Grupa klas odwzorowania powierzchni

W matematyce, a dokładniej w topologii , grupa klas odwzorowania powierzchni , czasami nazywana grupą modułową lub grupą modułową Teichmüllera , jest grupą homeomorfizmów powierzchni widzianej aż do ciągłej (w topologii zwarto-otwartej ) deformacji . Ma to fundamentalne znaczenie dla badania 3-rozmaitości poprzez ich osadzone powierzchnie, a także jest badane w geometrii algebraicznej w odniesieniu do problemów modułów dla krzywych.

klas odwzorowania można zdefiniować dla dowolnych rozmaitości (w rzeczywistości dla dowolnych przestrzeni topologicznych), ale ustawienie dwuwymiarowe jest najczęściej badane w teorii grup .

Grupa klas mapowania powierzchni jest powiązana z różnymi innymi grupami, w szczególności grupami warkoczowymi i zewnętrznymi grupami automorfizmów .

Historia

Grupa klas mapowania pojawiła się w pierwszej połowie XX wieku. Jego początki leżą w badaniu topologii powierzchni hiperbolicznych, a zwłaszcza w badaniu przecięć krzywych zamkniętych na tych powierzchniach. Najwcześniejszymi współautorami byli Max Dehn i Jakob Nielsen : Dehn udowodnił skończoną generację grupy, a Nielsen podał klasyfikację klas mapowania i udowodnił, że wszystkie automorfizmy podstawowej grupy powierzchni mogą być reprezentowane przez homeomorfizmy (Dehn – Nielsen – Baer twierdzenie).

Teoria Dehna-Nielsena została ponownie zinterpretowana w połowie lat siedemdziesiątych przez Thurstona , który nadał temu tematowi bardziej geometryczny posmak i wykorzystał tę pracę z wielkim skutkiem w swoim programie badania trzech rozmaitości.

Niedawno grupa klas mapowania była sama w sobie centralnym tematem geometrycznej teorii grup , gdzie stanowi poligon doświadczalny dla różnych przypuszczeń i technik.

Definicja i przykłady

Grupa klas mapowania powierzchni orientowalnych

Niech $będzie$ połączoną , zamkniętą , orientowalną $S {\$ i grupą displaystyle ${\ displaystyle S}$ . Ta grupa ma naturalną topologię, topologię zwarto-otwartą. Można to łatwo zdefiniować za pomocą funkcji odległości: jeśli otrzymamy metrykę na ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle S}$ indukując jego topologię, a następnie funkcję zdefiniowaną przez

${\ Displaystyle \ delta (f, g) = \ sup _ {x \ w S} \ lewo (d (f) (x),g(x)\prawo)}$

jest odległością indukującą topologię zwarto-otwartą na ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} ^ {+} (S)}$ . Połączony składnik tożsamości dla tej topologii jest oznaczony ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} _ {0} (S)}$ . Z definicji jest równy homeomorfizmom, $tożsamością$ . Jest to normalna podgrupa grupy pozytywnych homeomorfizmów i grupa klas odwzorowania ${\ displaystyle S}$ to grupa

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Mod} (S) = \ nazwa operatora {Homeo} ^ {+} (S) / \ nazwa operatora {Homeo} _ { 0}(S)}$ .

To jest policzalna grupa.

Jeśli zmodyfikujemy definicję tak, aby obejmowała wszystkie homeomorfizmy, otrzymamy rozszerzoną grupę klas mapowania ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} ^ {\ pm} (S)}$ , która zawiera grupę klas mapowania jako podgrupę indeks 2.

Definicję tę można również sformułować w kategorii różniczkowalnej: jeśli zastąpimy wszystkie przypadki „homeomorfizmu” powyżej „dyfeomorfizmem ” , otrzymamy tę samą grupę, czyli inkluzję ${\ displaystyle \operatorname {Różnica} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ indukuje izomorfizm między ilorazami przez ich odpowiednie składowe identyczności.

Grupy klas odwzorowania kuli i torusa

Załóżmy, że jest sferą jednostkową w $R} ^ {3}}$$displaystyle \ mathbb$ . Wtedy $\ displaystyle$ homeomorfizm jest izotopowy albo z tożsamością, albo z ograniczeniem $symetrii$ płaszczyźnie $S}$ . Ta ostatnia nie zachowuje orientacji i widzimy, że grupa klas mapowania kuli jest trywialna, a jej rozszerzona grupa klas mapowania to ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ , cykliczna grupa rzędu 2.

