Out( F _n )

W matematyce Out( n _jest grupy F ) zewnętrzną grupą automorfizmu swobodnej na n generatorach . Grupy te odgrywają ważną rolę w geometrycznej teorii grup .

Przestrzeń kosmiczna

Out( F _n ) działa geometrycznie na kompleks komórek znany jako Culler – Vogtmann Outer space, który można traktować jako przestrzeń Teichmüllera dla bukietu kół .

Definicja

Punkt przestrzeni kosmicznej jest zasadniczo wykresem $X$ równoważnym bukietowi n okręgów wraz z pewnym wyborem swobodnej klasy homotopii równoważności homotopii od X do bukietu R {\ Displaystyle \ mathbb {R} } n kręgów. R ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ -wykres to tylko ważony wykres z wagami w $R}}$ . Suma wszystkich wag powinna wynosić 1, a wszystkie wagi powinny być dodatnie. Aby uniknąć niejednoznaczności (i uzyskać skończoną przestrzeń wymiarową), wymagane jest ponadto, aby wartościowość każdego wierzchołka wynosiła co najmniej 3.

Bardziej opisowy pogląd unikający równoważności homotopii f jest następujący. Możemy $swobodną$ identyfikację podstawowej grupy bukietu n okręgów z grupą w n zmiennych Ponadto możemy wybrać maksymalne drzewo w X i wybrać kierunek dla każdej pozostałej krawędzi. Teraz przypiszemy każdej pozostałej krawędzi e słowo w ${\ displaystyle F_ {n}}$ w następujący sposób. Rozważ zamkniętą ścieżkę zaczynającą się od e , a następnie wracającą do początku e w drzewie maksymalnym. Komponując tę ścieżkę za pomocą f otrzymujemy zamkniętą ścieżkę w bukiecie n okręgów, a zatem element w jej podstawowej grupie ${\ displaystyle F_ {n}}$ . Ten element nie jest dobrze zdefiniowany; jeśli zmienimy f przez swobodną homotopię, otrzymamy kolejny element. Okazuje się, że te dwa pierwiastki są ze sobą sprzężone, a zatem możemy wybrać unikalną cyklicznie zredukowaną element w tej klasie koniugacji. Na podstawie tych danych można zrekonstruować swobodny typ homotopii f . Ten pogląd ma tę zaletę, że unika dodatkowego wyboru f i ma tę wadę, że powstaje dodatkowa niejednoznaczność, ponieważ trzeba wybrać maksymalne drzewo i orientację pozostałych krawędzi.

Działanie Out( F _n ) w przestrzeni kosmicznej jest zdefiniowane następująco. Każdy automorfizm g z $indukuje$ równoważność własnej homotopii g bukietu okręgów . Komponowanie f z g′ daje pożądane działanie. A w drugim modelu jest to po prostu zastosowanie g i cykliczna redukcja wynikowego słowa.

Połączenie z funkcjami długości

Każdy punkt w przestrzeni kosmicznej określa unikalną funkcję długości ${\ displaystyle l_ {X} \ okrężnica F_ {n} \ do \ mathbb {R}}$ . Słowo w $homotopii$ ścieżkę w X . Długość słowa jest wtedy minimalną długością ścieżki w klasie swobodnej homotopii tej zamkniętej ścieżki. Taka funkcja długości jest stała w każdej klasie koniugacji. Zadanie ${\ Displaystyle X \ mapsto l_ {X}}$ definiuje osadzenie przestrzeni zewnętrznej w jakiejś nieskończenie wymiarowej przestrzeni rzutowej.

Uproszczona struktura w przestrzeni kosmicznej

W drugim modelu otwarty simpleks jest dawany przez wszystkie te -grafy, które mają kombinatorycznie ten sam graf $bazowy i te same krawędzie są oznaczone tymi samymi słowami (tylko$ krawędzi może różnić się). Uproszczenia brzegowe takiego simplexu składają się ze wszystkich grafów, które powstają z tego grafu przez załamanie krawędzi. Jeśli ta krawędź jest pętlą, nie można jej zwinąć bez zmiany typu homotopii grafu. Stąd nie ma simpleksu granicznego. Można więc myśleć o przestrzeni kosmicznej jako o uproszczonym kompleksie z usuniętymi pewnymi uproszczeniami. Łatwo sprawdzić, że działanie ${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (F_ {n})}$ jest uproszczony i ma skończone grupy izotropii.

Struktura

Mapa abelianizacji indukuje $fa n )$ z $}$ \ operatorname $F_ {$ n } do $czym$ liniowej ta ostatnia Z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ . Ta mapa jest na, dzięki czemu rozszerzenie grupy jest ${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (F_ {n})$ }

{\ Displaystyle 1 \ do \ operatorname {Tor} (F_ {n}) \ do \ operatorname {Out } (F_{n})\do \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z})\do 1}

.

Jądrem $fa$ z $}$ displaystyle { .

n ${\ Displaystyle n = 2}$ $n}) \ do \ operatorname { GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ( jest izomorfizmem .

Analogia z mapowaniem grup klas

Ponieważ jest podstawową grupą $}$ n fa okręgów , można $opisać$ n grupa klas odwzorowania bukietu n okręgów (w kategorii homotopii ), analogicznie do grupy klas odwzorowania powierzchni zamkniętej która jest izomorficzna z zewnętrzną grupą automorfizmów podstawowej grupy tej powierzchni.

Zobacz też

Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). „Moduły grafów i automorfizmy wolnych grup” (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. doi : 10.1007/BF01388734 . MR 0830040 .
Vogtmann, Karen (2002). „Automorfizmy wolnych grup i przestrzeni kosmicznej” (PDF) . Geometria dedykowana . 94 : 1–31. doi : 10.1023/A:1020973910646 . MR 1950871 .
Vogtmann, Karen (2008), „Co to jest… przestrzeń kosmiczna?” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 55 (7): 784–786, MR 2436509

Out( F n )