Hiperboliczna przestrzeń metryczna

W matematyce hiperboliczna przestrzeń metryczna to przestrzeń metryczna spełniająca pewne relacje metryczne (zależne ilościowo od nieujemnej liczby rzeczywistej δ) między punktami. Definicja, wprowadzona przez Michaiła Gromowa , uogólnia właściwości metryczne klasycznej geometrii hiperbolicznej i drzew . Hiperboliczność jest właściwością na dużą skalę i jest bardzo przydatna do badania pewnych nieskończonych grup zwanych grupami hiperbolicznymi Gromowa .

Definicje

W tym akapicie podajemy różne definicje $przestrzeni$ . Mówi $że przestrzeń metryczna jest ($$,$ ) hiperboliczna, jeśli jest hiperboliczna dla .

Definicja za pomocą produktu Gromov

Główny artykuł: produkt Gromov

Niech ${\ Displaystyle (X, d)}$ będzie przestrzenią metryczną . Iloczyn Gromowa dwóch punktów ${\ Displaystyle y, z \ in X}$$odniesieniu$ do trzeciego określony wzorem

${\ Displaystyle (y, z) _ {x} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (d (x, y) + d (x, z) -d (y, z) \ prawo). }$

Definicja hiperbolicznej przestrzeni metrycznej Gromowa jest zatem następująca: jest hiperboliczna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie $displaystyle$$z$$x, y$ spełniają warunek czteropunktowy

${\ Displaystyle (x, z) _ {w} \ geq \ min \ lewo ((x, y) _ {w},(y,z)_{w}\right)-\delta }$

$i jednego ustalonego punktu bazowego,$$\ displaystyle w_$ jeśli ten warunek jest spełniony dla wszystkich spełniony wszystkich $} \ displaystyle }$ ze stałą ${\ displaystyle 2 \ delta}$ . Zatem warunek hiperboliczności musi zostać zweryfikowany tylko dla jednego ustalonego punktu bazowego; z tego powodu indeks dolny punktu bazowego jest często usuwany z produktu Gromov.

Definicje za pomocą trójkątów

Zobacz też: Idealny trójkąt i Trójkąt hiperboliczny

Aż do zmiany o $wielokrotność$ , istnieje równoważna definicja geometryczna obejmująca trójkąty, gdy przestrzeń metryczna jest geodezyjna , tj. Dowolne dwa punkty $displaystyle$$x, y \ w X}$ są punktami końcowymi segmentu geodezyjnego ${\ Displaystyle [x, y]}$ (obraz izometryczny zwartego podprzedziału ${\ displaystyle [a, b]}$ liczb rzeczywistych). Należy zauważyć, że definicja za pomocą produktów Gromov nie wymaga, aby przestrzeń była geodezyjna.

Niech ${\ Displaystyle x, y, z \ w X}$ . Trójkąt geodezyjny z wierzchołkami $jest$$x, y ],[y,z],[z,x]}$ trzech segmentów geodezyjnych (gdzie ${\ Displaystyle [p, q]}$ oznacza odcinek z punktami końcowymi ${\ displaystyle p}$ i ${\ displaystyle q}$ ).

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle Z}$

${\ Displaystyle B _ {\ delta} ([x, y])}$

${\ Displaystyle B _ {\ delta} ([z, x])}$

${\ Displaystyle B _ {\ delta} ([y, z])}$

Warunek δ-szczupłego trójkąta

m ${\ Displaystyle m \ w [x, y]}$ istnieje punkt w $}$$\ Displaystyle [y, z] \ kubek [ z, x$$\ delta}$ w odległości mniejszej niż $\$ i podobnie dla punktów na innych krawędziach i $wtedy$ się o trójkącie Displaystyle być ${\ Displaystyle \ delta}$ - szczupły .

Definicja $zatem$$smukłe$ geodezyjną przestrzenią metryczną, której wszystkie trójkąty geodezyjne są . Ta definicja jest ogólnie przypisywana Eliyahu Ripsowi .