Grupa $_$ torusa _ identyfikowany z grupą modułową ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ . Łatwo jest skonstruować morfizm ${\ Displaystyle \ Phi: \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ do \ operatorname {Mod} (\ mathbb {T} ^ {2})}:$ co ${\ Displaystyle A \ in \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ indukuje dyfeomorfizm ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$ przez ${\ Displaystyle x + \ mathbb {Z} ^ {2} \ mapsto Ax + \ mathbb {Z} ^ {2}}$ . Działanie dyfeomorfizmów na pierwszą $lewostronną$ homologii daje morfizmowi Π $Pi$$\ displaystyle \$ (dowodząc w w $są$ można sprawdzić, czy $tak$ że odwrotnymi izomorfizmami między ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (\ mathbb {T} ^ {2})}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ . W ten sam sposób rozszerzona grupa klas mapowania to T $\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {2} (\ mathbb {Z } )}$ .

Mapowanie grupy klas powierzchni z granicą i przebiciami

$precyzyjna$ przypadku, gdy jest to zwarta powierzchnia niepustą granicą $,$ wówczas definicja grupy klas odwzorowania musi być bardziej Grupa ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} ^ {+} (S, \ częściowe S)}$ homeomorfizmów względem granicy jest podgrupą ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} ^ {+} (S)}$ , które ograniczają się do tożsamości na granicy i podgrupy ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} _ {0} (S ,\częściowe S)}$ jest połączonym składnikiem tożsamości. Grupa klas odwzorowania jest następnie definiowana jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Mod} (S) = \ nazwa operatora {Homeo} ^ {+} (S, \ częściowe S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\częściowe S)}$ .

Powierzchnia z przebiciami to zwarta powierzchnia, z której usunięto skończoną liczbę punktów („przebicia”). Grupa klas mapowania takiej powierzchni jest zdefiniowana jak powyżej (należy zauważyć, że klasy mapowania mogą permutować przebicia, ale nie elementy brzegowe).

Grupa klas mapowania pierścienia

Każdy pierścień jest homeomorficzny z podzbiorem ${\ Displaystyle A_ {0} = \ {1 \ równoważnik | z | \ równoważnik 2 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ do . Dyfeomorfizm można zdefiniować za pomocą następującego wzoru: ${\ displaystyle \ tau _ {0}}$

${\ Displaystyle \ tau _ {0} (z) = e ^ {2i \ pi | z|} z}$

która jest tożsamością na obu składowych brzegowych ${\ Displaystyle \ {| z | = 1 \}, \ {| z | = 2 \}}$ . Grupa klas mapowania $jest$ następnie generowana przez klasę ${\ displaystyle \ tau _ {0}$ .

Grupy warkoczy i grupy klas mapowania

Główny artykuł: grupy warkoczy

Grupy warkoczy można zdefiniować jako grupy klas mapowania dysku z przebiciami. Dokładniej, grupa warkoczy na n pasmach jest naturalnie izomorficzna z grupą klas mapowania dysku z n przebiciami.

Twierdzenie Dehna – Nielsena – Baera

Jeśli jest domknięty i jest homeomorfizmem $,$${\ displaystyle S}$$to$ możemy zdefiniować automorfizm grupy podstawowej $(S, x_ {0})} w$$\ displaystyle f_ {*}$$następujący$ pi _ $i$ sposób: napraw ścieżkę między $Displaystyle f (x_ {0})}$${\ Displaystyle [\ alfa] \ in \ pi _ {1} (S, x_ {0})}$ i dla pętli opartej na $x_ {0}}$$Displaystyle$ reprezentującej element zdefiniuj ${\ Displaystyle f_ {*} ([\ alfa])}$ jako element grupy podstawowej związanej z pętlą ${\ Displaystyle {\ bar {\ gamma}} * f (\ alfa) * \ gamma}$ . Ten automorfizm zależy $.$ wyboru , ale tylko do koniugacji W ten sposób otrzymujemy dobrze zdefiniowaną mapę od ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} (S)}$ do zewnętrznej grupy automorfizmów ${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (\ pi _ {1} (S, x_ {0}))}$ . Ta mapa jest morfizmem, a jej jądro to dokładnie podgrupa ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} _ {0} (S)}$ . Twierdzenie Dehna – Nielsena – Baera stwierdza, że ​​jest ono dodatkowo suriekcyjne. W szczególności oznacza to, że:

Rozszerzona $_ Out} (\pi _ {1}(S))}$$.$ jest .

