Grupa automorfizmów grupy swobodnej
W matematycznej teorii grup grupa automorfizmów grupy wolnej jest dyskretną grupą automorfizmów grupy swobodnej . Iloraz automorfizmów wewnętrznych jest zewnętrzną grupą automorfizmów wolnej grupy , która jest pod pewnymi względami podobna do grupy klas odwzorowania powierzchni .
Prezentacja
Jakob Nielsen ( 1924 ) wykazał, że automorfizmy zdefiniowane przez elementarne transformacje Nielsena generują pełną grupę automorfizmów skończenie generowanej grupy swobodnej. Nielsen, a później Bernhard Neumann wykorzystali te idee do przedstawienia skończonych prezentacji grup automorfizmów wolnych grup. Jest to również opisane w ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , s. 131, Th 3.2).
Grupa automorfizmów grupy swobodnej z uporządkowaną bazą [ x 1 , …, x n ] jest generowana przez następujące 4 elementarne transformacje Nielsena :
- Przełącz x 1 i x 2
- Cyklicznie permutuj x 1 , x 2 , …, x n , do x 2 , …, x n , x 1 .
- Zamień x 1 na x 1-1 _
- Zamień x 1 na x 1 · x 2
Transformacje te są odpowiednikami elementarnych operacji na wierszach . Transformacje dwóch pierwszych rodzajów są analogiczne do zamiany wierszy i cyklicznych permutacji wierszy. Transformacje trzeciego rodzaju odpowiadają skalowaniu wiersza przez odwracalny skalar. Transformacje czwartego rodzaju odpowiadają dodawaniu wierszy.
Transformacje pierwszych dwóch typów wystarczają do permutacji generatorów w dowolnej kolejności, więc trzeci typ można zastosować do dowolnego generatora, a czwarty typ do dowolnej pary generatorów.
Nielsen przedstawił dość skomplikowaną skończoną prezentację przy użyciu tych generatorów, opisanych w ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , s. 165, sekcja 3.5).
Zobacz też
- Magnus, Wilhelm ; Karras, Abraham; Solitar, Donald (2004), kombinatoryczna teoria grup , Nowy Jork: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43830-6 , MR 0207802
- Nielsen, Jakob (1921), „Om rening med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien”, Math. Tidsskrift B (w języku duńskim), 1921 : 78–94, JFM 48.0123.03
- Nielsen, Jakob (1924), „Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen”. , Mathematische Annalen (w języku niemieckim), 91 : 169–209, doi : 10.1007/BF01556078 , JFM 50.0078.04 [ stały martwy link ]
- Vogtmann, Karen (2002), „Automorfizmy wolnych grup i przestrzeni kosmicznej” (PDF) , Proceedings of the Conference on Geometric and Combinatore Group Theory, Part I (Haifa, 2000), Geometriae Dedicata , 94 : 1–31, doi : 10.1023/A:1020973910646 , ISSN 0046-5755 , MR 1950871