$krawędzi$ podać, używając pojęcia $przybliżonego środka trójkąta geodezyjnego: jest to punkt, który$ się najwyżej w odległości od dowolnej trójkąta („w przybliżeniu "wersja incenter " ). Przestrzeń jest $, jeśli$$-centrum$ trójkąt geodezyjny ma .

Te dwie definicje przestrzeni $,$$\ delta}$$displaystyle$ trójkątów geodezyjnych nie są dokładnie równoważne, ale istnieje taka że ​​​​przestrzeń hiperboliczna w pierwszy sens jest $w$ i odwrotnie Zatem pojęcie przestrzeni hiperbolicznej jest niezależne od wybranej definicji.

Przykłady

Płaszczyzna hiperboliczna jest hiperboliczna: w rzeczywistości okrąg trójkąta geodezyjnego jest kołem o największej średnicy zawartej w trójkącie, a każdy trójkąt geodezyjny leży we wnętrzu idealnego trójkąta, z których wszystkie są izometryczne z okręgami o średnicy 2 log 3. Należy zauważyć, że w tym przypadku iloczyn Gromowa ma również prostą interpretację w kategoriach okręgu wpisanego w trójkąt geodezyjny. W rzeczywistości wielkość ( A , B ) _C jest po prostu hiperboliczną odległością p od C do jednego z punktów styku okręgu z sąsiednimi bokami: bo z diagramu c = ( a – p ) + ( b – p ) , tak że p = ( a + b – c )/2 = ( A , B ) _C .

Płaszczyzna euklidesowa nie jest hiperboliczna, na przykład z powodu istnienia jednorodności .

Dwa „zdegenerowane” przykłady przestrzeni hiperbolicznych to przestrzenie o ograniczonej średnicy (na przykład przestrzenie skończone lub zwarte) oraz linia rzeczywista.

Drzewa metryczne i ogólnie drzewa rzeczywiste to najprostsze interesujące przykłady przestrzeni hiperbolicznych, ponieważ są one hiperboliczne 0 (tj. wszystkie trójkąty są trójnogami).

1-szkielet triangulacji przez euklidesowe trójkąty równoboczne nie jest hiperboliczny (w rzeczywistości jest quasi-izometryczny względem płaszczyzny euklidesowej). Triangulacja płaszczyzny $więcej$ hiperboliczny 1-szkielet, jeśli każdy wierzchołek ma stopień 7 lub

Dwuwymiarowa siatka nie jest hiperboliczna (jest quasi-izometryczna względem płaszczyzny euklidesowej). Jest to wykres Cayleya podstawowej grupy torusa ; wykresy Cayleya podstawowych grup powierzchni wyższego rodzaju są hiperboliczne (w rzeczywistości są quasi-izometryczne względem płaszczyzny hiperbolicznej).

Hiperboliczność i krzywizna

Płaszczyzna hiperboliczna (a bardziej $krzywizny$$wszelkie$ rozmaitości Hadamarda o przekroju ) Jeśli przeskalujemy metrykę riemannowską o współczynnik, to odległości pomnożymy przez $\ displaystyle \ lambda$$}$ i otrzymamy w ten sposób przestrzeń, która wynosi $cdot \delta}$ -hiperboliczny. Ponieważ krzywizna jest mnożona przez $ujemnie ) zakrzywiona$ przestrzeń, tym niższa stała

Podobnymi przykładami są przestrzenie CAT o ujemnej krzywiźnie. W odniesieniu do krzywizny i hiperboliczności należy jednak zauważyć, że podczas gdy krzywizna jest właściwością, która jest zasadniczo lokalna, hiperboliczność jest właściwością na dużą skalę, która nie widzi lokalnych (tj. zachodzących w ograniczonym obszarze) zjawisk metrycznych. Na przykład połączenie przestrzeni hiperbolicznej z przestrzenią zwartą z dowolną metryką rozszerzającą oryginalne pozostaje hiperboliczne.

Ważne właściwości

Niezmienność w warunkach quasi-izometrii

Jednym ze sposobów sprecyzowania znaczenia „dużej skali” jest wymaganie niezmienności w ramach quasi-izometrii . Dotyczy to hiperboliczności.

Jeśli geodezyjna przestrzeń metryczna jest quasi-izometryczna do $displaystyle Y}$$przestrzeni$ X $displaystyle$$X},$ to istnieje że $\ displaystyle X$${$ jest ${\ displaystyle \ delta '}$ -hiperboliczny.

Stała $zależy$ od $multiplikatywnych i$ dla quasi-izometrii

Przybliżone drzewa w przestrzeniach hiperbolicznych

Definicję przestrzeni hiperbolicznej w kategoriach iloczynu Gromowa można postrzegać jako mówiącą, że relacje metryczne między dowolnymi czterema punktami są takie same, jak w drzewie, aż do $stałej$ . Mówiąc bardziej ogólnie, następująca właściwość pokazuje, że każdy skończony podzbiór przestrzeni hiperbolicznej wygląda jak skończone drzewo.

Dla dowolnego $}$$delta$ istnieje stała taka, że ​​zachodzi następująca zasada: if $, x_ { n}}$$punktami$ w $Displaystyle$ przestrzeni $X}$ istnieje skończone drzewo i osadzenie ${\ Displaystyle f: T \ do X}$ takie, że ${\ Displaystyle x_ {i} \ in f (T)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots ,n}$ i

${\ Displaystyle \ forall ja, j: d (f ^ {- 1} (x_ {i}) ,f^{-1}(x_{j}))\równoważnik d(x_{i},x_{j})\równoważnik d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1 }(x_{j}))+C}$

Stałą można przyjąć jako $)}$$\ Displaystyle \ delta \ cdot h ($ z ${\ Displaystyle h (n) =O(\log n)}$ i jest to optymalne.

Wykładniczy wzrost odległości i nierówności izoperymetryczne

W przestrzeni hiperbolicznej mamy następującą właściwość: ${\ displaystyle X}$

Istnieją takie, że dla wszystkich ${\ Displaystyle p, x, y \ w X}$$> 0}$ z $p, y) =: r}$ każda ścieżka łączy się z $}$$\ alpha$${\ Displaystyle y}$ i pozostawanie w odległości co najmniej ${\ displaystyle r}$ z ${\ displaystyle p}$ ma długość co najmniej ${\ Displaystyle e ^ {\ mu \ cdot d (x,y)}-K}$ .

Nieformalnie oznacza to, że obwód „okręgu” o promieniu rośnie wykładniczo wraz z $}$$\ displaystyle r$ . Przypomina to problem izoperymetryczny na płaszczyźnie euklidesowej . Oto bardziej szczegółowe oświadczenie w tej sprawie.

Załóżmy, że jest kompleksem komórek o wymiarze $2$ takim, że jego 1-szkielet jest hiperboliczny i istnieje taki, że granica dowolnej 2-komórkowej zawiera co najwyżej do $}$$}$$displaystyle C$ 1-komórki. $Y$ istnieje stała $lambda > 0}$ że ​​dla dowolnego skończonego podzespołu mamy

${\ Displaystyle \ operatorname {obszar} (Y) \ równoważnik \ lambda \ cdot \ nazwa operatora {długość (\ częściowy Y)}}$

Tutaj obszar kompleksu 2 to liczba komórek 2, a długość kompleksu 1 to liczba komórek 1. Powyższe stwierdzenie jest liniową nierównością izoperymetryczną ; okazuje się, że posiadanie takiej nierówności izoperymetrycznej charakteryzuje przestrzenie hiperboliczne Gromowa. Liniowe nierówności izoperymetryczne zostały zainspirowane małymi warunkami anulowania z kombinatorycznej teorii grup .

