Wykładniczy wzrost

Wykres ilustruje, w jaki sposób wzrost wykładniczy (zielony) przewyższa zarówno wzrost liniowy (czerwony), jak i sześcienny (niebieski).

 Wzrost liniowy

  Wzrost sześcienny

 Wykładniczy wzrost

Wzrost wykładniczy to proces, który zwiększa ilość w czasie. Występuje, gdy chwilowa szybkość zmian (czyli pochodna ) wielkości względem czasu jest proporcjonalna do samej wielkości. Opisana jako funkcja , wielkość podlegająca wykładniczemu wzrostowi jest wykładniczą funkcją czasu, to znaczy zmienną reprezentującą czas jest wykładnikiem (w przeciwieństwie do innych rodzajów wzrostu, takich jak wzrost kwadratowy ).

Jeśli stała proporcjonalności jest ujemna, to wielkość maleje w czasie i zamiast tego mówi się, że ulega rozkładowi wykładniczemu . W przypadku dyskretnej dziedziny definicji o równych odstępach, nazywa się to również wzrostem geometrycznym lub zanikiem geometrycznym , ponieważ wartości funkcji tworzą postęp geometryczny .

Wzór na wykładniczy wzrost zmiennej x przy tempie wzrostu r , w miarę upływu czasu t w dyskretnych przedziałach (to znaczy w liczbach całkowitych razy 0, 1, 2, 3, ...), to

$${\ Displaystyle x_ {t} = x_ {0} (1 + r) ^ {t}}$$

gdzie x ₀ jest wartością x w czasie 0. Do zilustrowania tego często używa się wzrostu kolonii bakteryjnej . Jedna bakteria dzieli się na dwie, z których każda dzieli się na cztery, potem osiem, 16, 32 i tak dalej. Wielkość wzrostu stale rośnie, ponieważ jest proporcjonalna do stale rosnącej liczby bakterii. Taki wzrost obserwuje się w rzeczywistych działaniach lub zjawiskach, takich jak rozprzestrzenianie się infekcji wirusowej, wzrost zadłużenia z tytułu odsetek składanych i rozprzestrzenianie się wirusowych filmów wideo . W rzeczywistych przypadkach początkowy wykładniczy wzrost często nie trwa wiecznie, zamiast tego ostatecznie zwalnia z powodu górnych limitów spowodowanych czynnikami zewnętrznymi i zamienia się w wzrost logistyczny .

Terminy takie jak „wykładniczy wzrost” są czasami błędnie interpretowane jako „szybki wzrost”. Rzeczywiście, coś, co rośnie wykładniczo, może początkowo rosnąć powoli.

Przykłady

Bakterie wykazują wykładniczy wzrost w optymalnych warunkach.

Biologia

• Liczba mikroorganizmów w kulturze będzie rosła wykładniczo, aż do wyczerpania niezbędnego składnika odżywczego, więc nie ma już tego składnika odżywczego, aby więcej organizmów mogło rosnąć. Zwykle pierwszy organizm dzieli się na dwa organizmy potomne, z których każdy dzieli się na cztery, które dzielą się na osiem i tak dalej. Ponieważ wzrost wykładniczy wskazuje na stałą szybkość wzrostu, często zakłada się, że komórki rosnące wykładniczo są w stanie ustalonym. Jednak komórki mogą rosnąć wykładniczo ze stałą szybkością, jednocześnie przebudowując swój metabolizm i ekspresję genów.
• Wirus (na przykład COVID-19 lub ospa ) zwykle rozprzestrzenia się wykładniczo na początku, jeśli nie jest dostępna sztuczna immunizacja . Każda zarażona osoba może zarazić wiele nowych osób.