Obraz grupy klas odwzorowania jest podgrupą o indeksie 2 zewnętrznej grupy automorfizmu, którą można scharakteryzować poprzez jej działanie na homologię.

Wniosek z twierdzenia nie obowiązuje, gdy $niepustą$ granicę (z wyjątkiem skończonej liczby przypadków). W tym przypadku podstawową grupą jest grupa wolna, a zewnętrzna grupa automorfizmu Out(Fn) jest ściśle większa niż obraz grupy klas odwzorowania poprzez morfizm zdefiniowany w poprzednim akapicie. Obrazem są właśnie te zewnętrzne automorfizmy, które zachowują każdą klasę koniugacji w grupie podstawowej odpowiadającej składnikowi brzegowemu.

Dokładna sekwencja Birmańska

Jest to dokładna sekwencja odnosząca się do grupy klas mapowania powierzchni o tym samym rodzaju i granicy, ale o różnej liczbie przebić. Jest to podstawowe narzędzie pozwalające na wykorzystanie argumentów rekurencyjnych w badaniu mapowania grup klas. Zostało to udowodnione przez Joan Birman w 1969 roku. Dokładne stwierdzenie jest następujące.

Niech będzie zwartą powierzchnią i $x \ in S$$displaystyle$ . Istnieje dokładna sekwencja

${\ Displaystyle 1 \ do \ pi _ {1} (S, x) \ to \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})\to \operatorname {Mod} (S)\to 1}$ .

$S}$ przypadku, gdy mapowania zostać zastąpiona przez $displaystyle$ podgrupa klas mapowania o skończonym indeksie ustalająca ${\ displaystyle x}$ .

Elementy grupy klas mapowania

Skręty Dehna

Główny artykuł: zwrot Dehna

Jeśli jest zorientowaną prostą zamkniętą krzywą na $i$$}$ się zamknięte cylindryczne sąsiedztwo, $to$ istnieje homeomorfizm $displaystyle$$A$${$ do kanonicznego pierścienia $zegara$$wskazówek$ , wysyłając do koła o orientacji przeciwnej do ruchu . Służy do zdefiniowania homeomorfizmu ${\ displaystyle \ tau _ {c}}$ z ${\ displaystyle S}$ w następujący sposób: na ${\ displaystyle S \ setminus A}$ jest to tożsamość, a na ${\ displaystyle A}$ jest równa ${\ Displaystyle f ^ {- 1} \ circ \ tau _ {0} \ circ f}$ . Klasa ${\ Displaystyle \ tau _ {c}}$ w grupie klas mapowania ${\ displaystyle \ operatorname {Mod} (S)}$ nie zależy od wyboru $dokonanego$ powyżej, a wynikowy element nazywa się skrętem Dehna $displaystyle c}$ do { . Jeśli $homotopijny,$ ta klasa odwzorowania jest nietrywialna, a bardziej ogólnie zwroty akcji Dehna zdefiniowane przez dwie niehomotopijne krzywe są odrębnymi elementami w grupie klas odwzorowania.

W grupie klas odwzorowania torusa $identyfikowanego$ Dehna Na przykład macierz

${\ Displaystyle {\ początek {pmatrix} 1 i 1 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$

odpowiada skrętowi Dehna wokół poziomej krzywej w torusie.

Klasyfikacja Nielsena-Thurstona

Główny artykuł: klasyfikacja Nielsena – Thurstona

Istnieje klasyfikacja klas mapowania na powierzchni, pierwotnie stworzona przez Nielsena i ponownie odkryta przez Thurstona, którą można określić w następujący sposób. Element jest albo: ${\ Displaystyle g \ in \ operatorname {Mod} (S)}$

• skończonego rzędu (tj. istnieje takie, że $displaystyle g ^ {n}}$$\$ jest tożsamością), n > {\ displaystyle n>
• redukowalny: istnieje zbiór rozłącznych zamkniętych krzywych na ${\ displaystyle S}$ , który jest zachowywany przez działanie ${\ displaystyle g}$ ;
• lub pseudo-Anosow.