Podprzestrzenie kwaziwypukłe

$x$ podprzestrzeń geodezyjnej przestrzeni metrycznej jest quasi $displaystyle$ wypukła, jeśli istnieje taka stała, $że$ ​​dowolna geodezja w $}$ między dwoma punktami ${\ displaystyle Y}$ pozostaje w odległości $displaystyle$ Y $Y}$ .

Podprzestrzeń quasi-wypukła przestrzeni hiperbolicznej jest hiperboliczna.

Stożki asymptotyczne

Wszystkie asymptotyczne stożki przestrzeni hiperbolicznej są drzewami rzeczywistymi . Ta właściwość charakteryzuje przestrzenie hiperboliczne.

Granica przestrzeni hiperbolicznej

Uogólniając konstrukcję końców drzewa symplicalnego, istnieje naturalne pojęcie granicy w nieskończoności dla przestrzeni hiperbolicznych, które okazało się bardzo przydatne do analizy działań grupowych.

W tym akapicie $geodezyjna$ przestrzeń metryczna, która jest hiperboliczna.

Definicja za pomocą produktu Gromov

że sekwencja ${\ Displaystyle (x_ {n}) \ in X ^ {\ mathbb {N}}} zbiega się$ do nieskończoności , jeśli dla jakiegoś (lub dowolnego) punktu ${\ displaystyle p}$ mamy to ${\ Displaystyle (x_ {n}, x_ {m}) _ {p} \ rightarrow \ infty}$ zarówno jako ${\ Displaystyle n},$ jak i ${\ Displaystyle m }$ idź do nieskończoności. Dwie sekwencje ${\ Displaystyle (x_ {n}), (y_ {n})}$ zbieżne do nieskończoności są uważane za równoważne, gdy ${ \ Displaystyle \ lim _ {n \ do + \ infty} (x_ {n}, y_ {n}) _ {p} = + \ infty} ($ dla niektórych lub dowolnych ${\ displaystyle p}$ ). Granica X ${\ displaystyle$ } gdzie jest zbiorem klas równoważności sekwencji, które zbiegają się do nieskończoności, co jest oznaczone ${\ Displaystyle \ częściowe X}$ .

Jeśli są dwoma punktami na granicy, to ich iloczyn Gromowa jest zdefiniowany jako: ${\ displaystyle \ xi, \ eta }$

${\ Displaystyle (\ xi, \ eta) _ {p}=\sup _{(x_{n})=\xi,(y_{n})=\eta}\left(\liminf _{n,m\to +\infty}(x_{n}, y_{m})_{p}\prawo)}$

co jest skończone iff ${\ Displaystyle \ xi \ neq \ eta}$ . $topologię$ można zdefiniować $_$ _ Ta topologia na $metryzowalna$ i istnieje wyróżniona rodzina metryk zdefiniowana przy użyciu produktu Gromov

Definicja przestrzeni właściwych za pomocą promieni

Niech będą dwoma quasi-izometrycznymi osadzeniami [ $[0, + \ infty [}$$Displaystyle$ w ${\ Displaystyle X}$ („promienie quasi-geodezyjne” α , β {\ ). Są one uważane za równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ${\ Displaystyle t \ mapsto d (\ alfa (t), \ beta (t))}$ jest ograniczony do ${\ Displaystyle [0, + \ infty [}$ . Jeśli przestrzeń $właściwa,$$to$ zbiór wszystkich takich osadzeń równoważnych modulo z jej naturalną topologią jest homeomorficzny powyżej

Podobną realizacją jest ustalenie punktu bazowego i uwzględnienie tylko promieni quasi-geodezyjnych pochodzących z tego punktu. W przypadku, gdy $geodezyjny$ i właściwy, można również ograniczyć się do prawdziwych promieni geodezyjnych.

Przykłady

Gdy jest $uproszczonym$ drzewem regularnym, granicą jest po prostu przestrzeń końców, która jest ${\ Displaystyle \ częściowe T$ punktu daje naturalną odległość na : dwa $\ beta}$ reprezentowane przez promienie $}$ pochodzące z x {\ displaystyle \ $} \displaystyle x}$ znajdują się w odległości ${\ Displaystyle \ exp (- \ operatorname {Długość} (\ alfa \ cap \ beta)}}$ .

