Konwergencja Gromowa – Hausdorffa

W matematyce zbieżność Gromowa – Hausdorffa , nazwana na cześć Michaiła Gromowa i Feliksa Hausdorffa , to pojęcie zbieżności przestrzeni metrycznych , które jest uogólnieniem zbieżności Hausdorffa .

Odległość Gromowa – Hausdorffa

Jak daleko i jak blisko są niektóre liczby poniżej odległości Gromowa – Hausdorffa.

Odległość Gromowa – Hausdorffa została wprowadzona przez Davida Edwardsa w 1975 r., A później została ponownie odkryta i uogólniona przez Michaiła Gromowa w 1981 r. Odległość ta mierzy, jak daleko dwie zwarte przestrzenie metryczne są od izometrii . Jeśli X i Y są dwiema zwartymi przestrzeniami metrycznymi, to d GH ( X , Y ) jest zdefiniowane jako infimum wszystkich liczb d H ( f ( X ), g ( Y )) dla wszystkich przestrzeni metrycznych M i wszystkich zanurzeń izometrycznych f : X → M i g : Y → M . Tutaj d H oznacza odległość Hausdorffa między podzbiorami w M , a zanurzenie izometryczne jest rozumiane w sensie globalnym, tj. musi zachowywać wszystkie odległości, a nie tylko nieskończenie małe; na przykład żadna zwarta rozmaitość riemannowska nie pozwala na takie osadzenie w przestrzeni euklidesowej tego samego wymiaru.

Odległość Gromowa – Hausdorffa zamienia zbiór wszystkich klas izometrii zwartych przestrzeni metrycznych w przestrzeń metryczną, zwaną przestrzenią Gromowa – Hausdorffa, a zatem definiuje pojęcie zbieżności dla ciągów zwartych przestrzeni metrycznych, zwane konwergencją Gromowa – Hausdorffa . Przestrzeń metryczna, do której zbiega się taka sekwencja, nazywana jest granicą Gromowa – Hausdorffa sekwencji.

Niektóre własności przestrzeni Gromowa-Hausdorffa

Przestrzeń Gromowa – Hausdorffa jest połączona ścieżkami , kompletna i rozdzielna . Jest również geodezyjny , tzn. dowolne dwa jego punkty są punktami końcowymi geodezyjnej minimalizacji . W sensie globalnym przestrzeń Gromowa-Hausdorffa jest całkowicie niejednorodna, tj. jej grupa izometrii jest trywialna, ale lokalnie istnieje wiele nietrywialnych izometrii.

Wskazał zbieżność Gromowa – Hausdorffa

Ostra zbieżność Gromowa – Hausdorffa jest analogiem zbieżności Gromowa – Hausdorffa odpowiednią dla przestrzeni niezwartych. Spiczasta przestrzeń metryczna to para ( X , p ) składająca się z przestrzeni metrycznej X i punktu p w X . Sekwencja ( X n , p n ) spiczastych przestrzeni metrycznych jest zbieżna do spiczastej przestrzeni metrycznej ( Y , p ), jeśli dla każdego R > 0 ciąg zamkniętych R -kul wokół p n w X n zbiega się do zamkniętej kuli R wokół p w Y w zwykłym sensie Gromowa-Hausdorffa.

Aplikacje

Pojęcie zbieżności Gromowa-Hausdorffa zostało użyte przez Gromowa, aby udowodnić, że każda dyskretna grupa o wzroście wielomianowym jest praktycznie nilpotentna (tj. zawiera nilpotentną podgrupę o skończonym indeksie ). Zobacz twierdzenie Gromowa o grupach wzrostu wielomianowego . (Patrz także D. Edwards, aby zapoznać się z wcześniejszą pracą.) Kluczowym składnikiem dowodu była obserwacja, że ​​​​dla wykresu Cayleya grupy o wzroście wielomianowym sekwencja przeskalowań zbiega się w spiczastym sensie Gromowa-Hausdorffa.

Innym prostym i bardzo użytecznym wynikiem geometrii Riemanna jest twierdzenie Gromowa o zwartości , które stwierdza, że ​​​​zbiór rozmaitości riemannowskich o krzywiźnie Ricciego ≥ c i średnicy ≤ D jest stosunkowo zwarty w metryce Gromowa – Hausdorffa. Przestrzenie graniczne to przestrzenie metryczne. Dodatkowe właściwości dotyczące przestrzeni długości zostały udowodnione przez Cheegera i Coldinga .

Metryka odległości Gromowa – Hausdorffa została zastosowana w dziedzinie grafiki komputerowej i geometrii obliczeniowej w celu znalezienia zgodności między różnymi kształtami. Została również zastosowana w problemie planowania ruchu w robotyce.

Odległość Gromowa – Hausdorffa została wykorzystana przez Sormaniego do udowodnienia stabilności modelu Friedmanna w kosmologii. Ten model kosmologii nie jest stabilny w odniesieniu do płynnych zmian metryki.

W szczególnym przypadku koncepcja granic Gromowa – Hausdorffa jest ściśle związana z teorią dużych odchyleń .

Metryka odległości Gromowa – Hausdorffa została wykorzystana w neuronauce do porównania sieci mózgowych.

  1. ^ David A. Edwards, „The Structure of Superspace”, w „Studies in Topology”, Academic Press, 1975, pdf zarchiwizowane 04.03.2016 w Wayback Machine
  2. ^ Tużylin, Aleksiej A. (2016). „Kto wynalazł odległość Gromowa-Hausdorffa?”. arXiv : 1612.00728 [ matematyka.MG ].
  3. Bibliografia _ „Structures métriques pour les variétés riemanniennes”, pod redakcją Lafontaine i Pierre Pansu , 1981.
  4. ^     Gromow, Michał (1981). „Grupy wielomianów wzrostu i rozszerzających się map (z dodatkiem autorstwa Jacquesa Titsa)” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 53 : 53–78. doi : 10.1007/BF02698687 . MR 0623534 . S2CID 121512559 . Zbl 0474.20018 .
  5. Bibliografia _ Burago, S. Iwanow, Kurs geometrii metrycznej , AMS GSM 33, 2001.
  6. ^   Iwanow, AO; Nikołajewa, NK; Tużylin, AA (2016). „Metryka Gromowa – Hausdorffa w przestrzeni zwartych przestrzeni metrycznych jest ściśle wewnętrzna”. Notatki matematyczne . 100 (5–6): 883–885. ar Xiv : 1504.03830 . doi : 10.1134/S0001434616110298 . S2CID 39754495 .
  7. ^ Aby zapoznać się z wyraźną konstrukcją geodezji, zobacz Chowdhury, Samir; Memoli, Facundo (2016). „Jawna geodezja w przestrzeni Gromowa-Hausdorffa”. arXiv : 1603.02385 [ matematyka.MG ].
  8. ^ Iwanow, Aleksander; Tużylin, Aleksiej (2018). „Grupa izometrii Gromowa - przestrzeń Hausdorffa”. arXiv : 1806.02100 [ matematyka.MG ].
  9. ^ Iwanow, Aleksander O.; Tużylin, Aleksiej A. (2016). „Lokalna struktura przestrzeni Gromowa-Hausdorffa w pobliżu skończonych przestrzeni metrycznych w pozycji ogólnej”. arXiv : 1611.04484 [ matematyka.MG ].
  10. ^   Bellaïche, André (1996). „Przestrzeń styczna w geometrii podriemannowskiej”. W André Bellaïche; Jean-Jacques Risler (red.). Geometria podriemannowska . Postęp w matematyce. Tom. 44. Bazylea: Birkhauser. s. 1–78 [56]. doi : 10.1007/978-3-0348-9210-0_1 . ISBN 978-3-0348-9946-8 .
  11. Bibliografia _ Zimno, Tobiasz H. (1997). „O strukturze przestrzeni z krzywizną Ricciego ograniczoną poniżej. I” . Dziennik geometrii różniczkowej . 46 (3). doi : 10.4310/jdg/1214459974 .
  12. ^    Memoli, Facundo; Sapiro, Guillermo (2004). „Porównywanie chmur punktów”. Materiały z sympozjum Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 na temat przetwarzania geometrii - SGP '04 . P. 32. doi : 10.1145/1057432.1057436 . ISBN 3905673134 . S2CID 207156533 .
  13. ^ Sukkar, Fouad; Wakulicz, Jennifer; Lee, Ki Myung Brian; Fitch, Robert (2022-09-11). „Planowanie ruchu w przestrzeni zadaniowej z przybliżeniami Gromowa-Hausdorffa”. arXiv : 2209.04800 [ cs.RO ].
  14. ^   Sormani, Krystyna (2004). „Kosmologia Friedmanna i prawie izotropia”. Analiza geometryczna i funkcjonalna . 14 (4). doi : 10.1007/s00039-004-0477-4 . S2CID 53312009 .
  15. Bibliografia   _ Sunada, Toshikazu (2006). „Duże odchylenie i stożek styczny w nieskończoności sieci krystalicznej”. Mathematische Zeitschrift . 254 (4): 837–870. doi : 10.1007/s00209-006-0951-9 . S2CID 122531716 .
  16. Bibliografia    _ Chung, Moo K.; Kang, Hyejin; Kim, Boong-Nyun; Lee, Dong Soo (2011). „Obliczanie kształtu sieci mózgowych przy użyciu filtracji grafów i metryki Gromowa-Hausdorffa”. Obliczenia obrazu medycznego i interwencja wspomagana komputerowo – MICCAI 2011 . Notatki z wykładów z informatyki. Tom. 6892. s. 302–309. doi : 10.1007/978-3-642-23629-7_37 . ISBN 978-3-642-23628-0 . PMID 21995042 .
  •   M. Gromow. Struktury metryczne dla przestrzeni riemannowskich i nieriemannowskich , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (tłumaczenie z dodatkową treścią).
Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gromov–Hausdorff_convergence&oldid=1136267267 ”