Główną treścią twierdzenia jest to, że klasa odwzorowania, która nie jest ani skończonego porządku, ani redukowalna, musi być pseudo-Anosovem, który można jawnie zdefiniować za pomocą właściwości dynamicznych.

Dyfeomorfizmy pseudo-Anosowa

Główny artykuł: mapa Pseudo-Anosowa

Badanie dyfeomorfizmów pseudo-Anosowa powierzchni ma fundamentalne znaczenie. Są to najciekawsze dyfeomorfizmy, ponieważ klasy mapowania skończonego rzędu są izotopowe z izometriami, a zatem dobrze rozumiane, a badanie klas redukowalnych rzeczywiście zasadniczo sprowadza się do badania klas mapowania na mniejszych powierzchniach, które same mogą być skończonego rzędu lub pseudo- Anosow.

Klasy mapowania Pseudo-Anosov są „ogólne” w grupie klas mapowania na różne sposoby. Na przykład błądzenie losowe po grupie klas mapowania zakończy się na elemencie pseudo-Anosowa z prawdopodobieństwem dążącym do 1 w miarę wzrostu liczby kroków.

Akcje grupy klas mapowania

Działanie w przestrzeni Teichmüllera

$}$$przebitą$ powierzchnię (zwykle bez granic), Teichmüllera jest przestrzenią zaznaczonych złożonych (równoważnie, konforemnych lub całkowicie hiperbolicznych) struktur na $S}$$S$ . $,$$one$ pary Riemanna i _ _ $odpowiednia$ relacja równoważności. Istnieje oczywiste działanie grupy ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} ^ {+}$$($ pary, które sprowadza się do działania w przestrzeni Teichmüllera.

To działanie ma wiele interesujących właściwości; na przykład jest właściwie nieciągły (choć nie wolny ). Jest kompatybilny z różnymi strukturami geometrycznymi (metrycznymi lub złożonymi), w które można wyposażyć ${\ Displaystyle T (S)} .$ W szczególności metrykę Teichmüllera można wykorzystać do ustalenia niektórych wielkoskalowych właściwości grupy klas mapowania, na przykład maksymalne quasi-izometrycznie osadzone mieszkania w ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (S)}$ są wymiarowe ${\ Displaystyle 3g-3 + k}$ .

Akcja rozciąga się na granicę Thurstona przestrzeni Teichmüllera, a klasyfikację klas mapowania Nielsena-Thurstona można zobaczyć we właściwościach dynamicznych akcji na przestrzeni Teichmüllera wraz z jej granicą Thurstona. Mianowicie:

• $($ konkretniej oznacza to, że każda klasa odwzorowania skończonego porządku w jako izometria dla jakiejś hiperbolicznej metryki na ${\ Displaystyle S}$ );
• Klasy Pseudo-Anosowa ustalają dwa punkty na granicy odpowiadające ich stabilnej i niestabilnej foliacji, a działanie na granicy jest minimalne (ma gęstą orbitę);
• Klasy redukowalne nie działają minimalnie na granicy.

Działanie na kompleksie krzywych

Zespół krzywych powierzchni to zespół, którego wierzchołki są klasami izotopów prostych krzywych zamkniętych na $S}$$displaystyle$ . Działanie grup klas mapowania $.$ przenosi się Działanie nie jest odpowiednio nieciągłe (stabilizatorem prostej krzywej zamkniętej jest grupa nieskończona).

To działanie, wraz z właściwościami kombinatorycznymi i geometrycznymi kompleksu krzywych, może być użyte do udowodnienia różnych właściwości grupy klas odwzorowania. W szczególności wyjaśnia niektóre właściwości hiperboliczne grupy klas odwzorowania: chociaż jak wspomniano w poprzedniej sekcji, grupa klas odwzorowania nie jest grupą hiperboliczną, ale ma pewne właściwości przypominające te.

Inne kompleksy z mapowaniem klas akcji grupowej

Kompleks spodni

Kompleks spodni $)$ zwartej powierzchni $to$ kompleks, którego wierzchołkami są rozkłady spodni ( klasy izotopów maksymalnych układów rozłącznych prostych krzywych zamkniętych Działanie ${\ displaystyle \ operatorname {Mod} (S)}$ rozciąga się na działanie na tym kompleksie. Ten kompleks jest quasi-izometryczny w stosunku do przestrzeni Teichmüllera wyposażonej w metrykę Weila – Peterssona .

