Maszyna do zgrywania

W geometrycznej teorii grup maszyna Ripsa jest metodą badania działania grup na R - drzewach . Został wprowadzony w niepublikowanej pracy Eliyahu Ripsa około 1991 roku.

R - drzewo to jednoznacznie połączona łukowo przestrzeń metryczna , w której każdy łuk jest izometryczny do pewnego rzeczywistego przedziału. Rips udowodnił hipotezę Morgana i Shalena, że ​​każda skończenie generowana grupa działająca swobodnie na drzewie R jest swobodnym iloczynem wolnych grup abelowych i powierzchniowych.

Oddziaływania grup powierzchniowych na R-drzewa

Zgodnie z teorią Bassa-Serre'a grupa działająca swobodnie na uproszczonym drzewie jest wolna. Nie dotyczy to już R -drzew, ponieważ Morgan i Shalen wykazali, że podstawowe grupy powierzchni o charakterystyce Eulera mniejszej niż -1 również działają swobodnie na R -drzewa. Udowodnili, że podstawowa grupa połączonej powierzchni zamkniętej S działa swobodnie na R-drzewo wtedy i tylko wtedy, gdy S nie jest jedną z 3 nieorientowalnych powierzchni o charakterystyce Eulera ≥−1.

Aplikacje

Maszyna Ripsa przypisuje stabilnemu działaniu izometrycznemu skończenie wygenerowanej grupy G pewne przybliżenie tego działania w „postaci normalnej” przez stabilne działanie G na drzewie uproszczonym, a tym samym rozszczepienie G w sensie teorii Bassa-Serre'a. Działania grupowe na rzeczywistych drzewach pojawiają się naturalnie w kilku kontekstach w topologii geometrycznej : na przykład jako punkty graniczne przestrzeni Teichmüllera (każdy punkt na granicy Thurstona przestrzeni Teichmüllera jest reprezentowany przez zmierzoną geodezyjną laminację na powierzchni; ta laminacja unosi się do uniwersalnej pokrywy powierzchni, a obiektem naturalnie podwójnym do tego podnoszenia jest R {\ displaystyle \ mathbb $R } }$ -drzewo obdarzone działaniem izometrycznym podstawowej grupy powierzchni), jako granice Gromowa-Hausdorffa odpowiednio przeskalowanych działań grup Kleinowskich i tak dalej. Użycie maszynerii -drzew zapewnia znaczne skróty we współczesnych dowodach ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ Twierdzenie hiperbolizacji Thurstona dla 3-rozmaitości Hakena . Podobnie $,$ odgrywają kluczową rolę w badaniu przestrzeni kosmicznej Cullera - Vogtmanna a także w innych obszarach geometrycznej teorii grup ; na przykład asymptotyczne stożki grup często mają strukturę drzewiastą i powodują działania grupowe na prawdziwych drzewach . Użycie ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ -drzewa, wraz z teorią Bassa-Serre'a, jest kluczowym narzędziem w pracy Seli nad rozwiązaniem problemu izomorfizmu dla (wolnych od skręcania) grup hiperbolicznych słów , wersji Seli teorii dekompozycji JSJ oraz pracy Seli nad Hipoteza Tarskiego dla grup swobodnych i teoria grup granicznych.

Dalsza lektura

•     Gaboriau, D.; Levitt, G.; Paulin, F. (1994), „Pseudogrupy izometrii R i Ripsa o swobodnych działaniach na drzewach R ”, Israel Journal of Mathematics , 87 (1): 403–428, doi : 10.1007 / BF02773004 , ISSN 0021- 2172 , MR 1286836 , S2CID 122353183
•    Kapovich, Michael (2009) [2001], Rozmaitości hiperboliczne i grupy dyskretne , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912- 8 , MR 1792613
•    Shalen, Peter B. (1987), „Dendrologia grup: wprowadzenie”, w: Gersten, SM (red.), Eseje z teorii grup , Math. nauka Rez. Inst. Wyd., tom. 8, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2 , MR 0919830