Kompleks krzywych

W matematyce zespół krzywych jest uproszczonym zespołem C ( S ) związanym z powierzchnią S skończoną , która koduje kombinatorykę prostych krzywych zamkniętych na S . Zespół krzywych okazał się podstawowym narzędziem w badaniu geometrii przestrzeni Teichmüllera , mapowania grup klasowych i grup Kleinowskich . Został wprowadzony przez WJHarveya w 1978 roku.

Kompleksy krzywych

Definicja

Niech będzie $.$ zorientowaną powierzchnią typu skończonego Dokładniej, niech $\ Displaystyle g \ geq$$S=S_{g,b,n}$$b\geq 0$ powierzchnią rodzaju with boundary components and $n\geq 0$ punctures.

Zespół krzywej jest złożonym uproszczeniem zdefiniowanym w następujący sposób: do $(S)}$

• Wierzchołki to swobodne klasy homotopii podstawowych (ani homotopowo trywialnych, ani peryferyjnych ) prostych krzywych zamkniętych na ${\ displaystyle S}$ ;
• Jeśli $\ Displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n}}$ reprezentują różne wierzchołki z ${\ Displaystyle C (S)}$ , obejmują simplex wtedy i tylko wtedy, gdy można homotopować, aby był parami rozłączny.

Przykłady

W przypadku powierzchni o małej złożoności (zasadniczo torus , torus przebity i kula z czterema otworami), z powyższą definicją, kompleks krzywych ma nieskończenie wiele połączonych elementów. Można podać alternatywną i bardziej użyteczną definicję, łącząc wierzchołki, jeśli odpowiednie krzywe mają minimalną liczbę przecięć. Przy tej alternatywnej definicji powstały kompleks jest izomorficzny z wykresem Fareya .

Geometria zespołu krzywych

Podstawowe właściwości

Jeśli $displaystyle$ zwartą powierzchnią rodzaju ${\ Displaystyle \ xi (S) = 3g-3 + b}$$równy$ granicznymi $wymiar$ jest ξ $\$ . W dalszej części założymy, że ${\ Displaystyle \ xi (S) \ geq 2}$ . Zbiór krzywych nigdy nie jest lokalnie skończony (tj. każdy wierzchołek ma nieskończenie wielu sąsiadów). Wynik Harera twierdzi, $jest$ rzeczywistości homotopicznie klinowej sfer .

Numery skrzyżowań i odległość na C ( S )

Odległość kombinatoryczna na 1-szkielecie jest związana z $klasach$ przecięć prostych krzywych zamkniętych na powierzchni, która jest najmniejszą liczbą przecięć dwóch krzywych Na przykład

${\ Displaystyle d_ {S} (\ alfa, \ beta) \ równoważnik 2 \ log _ {2} (i (\ alfa ,\beta ))+2}$

dla dowolnych dwóch nierozłącznych prostych krzywych zamkniętych ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ . Można porównywać w drugą stronę, ale wyniki są znacznie bardziej subtelne (np. nie ma jednolitej dolnej granicy nawet dla danej powierzchni) i trudniejsze do udowodnienia.

Hiperboliczność

Masur i Minsky udowodnili , że zespół krzywych jest przestrzenią hiperboliczną Gromowa . Późniejsze prace różnych autorów dały alternatywne dowody tego faktu i lepsze informacje na temat hiperboliczności.

Związek z klasą odwzorowania i przestrzenią Teichmüllera

Akcja grupy klas mapowania

Grupa klas mapowania $działa$$\cdot \alpha =\phi _{*}\alpha }$ kompleks w naturalny sposób: działa na φ $\$$\$ i rozciąga się to na akcję na pełnym kompleksie. Działanie to pozwala udowodnić wiele interesujących właściwości grup klas odwzorowania.