Fizyka

• Przebicie lawinowe w materiale dielektrycznym . Swobodny elektron zostaje wystarczająco przyspieszony przez przyłożone z zewnątrz pole elektryczne , aby uwolnić dodatkowe elektrony, zderzając się z atomami lub cząsteczkami ośrodka dielektrycznego. Te wtórne elektrony również są przyspieszane, tworząc większą liczbę wolnych elektronów. Wynikający z tego wykładniczy wzrost elektronów i jonów może szybko doprowadzić do całkowitego rozpadu dielektrycznego materiału.
• Jądrowa reakcja łańcuchowa (koncepcja reaktorów jądrowych i broni jądrowej ). Każde jądro uranu , które ulega rozszczepieniu , wytwarza wiele neutronów , z których każdy może zostać zaabsorbowany przez sąsiednie atomy uranu, powodując ich rozszczepienie. Jeśli prawdopodobieństwo absorpcji neutronów przekracza prawdopodobieństwo ucieczki neutronów ( funkcja kształtu i masy uranu), szybkość produkcji neutronów i indukowanych rozszczepień uranu wzrasta wykładniczo w niekontrolowanej reakcji . „Ze względu na wykładnicze tempo wzrostu, w dowolnym momencie reakcji łańcuchowej 99% energii zostanie uwolnione w ciągu ostatnich 4,6 pokoleń. Rozsądnym przybliżeniem jest myślenie o pierwszych 53 pokoleniach jako o okresie utajenia prowadzącym do rzeczywista eksplozja, która trwa tylko 3-4 pokolenia”.
• Dodatnie sprzężenie zwrotne w liniowym zakresie wzmocnienia elektrycznego lub elektroakustycznego może skutkować wykładniczym wzrostem wzmocnionego sygnału, chociaż efekty rezonansowe mogą faworyzować niektóre składowe częstotliwości sygnału w stosunku do innych.

Ekonomia

• Wzrost gospodarczy jest wyrażony w procentach, co oznacza wzrost wykładniczy.

Finanse

• Oprocentowanie składane przy stałej stopie procentowej zapewnia wykładniczy wzrost kapitału. Zobacz także regułę 72 .
• Piramidy lub schematy Ponziego również wykazują ten typ wzrostu, skutkujący wysokimi zyskami dla kilku początkowych inwestorów i stratami dla dużej liczby inwestorów.

Informatyka

• Moc obliczeniowa komputerów. Zobacz także prawo Moore'a i osobliwość technologiczna . (Przy wzroście wykładniczym nie ma osobliwości. Osobliwość jest tutaj metaforą, która ma przedstawiać niewyobrażalną przyszłość. Związek tej hipotetycznej koncepcji ze wzrostem wykładniczym najgłośniej nawiązuje futurysta Ray Kurzweil ) .
• W teorii złożoności obliczeniowej algorytmy komputerowe o złożoności wykładniczej wymagają wykładniczo rosnącej ilości zasobów (np. czasu, pamięci komputera) tylko dla stałego wzrostu rozmiaru problemu. Zatem dla algorytmu o złożoności czasowej 2 ^x , jeśli rozwiązanie problemu o rozmiarze x = 10 wymaga 10 sekund, a rozwiązanie problemu o rozmiarze x = 11 wymaga 20 sekund, to rozwiązanie problemu o rozmiarze x = 12 będzie wymagało 40 sekund. Ten rodzaj algorytmu zwykle staje się bezużyteczny przy bardzo małych rozmiarach problemów, często od 30 do 100 elementów (większość algorytmów komputerowych musi być w stanie rozwiązać znacznie większe problemy, do dziesiątek tysięcy, a nawet milionów elementów w rozsądnym czasie, co byłoby być fizycznie niemożliwe z algorytmem wykładniczym). Również efekty prawa Moore'a nie pomagają zbytnio w tej sytuacji, ponieważ podwojenie szybkości procesora pozwala jedynie na zwiększenie rozmiaru problemu o stałą. Np. jeśli wolny procesor może rozwiązać problemy o rozmiarze x w czasie t , to procesor dwukrotnie szybszy mógłby rozwiązać tylko problemy o rozmiarze x + stała w tym samym czasie t . Tak więc wykładniczo złożone algorytmy są najczęściej niepraktyczne, a poszukiwanie bardziej wydajnych algorytmów jest jednym z głównych celów dzisiejszej informatyki.

Zjawiska internetowe

• Treści internetowe, takie jak memy lub filmy internetowe , mogą rozprzestrzeniać się w sposób wykładniczy, często mówi się, że „ stają się wirusowe ” jako analogia do rozprzestrzeniania się wirusów. Dzięki mediom, takim jak sieci społecznościowe , jedna osoba może przekazywać te same treści wielu osobom jednocześnie, które następnie przekazują je jeszcze większej liczbie osób i tak dalej, powodując szybkie rozprzestrzenianie się. Na przykład wideo Gangnam Style zostało przesłane do YouTube 15 lipca 2012 r., Docierając do setek tysięcy widzów pierwszego dnia, milionów dwudziestego dnia i łącznie obejrzane przez setki milionów w mniej niż dwa miesiące.

Podstawowa formuła

wzrost wykładniczy: ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a & = 3 \\ b & = 2 \\ r & = 5 \ koniec {wyrównane}}}$

wzrost wykładniczy: ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a & = 24 \\ b & = {\ Frac {1} {2}} \\ r & = 5 \ koniec {wyrównane}} }$

Wielkość x zależy wykładniczo od czasu t jeśli

$${\ Displaystyle x (t) = a \ cdot b ^ {t / \ tau}}$$

gdzie stała a jest wartością początkową x ,

$${\ Displaystyle x (0) = a \,,}$$

stała b jest dodatnim czynnikiem wzrostu, a τ jest stałą czasową — czasem potrzebnym do zwiększenia x o jeden czynnik b :

$${\ Displaystyle x (t + \ tau) = a \ cdot b ^ {\ Frac {t + \ tau} {\ tau}} = a \ cdot b ^ {\ Frac {t} {\ tau}} \ cdot b ^ { \frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b\,.}$$

Jeśli τ > 0 i b > 1 , to x ma wzrost wykładniczy. Jeśli τ < 0 i b > 1 lub τ > 0 i 0 < b < 1 , to x ma rozkład wykładniczy .

Przykład: jeśli gatunek bakterii podwaja się co dziesięć minut, zaczynając od tylko jednej bakterii, ile bakterii będzie obecnych po jednej godzinie? Pytanie implikuje a = 1 , b = 2 i τ = 10 min .

$${\ Displaystyle x (t) = a \ cdot b ^ {t / \ tau} = 1 \ cdot 2 ^ {t / ( 10{\text{ min}})}}$$

$${\ Displaystyle x (1 {\ tekst {hr}}) = 1 \ cdot 2 ^ {(60 {60 { \text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.}$$

Po jednej godzinie lub sześciu dziesięciominutowych odstępach byłyby sześćdziesiąt cztery bakterie.

Wiele par ( b , τ ) bezwymiarowej liczby nieujemnej b i czasu τ ( wielkość fizyczna , którą można wyrazić jako iloczyn liczby jednostek i jednostki czasu) reprezentuje to samo tempo wzrostu, z τ proporcjonalne do logarytmu b . Dla dowolnego ustalonego b nierównego 1 (np. e lub 2) tempo wzrostu jest określone przez niezerowy czas τ . Dla dowolnego niezerowego czasu τ tempo wzrostu jest określone przez bezwymiarową liczbę dodatnią b .

Zatem prawo wykładniczego wzrostu można zapisać w różnych, ale matematycznie równoważnych postaciach, używając innej podstawy . Najczęstsze formy są następujące:

$${\ Displaystyle x (t) = x_ {0} \ cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},}$$

gdzie x ₀ wyraża wielkość początkową x (0) .

Parametry (ujemne w przypadku rozkładu wykładniczego):

• Stała wzrostu k to częstotliwość ( liczba razy na jednostkę czasu) wzrostu o współczynnik e ; w finansach jest również nazywany zwrotem logarytmicznym, zwrotem składanym w sposób ciągły lub siłą procentową .
• Czas e-fałdowania τ to czas potrzebny do wzrostu o czynnik e .
• Czas podwojenia T to czas potrzebny do podwojenia.
• Procentowy wzrost r (liczba bezwymiarowa) w okresie p .

Wielkości k , τ i T , a dla danego p także r , mają związek jeden do jednego określony następującym równaniem (które można wyprowadzić, biorąc logarytm naturalny z powyższego):

$${\ Displaystyle k = {\ Frac {1} {\ tau}} = {\ Frac {\ ln 2} {T}} = { \frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$$

gdzie k = 0 odpowiada r = 0 oraz temu, że τ i T są nieskończone.

Jeśli p jest jednostką czasu, iloraz t / p jest po prostu liczbą jednostek czasu. Używając notacji t dla (bezwymiarowej) liczby jednostek czasu, a nie samego czasu, t / p można zastąpić przez t , ale tutaj uniknięto tego ze względu na jednorodność. W tym przypadku dzielenie przez p w ostatnim wzorze również nie jest dzieleniem liczbowym, ale konwertuje liczbę bezwymiarową na odpowiednią wielkość wraz z jednostką.

Popularną przybliżoną metodą obliczania czasu podwojenia na podstawie tempa wzrostu jest reguła 70 , czyli ${\ displaystyle T \ simeq 70/r}$ .

Wykresy porównujące czasy podwojenia i okresy półtrwania wzrostu wykładniczego (linie pogrubione) i zaniku (linie słabe) oraz ich przybliżenia 70/ t i 72/ t . W wersji SVG najedź kursorem na wykres, aby go podświetlić i uzupełnić.

Reformulacja jako logarytmiczno-liniowy wzrost

$_$ zmienna x zgodnie _ podstawa) x rośnie liniowo w czasie, co można zobaczyć, logarytmując obie strony równania wzrostu wykładniczego:

$${\ Displaystyle \ log x (t) = \ log x_ {0} + t \ cdot \ log (1 + r).}$$

Pozwala to na modelowanie wykładniczo rosnącej zmiennej za pomocą modelu logarytmiczno-liniowego . Na przykład, jeśli ktoś chce empirycznie oszacować tempo wzrostu na podstawie danych międzyokresowych dla x , może wykonać liniową regresję log x dla t .

Równanie różniczkowe

Funkcja wykładnicza ${\ Displaystyle x (t) = x_ {0} e ^ {kt}}$ spełnia liniowe równanie różniczkowe :

$${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = kx}$$

mówiąc, że zmiana na chwilę czasu x w czasie t jest proporcjonalna do wartości x ( t ) , a x ( t ) ma wartość początkową ${\ displaystyle x (0) = x_ {0} }$ .

Równanie różniczkowe rozwiązuje się przez bezpośrednie całkowanie:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {dx} {dt}} & = kx \\ [5pt] {\ Frac {dx} {x}} & = k \, dt \\ [5pt] \ int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{wyrównane}}}$$

aby

$${\ Displaystyle x (t) = x_ {0} e ^ {kt}.}$$

W powyższym równaniu różniczkowym, jeśli k < 0 , to wielkość ulega rozkładowi wykładniczemu .

Aby zapoznać się z nieliniową odmianą tego modelu wzrostu, zobacz funkcję logistyczną .

Inne stopy wzrostu

Na dłuższą metę jakikolwiek wzrost wykładniczy wyprzedzi dowolny wzrost liniowy (który jest podstawą katastrofy maltuzjańskiej ), jak również wzrost wielomianowy , czyli dla wszystkich α :

$${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} {\ Frac {t ^ {\ alfa}} {ae ^ {t}}} = 0.}$$

Istnieje cała hierarchia możliwych do wyobrażenia stóp wzrostu, które są wolniejsze niż wykładnicze i szybsze niż liniowe (w dłuższej perspektywie). Zobacz Stopień wielomianu § Obliczony z wartości funkcji .

Tempo wzrostu może być również szybsze niż wykładnicze. W najbardziej skrajnym przypadku, gdy wzrost rośnie bez ograniczeń w skończonym czasie, nazywa się to wzrostem hiperbolicznym . Pomiędzy wzrostem wykładniczym a hiperbolicznym znajduje się więcej klas zachowań związanych ze $jak$ rozpoczynające od tetracji i funkcji Ackermanna .

Wzrost logistyczny

Wykładniczy wzrost w kształcie litery J (po lewej, niebieski) i logistyczny wzrost w kształcie litery S (po prawej, czerwony).

Główny artykuł: Krzywa logistyczna

W rzeczywistości początkowy wzrost wykładniczy często nie jest trwały. Po pewnym czasie zostanie spowolniony przez czynniki zewnętrzne lub środowiskowe. Na przykład wzrost populacji może osiągnąć górną granicę z powodu ograniczeń zasobów. W 1845 roku belgijski matematyk Pierre François Verhulst jako pierwszy zaproponował matematyczny model wzrostu, nazwany „ wzrostem logistycznym ”.

Ograniczenia modeli

Wykładnicze modele wzrostu zjawisk fizycznych mają zastosowanie tylko w ograniczonych regionach, ponieważ nieograniczony wzrost nie jest fizycznie realistyczny. Chociaż początkowo wzrost może być wykładniczy, modelowane zjawiska w końcu wejdą w obszar, w którym wcześniej ignorowane negatywne czynniki sprzężenia zwrotnego staną się istotne (prowadząc do logistycznego modelu wzrostu) lub inne podstawowe założenia wykładniczego modelu wzrostu, takie jak ciągłość lub natychmiastowe sprzężenie zwrotne, załamują się w dół.

Dalsze informacje: Granice wzrostu , katastrofa maltuzjańska i pozorny wskaźnik infekcji

Wykładniczy błąd wzrostu

Badania pokazują, że ludzie mają trudności ze zrozumieniem wzrostu wykładniczego. Wykładniczy błąd wzrostu to tendencja do niedoceniania złożonych procesów wzrostu. To uprzedzenie może mieć również konsekwencje finansowe.

Poniżej znajduje się kilka historii, które podkreślają tę stronniczość.

Ryż na szachownicy

Zobacz też: Problem z pszenicą i szachownicą

Według starej legendy wezyr Sissa Ben Dahir podarował indyjskiemu królowi Sharimowi piękną ręcznie robioną szachownicę . Król zapytał, co chciałby w zamian za swój dar, a dworzanin zaskoczył króla, prosząc o jedno ziarno ryżu na pierwszym kwadracie, dwa ziarna na drugim, cztery ziarna na trzecim itd. Król chętnie się zgodził i poprosił aby przywieźć ryż. Na początku wszystko szło dobrze, ale zapotrzebowanie na 2 ^{n -1} ziaren na n -tym kwadracie wymagało ponad miliona ziaren na 21. kwadracie, ponad milion milionów ( inaczej bilion ) na 41. i po prostu nie było wystarczającej ilości ryżu w cały świat na ostatnie kwadraty. (Z Świrskiego, 2006)

Druga połowa szachownicy to czas, w którym wykładniczo rosnący wpływ ma znaczący wpływ ekonomiczny na ogólną strategię biznesową organizacji.

Lilia wodna

Francuskim dzieciom proponuje się zagadkę, która wydaje się być aspektem wzrostu wykładniczego: „pozorna nagłość, z jaką wykładniczo rosnąca ilość zbliża się do ustalonej granicy”. Zagadka przedstawia lilię wodną rosnącą w stawie. Roślina podwaja swoją wielkość każdego dnia, a pozostawiona sama w sobie zatopiłaby staw w ciągu 30 dni, zabijając wszystkie inne żywe stworzenia w wodzie. Dzień po dniu wzrost rośliny jest niewielki, więc postanowiono, że nie będzie to problemem, dopóki nie pokryje połowy stawu. Który to będzie dzień? 29 dzień, został tylko jeden dzień na uratowanie stawu.

Zobacz też

• Przyspieszenie zmian
• Alberta Allena Bartletta
• Arthrobacter
• Notacja asymptotyczna
• Wzrost bakterii
• Ograniczony wzrost
• Wzrost komórek
• Eksplozja kombinatoryczna
• Algorytm wykładniczy
• PRZESTRZEŃ
• EXPTIME
• wymiar Hausdorffa
• Wzrost hiperboliczny
• Eksplozja informacji
• Prawo przyspieszonych zwrotów
• Lista tematów wykładniczych
• Wzrost logarytmiczny
• Funkcja logistyczna
• Maltuzjański model wzrostu
• Gąbka Mengera
• Prawo Moore'a
• Wzrost kwadratowy
• Prawo Steina

Źródła

•   Łąki, Donella. Randers, Jorgen. Łąki, Dennis. Granice wzrostu : 30-letnia aktualizacja . Wydawnictwo Chelsea Green, 2004. ISBN 9781603581554
•   Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers i William W. Behrens III. (1972) Granice wzrostu . Nowy Jork: Książki uniwersyteckie. ISBN 0-87663-165-0
•   Porritt, J. Kapitalizm, jakby świat miał znaczenie , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
•   Świrski, Piotr. Literatury i wiedzy: eksploracje w narracyjnych eksperymentach myślowych, ewolucji i teorii gier . Nowy Jork: Routledge. ISBN 0-415-42060-1
•   Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth , Wiley grudzień 2005, ISBN 0-471-74747-5
• Tsirel, SV 2004. O możliwych przyczynach hiperwykładniczego wzrostu populacji Ziemi . Modelowanie matematyczne dynamiki społecznej i gospodarczej / wyd. MG Dmitriev i AP Petrov, s. 367–39. Moskwa: Rosyjski Państwowy Uniwersytet Społeczny, 2004.

Linki zewnętrzne

• Wzrost w skończonym świecie – zrównoważony rozwój i funkcja wykładnicza – prezentacja
• Dr Albert Bartlett: Arytmetyka, ludność i energia — strumieniowe przesyłanie wideo i audio 58 min