Tempo wzrostu (teoria grup)

W matematycznym przedmiocie geometrycznej teorii grup tempo wzrostu grupy w odniesieniu do symetrycznego zespołu generującego opisuje, jak szybko grupa rośnie. Każdy element w grupie można zapisać jako iloczyn generatorów, a tempo wzrostu liczy liczbę elementów, które można zapisać jako iloczyn długości n .

Definicja

Załóżmy, że G jest skończenie generowaną grupą; a T jest skończonym symetrycznym zbiorem generatorów (symetryczny oznacza, że ​​jeśli ${\ displaystyle x \ in T}$ to ${\ displaystyle x ^ {- 1} \ in T})$ . Każdy element można wyrazić jako słowo w alfabecie T. $}$

${\ Displaystyle x = a_ {1} \ cdot a_ {2} \ cdots a_ {k} {\ tekst {gdzie}} a_ {i} \ w T.}$

Rozważmy podzbiór wszystkich elementów G , które można wyrazić takim słowem o długości ≤ n

${\ Displaystyle B_ {n} (G, T) = \ {x \ w G \ mid x = a_ {1} \ cdot a_ {2} \ cdots a_ {k} {\ tekst {gdzie}} a_ {i} \in T{\text{ i }}k\równoważnik n\}.}$

Ten zbiór jest po prostu zamkniętą kulą o promieniu n w słowie metryka d na G w odniesieniu do zespołu prądotwórczego T :

${\ Displaystyle B_ {n} (G, T) = \ {x \ w G \ mid d (x, e) \ równoważnik n \}.}$

$się$ geometrycznie, jest zbiorem na grafie Cayleya względem w tożsamości

Biorąc pod uwagę dwie niemalejące funkcje dodatnie a i b, $,$ powiedzieć, że są one równoważne ( jeśli istnieje stała C , że ​​dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n ,

${\ Displaystyle a (n/C) \ równoważnik b (n) \ równoważnik a (Cn), \,}$

na przykład ${\ Displaystyle p ^ {n} \ sim q ^ {n}}$ jeśli ${\ Displaystyle p, q> 1}$ .

Wtedy tempo wzrostu grupy G można zdefiniować jako odpowiednią klasę równoważności funkcji

$\ Displaystyle \ # (n) = | B_ {n} (G, T) |,}$

gdzie ${\ Displaystyle | B_ {n} (G, T)|}$ oznacza liczbę elementów w zbiorze ${\ Displaystyle B_ {n} (G, T)}$ . Chociaż funkcja $zestawu$ generatorów T , jej tempo wzrostu nie (patrz poniżej grupy.

$zbiory$ słowa d a zatem zespołu . Jednak dowolne dwie takie metryki są równoważne bilipschitzowi w następującym sensie: dla skończonych symetrycznych zespołów generujących E , F , istnieje dodatnia stała C taka, że

${\ Displaystyle {1 \ nad C} \ d_ {F} (x, y) \ równoważnik d_ {E} (x, y) \ równoważnik C \ d_ {F} (x, y).}$

Bezpośrednim następstwem tej nierówności jest to, że tempo wzrostu nie zależy od wyboru zespołu prądotwórczego.

Wzrost wielomianowy i wykładniczy

Jeśli

${\ Displaystyle \ # (n) \ równoważnik C (n ^ {k} + 1)}$

dla niektórych mówimy $_$ G wielomianowe tempo Dolna granica $s$ k ' nazywana jest rzędem wzrostu wielomianu . Zgodnie z twierdzeniem Gromowa grupa o wzroście wielomianowym jest grupą praktycznie nilpotentną , tzn. ma nilpotentną podgrupę o skończonym indeksie . W szczególności kolejność wzrostu wielomianu $Displaystyle$ być liczbą naturalną iw rzeczywistości $\ # (n) \ sim n ^ {k_ {0} }}$ .

Jeśli $}}$$n$ dla niektórych że G ma wykładniczą stopę wzrostu . Każdy skończenie wygenerowany G co najwyżej wykładniczy wzrost, tj. $mamy$${\ Displaystyle \ # (n) \ równoważnik b ^ {n}}$ .

Jeśli rośnie $wykładnicza$ niż jakakolwiek funkcja , G subwykładnicze . Każda taka grupa jest podatna .

Przykłady

• Wolna grupa o skończonej randze ma wykładnicze tempo wzrostu. ${\ displaystyle k> 1}$
• Skończona grupa ma stały wzrost - to znaczy wzrost wielomianowy rzędu 0 - i obejmuje to podstawowe grupy rozmaitości , których uniwersalne pokrycie jest zwarte .
• Jeśli M jest zamkniętą $,$ zakrzywioną rozmaitością Riemanna , to jej grupa ma tempo John Milnor $że$ , wykorzystując fakt, słowo metryka na jest quasi względem uniwersalnego M
• Wolna grupa abelowa $.$ wielomianowe tempo rzędu d
• Dyskretna $omówionego$ Heisenberga ma wielomianowe tempo wzrostu rzędu 4. Fakt ten jest szczególnym przypadkiem ogólnego twierdzenia Hymana Bassa i Yvesa Guivarcha w artykule o twierdzeniu Gromowa .
• Grupa latarników rozwija się wykładniczo.
• Istnienie grup o wzroście pośrednim , tj. subwykładniczym, ale nie wielomianowym, było otwarte przez wiele lat. Pytanie zostało zadane przez Milnora w 1968 r., a ostatecznie pozytywnie odpowiedział Rostislav Grigorchuk w 1984 r. Nadal istnieją otwarte pytania w tej dziedzinie i brakuje pełnego obrazu tego, które rzędy wzrostu są możliwe, a które nie.
• Grupy trójkątów obejmują nieskończenie wiele grup skończonych (sferyczne, odpowiadające kuli), trzy grupy wzrostu kwadratowego (euklidesowe, odpowiadające płaszczyźnie euklidesowej) i nieskończenie wiele grup wzrostu wykładniczego (hiperboliczne, odpowiadające hiperbolicznemu samolot).

Zobacz też

• Powiązania z nierównościami izoperymetrycznymi

• Milnor J. (1968). „Uwaga na temat krzywizny i grupy podstawowej” . Dziennik geometrii różniczkowej . 2 : 1–7. doi : 10.4310/jdg/1214501132 .
• Grigorczuk RI (1984). „Stopnie wzrostu skończenie generowanych grup i teoria środków niezmiennych”. Izw. Akad. Nauk SSSR Ser. Mata. (po rosyjsku). 48 (5): 939–985.

Dalsza lektura

• Rościsław Grigorczuk i Igor Pak (2006). „Grupy o średnim wzroście: wprowadzenie dla początkujących”. arXiv : matematyka.GR/0607384 .