Alternatywa dla cycków

W matematyce alternatywa Tits , nazwana na cześć Jacquesa Titsa , jest ważnym twierdzeniem o strukturze skończenie generowanych grup liniowych .

Oświadczenie

Twierdzenie, udowodnione przez Titsa, brzmi następująco.

Twierdzenie — Niech $generowaną$ skończenie grupą liniową na polu. Występują wówczas dwie następujące możliwości:

• albo jest praktycznie rozwiązywalny (tj. ma rozwiązywalną podgrupę o skończonym indeksie ) sol $\ displaystyle G }$
• lub zawiera nieabelową grupę wolną (tj. ma podgrupę izomorficzną z grupą wolną na dwóch generatorach).

Konsekwencje

Grupa liniowa nie podlega wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera nieabelową grupę wolną (stąd hipoteza von Neumanna , choć ogólnie nieprawdziwa, obowiązuje dla grup liniowych).

Alternatywa cyca jest ważnym składnikiem dowodu twierdzenia Gromowa o grupach wzrostu wielomianowego . W rzeczywistości alternatywa zasadniczo ustala wynik dla grup liniowych (redukuje go do przypadku grup rozwiązywalnych, z którymi można sobie poradzić za pomocą elementarnych środków).

Uogólnienia

W geometrycznej teorii grup mówi się , że grupa G spełnia alternatywę Tits , jeśli dla każdej podgrupy H z G albo H jest praktycznie rozwiązywalna, albo H zawiera nieabelową wolną podgrupę (w niektórych wersjach definicji warunek ten musi być spełniony tylko dla wszystkie skończenie generowane podgrupy G ).

Przykładami grup spełniających alternatywę cycków, które albo nie są liniowe, albo przynajmniej nie wiadomo, że są liniowe, są:

• Grupy hiperboliczne
• Mapowanie grup klas ;
• Out(Fn) ;
• Wybrane grupy przekształceń biracjonalnych powierzchni algebraicznych .

Przykładami grup niespełniających alternatywy cycków są:

• grupa Grigorczuka ;
• grupa Thompsona F.

Dowód

Dowodem oryginalnej alternatywy dla cycków jest spojrzenie na zamknięcie Zariski w ${$$\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (k)$ } Jeśli jest rozwiązywalna, to grupa jest rozwiązywalna. $W przeciwnym razie patrzy$ na obraz w komponencie Levi. Jeśli jest niezwarty, ping-ponga kończy dowód. Jeśli jest zwarty, to albo wszystkie wartości własne elementów na obrazie ${\ displaystyle G}$$.$ jest skończony lub można znaleźć osadzenie, w którym można zastosować strategię ping-ponga

Zauważ, że dowód wszystkich powyższych uogólnień również opiera się na argumencie ping-ponga.