętym zbiorem osobliwych punktów kosztem dyskrecji.
Metryka paryska czyni płaszczyznę prawdziwym drzewem. Definiuje się to w następujący sposób: jeden ustala początek $odległość$ a jeśli dwa punkty leżą na tym samym promieniu od , $ich$ definiowana jako odległość euklidesowa . W przeciwnym razie $ich$ odległość jest definiowana jako suma odległości euklidesowych tych dwóch punktów do .
Płaszczyzna pod metryką paryską jest przykładem przestrzeni jeża , zbioru odcinków linii połączonych we wspólnym punkcie końcowym. Każda taka przestrzeń to prawdziwe drzewo.

Charakteryzacje

Wizualizacja warunku czterech punktów i hiperboliczności 0. Na zielono:

{\ Displaystyle (x, y) _ {t} = (y, z) _ {t}}

; na niebiesko:

{\ Displaystyle (x, z) _ {t}}

.

Oto równoważne charakterystyki prawdziwych drzew, które można wykorzystać jako definicje:

1) (podobnie jak drzewa jako grafy) Prawdziwe drzewo to geodezyjna przestrzeń metryczna , która nie zawiera żadnego podzbioru homeomorficznego względem koła.

2) Prawdziwe drzewo to spójna przestrzeń metryczna ${\ Displaystyle (X, d)}$ , która ma warunek czterech punktów (patrz rysunek):

dla wszystkich

{\ Displaystyle x, y, z, t \ w X,}

{\ Displaystyle d (x, y) + re (z, t) \ równoważnik \ max [d (x, z) + d (y, t) \ ,; \, d (x, t) +d(y,z)]}

.

3) Prawdziwe drzewo to spójna 0-hiperboliczna przestrzeń metryczna (patrz rysunek). Formalnie:

dla wszystkich

{\ Displaystyle x, y, z, t \ w X,}

{\ Displaystyle (x, y) _ {t} \ geq \ min [(x, z) _ {t} \,; \, (y, z) _ {t}]}

.

4) (podobnie do charakterystyki drzew Galtona-Watsona za pomocą procesu konturowego). Rozważ dodatnią zmianę funkcji. Innymi słowy, niech $ciągłą$ funkcją o wartościach rzeczywistych ${$ takim $b$ i ${\ Displaystyle e (t)> 0}$ dla ${\ Displaystyle t \ in] a, b [}$ .

Dla ${\ Displaystyle x, y \ w [a, b]}$ , ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ zdefiniuj relację pseudometryczną i równoważności z:

{\ Displaystyle d_ {e} (x, y): = e(x)+e(y)-2\min(e(z)\,;z\in [x,y]),}

{\ Displaystyle x \ sim _ {e} y \ Strzałka w prawo d_ {e} (x, y) = 0.}

Wtedy $_$ ilorazowa _ Intuicyjnie, lokalne minima wycieczki e są rodzicami lokalnych maksimów . Innym wizualnym sposobem zbudowania prawdziwego drzewa z wycieczki jest „umieszczenie kleju” pod krzywą e i „wygięcie” tej krzywej, identyfikując sklejone punkty (patrz animacja).

HPartant d'une tour e (en noir), la déformation (en vert) représente le « pliage » de la courbe jusqu'au « collage » des points d'une même classe d'équivalence, l'état final est l'arbre réel associé à e .

Przykłady

Prawdziwe drzewa często pojawiają się w różnych sytuacjach jako granice bardziej klasycznych przestrzeni metrycznych.

Drzewa Browna

Drzewo Browna jest prawie na pewno (nie uproszczonym) prawdziwym drzewem. Drzewa Browna powstają jako granice różnych przypadkowych procesów na drzewach skończonych.

Ultragranice przestrzeni metrycznych

Każda ultralimit sekwencji ${\ Displaystyle (X_ {i})}$ z ${\ Displaystyle \ delta _ {i}}$ - przestrzenie hiperboliczne z ${\ Displaystyle \ delta _ {i} \ do 0}$ jest prawdziwym drzewem. W szczególności asymptotyczny stożek dowolnej przestrzeni hiperbolicznej jest prawdziwym drzewem.

Limit działań grupowych

Niech będzie grupą . $_$ Dla sekwencji opartych $\$ ( $Displaystyle (X_ {i}, * _ {i}, \ rho _ {i})}$ istnieje pojęcie konwergencji do opartej $($ ${\ Displaystyle (X _ {\ infty}, x_ {\ infty}, \ rho _ {\ infty}$ } dzięki M. Bestvinie i F. Paulinowi. Kiedy przestrzenie są hiperboliczne, a działania nieograniczone, granica (jeśli istnieje) jest prawdziwym drzewem.

Prosty przykład uzyskuje się, biorąc $}$ jest zwartą powierzchnią i jest ${\ Displaystyle G = \ pi _$ ${1} ($ $}$ $\$ uniwersalna okładka $displaystyle S}$ metryką (gdzie $displaystyle$ ustaloną hiperboliczną metryką na $S}$ ).

Jest to przydatne do tworzenia działań grup hiperbolicznych na rzeczywistych drzewach. Takie działania są analizowane za pomocą tzw. maszyny Rips . Szczególnie interesującym przypadkiem jest badanie degeneracji grup działających właściwie w sposób nieciągły w rzeczywistej przestrzeni hiperbolicznej (jest to wcześniejsze niż prace Ripsa, Bestviny i Paulina i jest dziełem J. Morgana i P. Shalena ).

Grupy algebraiczne

Jeśli jest polem z $wyceną$ ultrametryczną , to budynek Bruhata-Titsa z $}$ prawdziwym drzewem Jest uproszczony wtedy i tylko wtedy, gdy wyceny są dyskretne.

Uogólnienia

${\ Displaystyle \ Lambda}$ - drzewa

Jeśli jest całkowicie uporządkowaną grupą abelową, $istnieje$ $\ Lambda = \ mathbb { R} }$ pojęcie odległości z wartościami w $Displaystyle$ klasyczne przestrzenie metryczne odpowiadają ). Istnieje pojęcie drzewa, które odzyskuje drzewa uproszczone, gdy $Displaystyle$ $\ Lambda = \ mathbb {Z}}$ prawdziwe drzewa, gdy ${\ Displaystyle \ Lambda = \ mathbb {R}}$ . $Opisano$ strukturę skończenie przedstawionych grup działających swobodnie na . W szczególności taka grupa działa swobodnie $-drzewie$ .

Prawdziwe budynki

Aksjomaty dotyczące budynku można uogólnić, aby podać definicję rzeczywistego budynku. Powstają one na przykład jako asymptotyczne stożki przestrzeni symetrycznych wyższego rzędu lub jako budynki Bruhata-Titsa grup wyższego rzędu nad wartościowymi polami.

Zobacz też