Kompleks oznaczeń

Stabilizatory działania grupy klas mapujących na kompleksy krzywej i spodni są dość duże. Kompleks oznaczeń to kompleks, którego wierzchołki są $(S) }$ ) { \ ${$ . Jest to (w przeciwieństwie do kompleksu krzywej lub spodni) lokalnie skończony kompleks, który jest quasi-izometryczny w stosunku do grupy klas odwzorowania.

Oznaczenie jest określane przez rozkład spodni i $ldots ,$ poprzecznych $alfa _ {\ xi$ tak, że każdy z ${\ displaystyle \ beta _ {i}}$ przecina co najwyżej jeden z ${\ displaystyle \ alfa _{i}}$$są$ w następujący sposób: jeśli podpowierzchni homeomorficznej do torus, to przecinają się raz, a jeśli powierzchnia jest kulą z czterema otworami, przecinają się dwukrotnie). Dwa różne oznaczenia są połączone krawędzią, jeśli różnią się „elementarnym ruchem”, a pełny kompleks uzyskuje się przez dodanie wszystkich możliwych uproszczeń o wyższych wymiarach.

Generatory i relacje do mapowania grup klas

Twierdzenie Dehna-Lickorisha

Grupa klas odwzorowania jest generowana przez podzbiór skrętów Dehna wokół wszystkich prostych krzywych zamkniętych na powierzchni. Twierdzenie Dehna – Lickorisha mówi, że wystarczy wybrać skończoną ich liczbę, aby wygenerować grupę klas odwzorowania. To uogólnia fakt, że jest generowany przez macierze ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

$_$ _

W szczególności grupa klas odwzorowania powierzchni jest grupą generowaną w sposób skończony .

Najmniejsza liczba skrętów Dehna, które mogą wygenerować grupę klas mapowania zamkniętej powierzchni rodzaju, $\$$geq 2 }$ { ; zostało to później udowodnione przez Humphriesa.

Skończona prezentowalność

Można udowodnić, że wszystkie relacje między skrętami Dehna w zespole generującym dla grupy klas odwzorowania można zapisać jako kombinacje skończonej liczby między nimi. Oznacza to, że grupa klas odwzorowania powierzchni jest grupą skończoną .

Jednym ze sposobów udowodnienia tego twierdzenia jest wydedukowanie go z właściwości działania grupy klas mapowania na kompleks spodni: stabilizator wierzchołka jest przedstawiony jako skończony, a działanie jest zbieżne. Ponieważ kompleks jest spójny i po prostu spójny, wynika z tego, że grupa klas odwzorowania musi być generowana w sposób skończony. Istnieją inne sposoby uzyskiwania skończonych prezentacji, ale w praktyce jedynym, który daje wyraźne relacje dla wszystkich genów, jest opisany w tym akapicie z nieco innym zespołem zamiast zespołu krzywej, zwanym zespołem układu cięć .

Przykładem relacji między skrętami Dehna występującymi w tej prezentacji jest relacja latarni .

Inne układy generatorów

Oprócz zwrotów Dehna istnieją inne interesujące systemy generatorów dla grupy klas mapowania. Na przykład ${\ displaystyle \ operatorname {Mod} (S)}$ może być generowany przez dwa elementy lub przez inwolucje.

Kohomologia grupy klas mapowania

Jeśli $jest$ powierzchnią rodzaju $przebiciami$ elementami granicznymi i $\ nazwa operatora {Mod} (S)}$$Displaystyle$$wirtualny$ wymiar Mod ⁡ jest równa ${\ Displaystyle 4g-4 + b + k}$ .

Pierwsza homologia grupy klas odwzorowania jest skończona i wynika z tego, że pierwsza grupa kohomologii również jest skończona.

Podgrupy grup klas odwzorowania

Podgrupa Torelli

Ponieważ pojedyncza homologia jest funkcjonalna $H_ {1} (S) }$ grupa klas mapowania $S )$ na pierwszej grupie homologii. . Jest to swobodna grupa abelowa rangi, $jest$ zamknięta z rodzaju $displaystyle g$$\$ . To działanie daje zatem reprezentację liniową ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Mod} (S) \ do \ nazwa operatora {GL} _ {2g} (\ mathbb {Z})}$ .