Gdy dysk jednostkowy, tj. model dysku Poincarégo dla płaszczyzny hiperbolicznej, metryka hiperboliczna na dysku to X $\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = {4 | dz | ^ {2} \ ponad (1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}$

a granicę Gromowa można utożsamić z kołem jednostkowym.

Granica -wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej jest $-wymiarową sferą$ z $, a$ do powyższych.

Funkcje Busemanna

Jeśli jest właściwa $, to$$granica$ jest homeomorficzna z przestrzenią Busemanna na tłumaczeniach modulo.

Działanie izometrii na granicy i ich klasyfikacja

Quasi-izometria między dwiema przestrzeniami hiperbolicznymi $homeomorfizm$ między

W szczególności grupa izometrii działa na zasadzie homeomorfizmów na $\ parts X}$$displaystyle$ . To działanie można wykorzystać do klasyfikowania izometrii zgodnie z ich dynamicznym zachowaniem na granicy, uogólniając to dla drzew i klasycznych przestrzeni hiperbolicznych. Niech będzie izometrią , wtedy wystąpi jeden z następujących przypadków: $displaystyle g}$$\$

• $($ przypadek: $}$ ograniczoną orbitę na w przypadku, gdy $displaystyle$ właściwy, oznacza to, że ma stały punkt w $X} sol$${$$\ displaystyle X$ ). Wtedy nazywa się to eliptyczną .
• $przypadek$ : ma $orbitę$ dwa stałe punkty i $}$ sol ${\ Displaystyle \ {g ^ {n} \ xi: n \ geq 0 \}, \ xi \ not = \ xi _ {-}} gromadzi się tylko$ w ${\ Displaystyle \ xi _ {+}}$ . Następnie ${\ displaystyle g}$ nazywa się izometrią hiperboliczną .
• $Trzeci$ : ma dokładnie jeden stały punkt na granicy i wszystkie orbity gromadzą się w tym punkcie. Wtedy nazywa się to paraboliczną .

Więcej przykładów

Podzbiory teorii grup hiperbolicznych można wykorzystać do podania większej liczby przykładów przestrzeni hiperbolicznych, na przykład wykres Cayleya małej grupy anulowania . Wiadomo również, że grafy Cayleya niektórych modeli grup losowych (co w rzeczywistości jest losowo generowanym nieskończonym grafem regularnym) bardzo często mają tendencję do bycia hiperbolicznym.

Udowodnienie, że pewne przestrzenie są hiperboliczne, może być trudne i interesujące. Na przykład następujące wyniki hiperboliczności doprowadziły do ​​odkrycia nowych zjawisk dla grup, które na nie działają.

• Hiperboliczność kompleksu krzywych doprowadziła do nowych wyników w grupie klas mapowania.
• Podobnie hiperboliczność niektórych grafów związanych z zewnętrzną grupą automorfizmów Out(Fn) doprowadziła do nowych wyników w tej grupie.

Zobacz też

• Grupa zakrzywiona ujemnie
• Idealny trójkąt

Notatki

• Bowditch, Brian (2006), Kurs z geometrycznej teorii grup (PDF) , Mat. towarzyska Japonia
• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Przestrzenie metryczne o niedodatniej krzywiźnie , Springer
•   Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (po francusku), tom. 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
• de la Harpe, Pierre; Ghys, Etienne (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (po francusku), Birkhäuser
• Gromov, Mikhael (1987), „Grupy hiperboliczne”, w: Gersten, SM (red.), Eseje z teorii grup , Springer, s. 75–264
•   Roe, John (2003), Wykłady z grubej geometrii , seria wykładów uniwersyteckich, tom. 31, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3332-2
•   Väisälä, Jussi (2005), „Przestrzenie hiperboliczne Gromowa”, Expositiones Mathematicae , 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , MR 2164775 .