Chociaż sama grupa klas mapowania nie jest $, nadal$ , fakt, że jest hiperboliczny implikacje dla jej struktury i geometrii

Porównanie z przestrzenią Teichmüllera

Istnieje naturalna mapa od przestrzeni Teichmüllera do kompleksu krzywych, która przenosi zaznaczone struktury hiperboliczne do zbioru krzywych zamkniętych realizujących najmniejszą możliwą długość (systole ) . Pozwala to na odczytanie pewnych właściwości geometrycznych tej ostatniej, w szczególności wyjaśnia empiryczny fakt, że choć sama przestrzeń Teichmüllera nie jest hiperboliczna, to zachowuje pewne cechy hiperboliczności.

Zastosowania do topologii trójwymiarowej

Rozłamy Heegaarda

Simplex w określa „wypełnienie” uchwytu do $\ displaystyle$$C (S)$ . $Wybór$ dwóch uproszczeń w podział Heegaarda na trzy rozmaitości, z dodatkowymi danymi diagramu Heegaarda (maksymalny system rozłącznych prostych krzywych zamkniętych ograniczających dyski dla dwa uchwyty). Niektóre właściwości rozszczepienia Heegaarda można bardzo skutecznie odczytać ze względnych pozycji uproszczeń:

• rozszczepienie jest redukowalne wtedy i tylko wtedy, gdy ma diagram reprezentowany przez uproszczenia, które mają wspólny wierzchołek;
• rozszczepienie jest słabo redukowalne wtedy i tylko wtedy, gdy ma diagram reprezentowany przez uproszczenia połączone krawędzią.

Ogólnie rzecz biorąc, minimalna odległość między uproszczeniami reprezentującymi diagram dla podziału może dostarczyć informacji o topologii i geometrii (w sensie hipotezy geometryzacyjnej rozmaitości) i odwrotnie. Naczelną zasadą jest to, że minimalna odległość podziału Heegaarda jest miarą złożoności rozmaitości.

grupy kleinowskie

Jako szczególny przypadek filozofii z poprzedniego akapitu, geometria kompleksu krzywych jest ważnym narzędziem do łączenia kombinatorycznych i geometrycznych właściwości hiperbolicznych 3-rozmaitości, a zatem jest użytecznym narzędziem w badaniu grup Kleinowskich. Na przykład został użyty w dowodzie hipotezy o końcowej laminacji .

Losowe rozmaitości

Możliwym modelem dla losowych 3-rozmaitości jest losowe rozszczepienie Heegaarda. Dowód, że ten model jest prawie na pewno hiperboliczny (w pewnym sensie), wykorzystuje geometrię zespołu krzywych.

Notatki

• Harvey, WJ (1981). „Struktura graniczna grupy modułowej”. Powierzchnie Riemanna i tematy pokrewne . Materiały z konferencji w Stony Brook w 1978 roku . 1981.
•   Bowditch, Brian H. (2006). „Liczby przecięć i hiperboliczność kompleksu krzywych”. J. Reine Angew. matematyka _ 598 : 105–129. MR 2270568 .
•    Hempel, Jan (2001). „3-rozmaitości widziane z kompleksu krzywych”. Topologia . 40 (3): 631–657. arXiv : matematyka/9712220 . doi : 10.1016/s0040-9383(00)00033-1 . MR 1838999 . S2CID 16532184 .
• Iwanow, Mikołaj (1992). Podgrupy grup modułowych Teichmüllera . matematyka amerykańska. soc.
•    Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (1999). „Geometria zespołu krzywych. I. Hiperboliczność”. Wynaleźć. matematyka _ 138 (1): 103–149. arXiv : matematyka/9804098 . Bibcode : 1999InMat.138..103M . doi : 10.1007/s002220050343 . MR 1714338 . S2CID 16199015 .
• Schleimer, Saul (2006). „Uwagi dotyczące zespołu krzywych” (PDF) .
•   Benson Farb i Dan Margalit, Elementarz dotyczący mapowania grup klasowych . Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press , Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9