$Ta$ mapa obrazem równym punktom Wynika to z faktu, że liczba przecięć krzywych zamkniętych indukuje postać symplektyczną na pierwszej homologii, która jest zachowywana przez działanie grupy klas odwzorowania. Surjektywność jest udowodniona przez pokazanie, że obrazy skrętów Dehna generują ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Sp} _ {2g} (\ mathbb {Z})}$ .

Jądro morfizmu nazywa się ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Mod} (S) \ do \ nazwa operatora {Sp} _ {2g} (\ mathbb {Z})}$ grupa Torelli z ${\ displaystyle S}$ . Jest to podgrupa skończenie generowana, wolna od skręcania, a jej badanie ma fundamentalne znaczenie dla jej wpływu zarówno na strukturę samej grupy klas odwzorowania (ponieważ grupa arytmetyczna ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} _ {2g} (\ mathbb {Z})}$ jest stosunkowo bardzo dobrze poznany, wiele faktów na temat ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (S)}$ sprowadza się do stwierdzenia o swojej podgrupie Torelli) i zastosowaniach do topologii trójwymiarowej i geometrii algebraicznej.

Resztkowa skończoność i podgrupy o skończonym indeksie

Przykładem zastosowania podgrupy Torelli jest następujący wynik:

Grupa klas odwzorowania jest rezydualnie skończona .

$użyciu$ skończoności grupy liniowej elementu Torelli grupa, konstruując za pomocą środków geometrycznych podgrupy o skończonym indeksie, które go nie zawierają.

Interesującą klasę podgrup o skończonym indeksie dają jądra morfizmów:

${\ Displaystyle \ Phi _ {n}: \ nazwa operatora {Mod} (S) \ do \ nazwa operatora { Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

Jądro ${\ Displaystyle \ Phi _ {n}}$ jest zwykle nazywane podgrupą kongruencji Mod ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (S)$ . Jest to grupa wolna od skręcania dla wszystkich $skręcania$ wynika to łatwo z klasycznego wyniku Minkowskiego dotyczącego grup liniowych i faktu, że grupa Torelli jest wolna od

Skończone podgrupy

$tylko$ wiele klas grup skończonych, co wynika z faktu, że podgrupa o skończonym indeksie skręcania, ponieważ omówione w poprzednim akapicie. Co więcej, oznacza to również, że każda skończona podgrupa z ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (S)}$ jest podgrupą skończonej grupy ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Mod} (S) / \ ker (\ Phi _ {3}) \ cong \ nazwa operatora {Sp} _ {2g} (\ mathbb {Z } /3)}$ .

Granicę rzędu skończonych podgrup można również uzyskać za pomocą środków geometrycznych. Rozwiązanie problemu realizacji Nielsena implikuje, że każda taka grupa jest realizowana jako grupa izometrii powierzchni hiperbolicznej rodzaju sol $\ displaystyle g}$ . Granica Hurwitza implikuje zatem, że maksymalny rząd jest równy ${\ Displaystyle 84 (g-1)}$ .

Ogólne fakty dotyczące podgrup

Grupy klas odwzorowania spełniają alternatywę cycków : to znaczy każda jej podgrupa albo zawiera nieabelową wolną podgrupę, albo jest praktycznie rozwiązywalna (w rzeczywistości abelowa).

Każda podgrupa, która nie jest redukowalna (to znaczy nie zachowuje zbioru klas izotopów rozłącznych prostych krzywych zamkniętych) musi zawierać element pseudo-Anosowa.

Reprezentacje liniowe

Otwartą kwestią pozostaje , czy grupa klas odwzorowania jest grupą liniową, czy nie. Oprócz wyjaśnionej powyżej symplektycznej reprezentacji na homologii istnieją inne interesujące skończenie wymiarowe reprezentacje liniowe wynikające z topologicznej kwantowej teorii pola . Obrazy tych reprezentacji są zawarte w grupach arytmetycznych, które nie są symplektyczne, co pozwala skonstruować znacznie więcej skończonych ilorazów ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (S)}$ .

W drugim kierunku istnieje dolna granica wymiaru (domniemanego) wiernego przedstawienia, która musi wynosić co najmniej ${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {g-1}}}$ .

Źródła

•   Birmański, Joan (1969). „Mapowanie grup klas i ich związek z grupami plecionek”. Kom. czysta aplikacja matematyka _ 22 (2): 213–238. doi : 10.1002/cpa.3160220206 . MR 0243519 .
• Birmańska, Joan S. (1974). Warkocze, linki i mapowanie grup klas . Roczniki Studiów Matematycznych . Tom. 82. Princeton University Press.
•   Brendle, Tara E .; Farb, Benson (2004). „Każda grupa klas mapowania jest generowana przez 3 elementy skrętne i 6 inwolucji”. J. Algebra . 278 . arXiv : matematyka/0307039 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.02.019 . S2CID 14784932 .
•   Brock Jeff (2002). „Rozkłady spodni i metryka Weila – Peterssona”. Rozmaitości złożone i geometria hiperboliczna . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. MR 1940162 .
• Dehn, Max (1938). „Die Gruppe der Abbildungsklassen: Das arithmetische Feld auf Flächen” . Acta Matematyka. (po niemiecku). 69 : 135–206. doi : 10.1007/bf02547712 , przetłumaczone w Dehn 1987 .
•   Dehn, Max (1987). Artykuły z teorii grup i topologii . przetłumaczone i wprowadzone przez Johna Stillwella. Springer-Verlag. ISBN 978-038796416-4 .
•   Eskin, Alex; Mazur, Howard; Rafi, Kasra (2017). „Wielkoskalowa ranga przestrzeni Teichmüllera”. Dziennik matematyczny Duke'a . 166 (8). ar Xiv : 1307.3733 . doi : 10.1215/00127094-0000006X . S2CID 15393033 .
•   Farb, Benson; Lubocki, Aleksander; Minsky, Yair (2001). „Zjawiska rangi 1 do mapowania grup klas”. Duke Matematyka. J. _ 106 (3): 581–597. doi : 10.1215/s0012-7094-01-10636-4 . MR 1813237 .
• Farb Benson ; Margalit, Dan (2012). Elementarz dotyczący mapowania grup klas . prasa Uniwersytetu Princeton.
•   Fathi, Albert; Laudenbach, François; Poénaru, Valentin (2012). Prace Thurstona na powierzchniach . Notatki matematyczne. Tom. 48. przetłumaczone z francuskiego oryginału z 1979 r. przez Djun M. Kim i Dan Margalit. Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. s. XVI + 254. ISBN 978-0-691-14735-2 .
• Hatcher, Allen ; Thurston, William (1980). „Prezentacja dla grupy klas mapowania zamkniętej orientowalnej powierzchni” . Topologia . 19 (3): 221–237. doi : 10.1016/0040-9383(80)90009-9 .
• Iwanow, Mikołaj (1992). Podgrupy grup modułowych Teichmüllera . matematyka amerykańska. soc.
•    Masbaum, Gregor; Reid, Alan W. (2012). „Wszystkie grupy skończone są zaangażowane w grupę klas mapowania”. Geom. topola . 16 (3): 1393–1411. arXiv : 1106.4261 . doi : 10.2140/gt.2012.16.1393 . MR 2967055 . S2CID 17330187 .
•    Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (1999). „Geometria zespołu krzywych. I. Hiperboliczność”. Wynaleźć. matematyka _ 138 : 103–149. arXiv : matematyka/9804098 . Bibcode : 1999InMat.138..103M . doi : 10.1007/s002220050343 . MR 1714338 . S2CID 16199015 .
•   Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (2000). „Geometria zespołu krzywych II: Struktura hierarchiczna”. Geom. Funkcja Analny . 10 (4): 902–974. arXiv : matematyka/9807150 . doi : 10.1007/pl00001643 . S2CID 14834205 .
•    Putman, Andy (2010). „Uwaga na temat abelianizacji podgrup o skończonym indeksie grupy klas mapowania” . proc. Amer. Matematyka soc . 138 (2): 753–758. ar Xiv : 0812.0017 . doi : 10.1090/s0002-9939-09-10124-7 . MR 2557192 . S2CID 2047111 .
•   Thurston, William P. (1988). „O geometrii i dynamice dyfeomorfizmów powierzchni” . Byk. Amer. Matematyka soc . 19 (2): 417–431. doi : 10.1090/s0273-0979-1988-15685-6 . MR 0956596 .
• Wajnryb B. (1996). „Grupa klas odwzorowania powierzchni jest generowana przez dwa elementy” . Topologia . 35 (2): 377–383. doi : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .