Wymiar izoperymetryczny

W matematyce wymiar izoperymetryczny rozmaitości to pojęcie wymiaru, które próbuje uchwycić, w jaki sposób zachowanie rozmaitości na dużą skalę przypomina zachowanie przestrzeni euklidesowej (w przeciwieństwie do wymiaru topologicznego lub wymiaru Hausdorffa , które porównują różne zachowania lokalne z zachowaniami przestrzeń euklidesowa).

W przestrzeni euklidesowej nierówność izoperymetryczna mówi , że ze wszystkich ciał o tej samej objętości kula ma najmniejszą powierzchnię. W innych rozmaitościach zwykle bardzo trudno jest znaleźć dokładny korpus minimalizujący pole powierzchni, a nie o to chodzi w wymiarze izoperymetrycznym. Pytanie, które zadamy, brzmi: jaka jest w przybliżeniu minimalna powierzchnia, niezależnie od tego, jakie ciało zdaje sobie z tego sprawę.

Definicja formalna

rozmaitości różniczkowalnej M mówimy , że spełnia d -wymiarową nierówność izoperymetryczną, jeśli dla dowolnego zbioru otwartego D w M o gładkiej granicy mamy

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {obszar} (\ częściowe D) \ geq C \ nazwa operatora {tom} (D) ^ {(d-1) / d}.}

Oznaczenia vol i area odnoszą się do regularnych pojęć objętości i pola powierzchni na rozmaitości, a dokładniej, jeśli rozmaitość ma n wymiarów topologicznych, to vol odnosi się do n -wymiarowej objętości, a powierzchnia odnosi się do ( n - 1)-wymiarowej objętości . C odnosi się tutaj do pewnej stałej, która nie zależy od D (może zależeć od rozmaitości i od d ).

Wymiar izoperymetryczny M jest supremum wszystkich wartości d takich, że M spełnia d -wymiarową nierówność izoperymetryczną .

Przykłady

D -wymiarowa przestrzeń euklidesowa ma wymiar izoperymetryczny d . Jest to dobrze znany problem izoperymetryczny - jak omówiono powyżej, dla przestrzeni euklidesowej stała C jest znana dokładnie od momentu osiągnięcia minimum dla piłki.

Nieskończony walec (tj. iloczyn koła i prostej ) ma wymiar topologiczny 2, ale wymiar izoperymetryczny 1. Rzeczywiście, pomnożenie dowolnej rozmaitości przez rozmaitość zwartą nie zmienia wymiaru izoperymetrycznego (zmienia jedynie wartość stałej C ). Każda zwarta rozmaitość ma wymiar izoperymetryczny 0.

Możliwe jest również, aby wymiar izoperymetryczny był większy niż wymiar topologiczny. Najprostszym przykładem jest nieskończona siłownia w dżungli , która ma wymiar topologiczny 2 i wymiar izoperymetryczny 3. Zobacz [1] , aby zobaczyć rysunki i kod Mathematica.

Płaszczyzna hiperboliczna ma wymiar topologiczny 2 i nieskończoność wymiaru izoperymetrycznego. W rzeczywistości płaszczyzna hiperboliczna ma dodatnią stałą Cheegera . Oznacza to, że spełnia nierówność

\ Displaystyle \ operatorname {obszar} (\ częściowy D) \ geq C \ operatorname {tom} (D)}

co oczywiście implikuje nieskończony wymiar izoperymetryczny.

wykresów

Wymiar izoperymetryczny wykresów można zdefiniować w podobny sposób. Dokładna definicja jest podana w ankiecie Chunga. Powierzchnia i objętość są mierzone za pomocą ustalonych rozmiarów. Dla każdego podzbioru A wykresu G definiuje $A$ jako zbiór wierzchołków w $sąsiadem$ D - wymiarowa nierówność izoperymetryczna jest teraz zdefiniowana przez

{\ Displaystyle | \ częściowe A | \ geq C \ lewo (\ min \ lewo (| A |, | G \ setminus A | \ prawo) \ prawo) ^ {(d-1) / d}.}

(To pytanie MathOverflow zawiera więcej szczegółów). Analogi wykresów wszystkich powyższych przykładów są aktualne, ale definicja jest nieco inna, aby uniknąć sytuacji, w której wymiar izoperymetryczny dowolnego wykresu skończonego wynosi 0: W powyższym wzorze objętość ZA { $displaystyle A}$ zostaje zastąpione przez ${\ Displaystyle \ min (| A |, | G \ setminus A |)}$ (patrz ankieta Chunga, sekcja 7).

Wymiar izoperymetryczny d -wymiarowej siatki to d . Ogólnie rzecz biorąc, wymiar izoperymetryczny jest zachowywany przez quasi-izometrie , zarówno przez quasi-izometrie między rozmaitościami, między grafami, a nawet przez quasi-izometrie przenoszące rozmaitości do grafów, z odpowiednimi definicjami. Z grubsza oznacza to, że wykres „naśladujący” daną rozmaitość (tak jak siatka naśladuje przestrzeń euklidesową) miałby ten sam wymiar izoperymetryczny co rozmaitość. Nieskończone kompletne drzewo binarne ma wymiar izoperymetryczny ∞. ^{[ potrzebne źródło ]}

Konsekwencje izoperymetrii

Prosta całka po r (lub suma w przypadku wykresów) pokazuje, że d -wymiarowa nierówność izoperymetryczna implikuje d -wymiarowy wzrost objętości , a mianowicie

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {tom} B (x, r) \ geq Cr ^ {d}}

gdzie B ( x , r ) oznacza kulę o promieniu r wokół punktu x w odległości riemannowskiej lub w odległości grafu . Ogólnie rzecz biorąc, sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa, tj. nawet jednostajnie wykładniczy wzrost objętości nie implikuje żadnego rodzaju nierówności izoperymetrycznej. Prosty przykład można uzyskać, biorąc graf Z (tj. wszystkie liczby całkowite o krawędziach między n a n + 1) i łącząc z wierzchołkiem n pełne drzewo binarne wysokości | n |. Obie właściwości (wzrost wykładniczy i wymiar izoperymetryczny 0) są łatwe do zweryfikowania.

Ciekawym wyjątkiem jest przypadek grup . Okazuje się, że grupa o wzroście wielomianowym rzędu d ma wymiar izoperymetryczny d . Dotyczy to zarówno przypadku grup Liego , jak i wykresu Cayleya skończenie generowanej grupy .

Twierdzenie Varopoulosa łączy wymiar izoperymetryczny wykresu z szybkością ucieczki losowego spaceru na wykresie. Wynik stwierdza

Twierdzenie Varopoulosa: Jeśli G jest wykresem spełniającym d-wymiarową nierówność izoperymetryczną, to

{\ Displaystyle p_ {n} (x, y) \ równoważnik Cn ^ {- d / 2}}

gdzie ${\ textstyle p_ {n} (x, y)}$ jest prawdopodobieństwem, że losowy spacer po G zaczynając od x będzie w y po n krokach, a C jest pewną stałą.

Bibliografia _ „Dyskretne nierówności izoperymetryczne” (PDF) . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )

Isaac Chavel, Isoperimetric Inequalities: Differential geometry and analityczny persepectives , Cambridge University Press, Cambridge, Wielka Brytania (2001), ISBN 0-521-80267-9

Omawia temat w kontekście rozmaitości, bez wzmianki o wykresach.

N. Cz. Varopoulos, Nierówności izoperymetryczne i łańcuchy Markowa , J. Funct. Analny. 63:2 (1985), 215-239.
Thierry Coulhon i Laurent Saloff-Coste, Isopérimétrie pour les groupes et les variétés , Rev. Mat. Iberoamericana 9:2 (1993), 293–314.

Niniejsza praca zawiera wynik, że w grupach wzrostu wielomianu wzrost objętości i nierówności izoperymetryczne są równoważne. Po francusku.

Fan Chung, Dyskretne nierówności izoperymetryczne . Surveys in Differential Geometry IX , International Press, (2004), 53–82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf .

Artykuł ten zawiera precyzyjną definicję wymiaru izoperymetrycznego wykresu i ustala wiele jego właściwości.

[1] Bibliografia _ „Dyskretne nierówności izoperymetryczne” (PDF) . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )