Lemat o ping-pongu

W matematyce lemat o ping-pongu lub lemat o tenisie stołowym to jedno z kilku stwierdzeń matematycznych, które zapewniają, że kilka elementów w grupie działających swobodnie na zbiór tworzy wolną podgrupę tej grupy.

Historia

Argument o ping-pongu sięga końca XIX wieku i jest powszechnie przypisywany Felixowi Kleinowi , który użył go do badania podgrup grup Kleina , czyli dyskretnych grup izometrii hiperbolicznej przestrzeni 3 lub, równoważnie, transformacji Möbiusa Kula Riemanna . Lemat o ping-pongu był kluczowym narzędziem zastosowanym przez Jacques’a Breasta w jego artykule z 1972 roku, zawierającym dowód słynnego wyniku znanego obecnie jako alternatywa Cycka . Wynik stwierdza, że ​​a skończona grupa liniowa jest albo wirtualnie rozwiązywalna , albo zawiera wolną podgrupę drugiego rzędu . Lemat o ping-pongu i jego odmiany są szeroko stosowane w topologii geometrycznej i geometrycznej teorii grup .

Współczesne wersje lematu o ping-pongu można znaleźć w wielu książkach, takich jak Lyndon & Schupp, de la Harpe, Bridson & Haefliger i innych.

Oświadczenia formalne

Lemat o ping-pongu dla kilku podgrup

Ta wersja lematu o ping-pongu zapewnia, że ​​kilka podgrup grupy działającej na zestaw generuje darmowy produkt . Poniższe stwierdzenie pojawia się u Olijnyka i Suchchansky’ego (2004), a dowód pochodzi z de la Harpe (2000).

Niech G będzie grupą działającą na zbiór X i niech H ₁ , H ₂ , ..., H _k będą podgrupami G , gdzie k ≥ 2, takimi, że przynajmniej jedna z tych podgrup ma rząd większy niż 2. Załóżmy, że istnieją parami rozłączne niepuste podzbiory X ₁ , X ₂ , ..., X _k z X takie, że zachodzi:

• Dla dowolnego i ≠ s i dla dowolnego h w H _i , h ≠ 1 mamy h ( X _s ) ⊆ X _i .

Następnie

$${\ Displaystyle \ langle H_ {1}, \ kropki, H_ {k} \ rangle = H_ {1} \ ast \ kropki \ ast H_ {k}.}$$

Dowód

Z definicji iloczynu wolnego wystarczy sprawdzić, czy dane (niepuste) zredukowane słowo reprezentuje $nietrywialny$ . Niech będzie takim słowem o długości $m$$m \ geq 2}$ displaystyle

$$\ Displaystyle w = \ prod _ {i = 1} ^ {m} w_ {i},}$$

gdzie ${\ Textstyle w_ {i} \ w H _ {\ alfa _ {i}}}$ dla niektórych ${\textstyle \ alfa _ {i} \ in \ {1,\kropki,k\}}$ . Ponieważ $dowolnego$ mamy dla $\$ $ja = 1, \ kropki, m-1}$$i$ każdy się od elementu tożsamości H. $\ Displaystyle H _ {\ alfa _ {i} }}$ . $działać$ pozwalamy na elemencie $.$ ze Ponieważ zakładamy, że co najmniej jedna podgrupa $ma$ najmniej 3, bez utraty ogólności możemy założyć, że $} }$$co$ najmniej 3. Najpierw zakładamy, że α $\ displaystyle \ alfa _$ oba są 1 ( $)$ Stąd rozważamy $na$ . ${\ displaystyle X_ {2}}$ . Otrzymujemy następujący łańcuch zabezpieczeń:

$${\ Displaystyle w (X_ {2}) \ subseteq \ prod _ {i = 1} ^ {m-1} w_ {i} (X_ {1}) \ subseteq \ prod _ {i = 1} ^ {m- 2} w_{i}(X_{\alfa _{m-1}})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alfa _{2}})\subseteq X_{1}.}$$

Zakładając, że różne $wartości$$rozłączne$ , dochodzimy do wniosku, że działa nietrywialnie na jakiś element $,$ a zatem $displaystyle w}$$}$$reprezentuje$ element .

Aby zakończyć dowód, musimy rozważyć trzy przypadki:

• jeśli ${\ Displaystyle \ alfa _ {1} = 1, \, \ alfa _ {m} \ neq 1}$ , to niech $1$$\$ { displaystyle $_ }$ ma porządek co najmniej 3);
• jeśli ${\ Displaystyle \ alfa _ {1} \ neq 1, \, \ alfa _ {m} = 1}$ , to niech ${\ displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{m},1\}}$ ;
• i $_ h\in H_{1}\setminus \{1\}}$$displaystyle$ niech .

W każdym przypadku po redukcji staje $-1$ zredukowanym z pierwszą i ostatnią literą w . $\ displaystyle hwh ^ {$ } Wreszcie $w$ nietrywialny element , podobnie jak ${-1}}$$hwh ^$ \ To potwierdza tezę.

Lemat o ping-pongu dla podgrup cyklicznych

Niech G będzie grupą działającą na zbiór X . Niech a ₁ , ..., a _k będą elementami G nieskończonego rzędu , gdzie k ≥ 2. Załóżmy, że istnieją rozłączne i niepuste podzbiory

X ₁ ⁺ , ..., X _k ⁺ i X ₁ ^– , ..., X _k ^–

X o następujących właściwościach:

• za _ja ( X - X _ja ^– ) ⊆ X _ja ⁺ dla ja = 1, ..., k ;
• za _ja ^-1 ( X - X _ja ⁺ ) ⊆ X _ja ^– dla ja = 1, ..., k .

Wtedy podgrupa H = ⟨ za ₁ , ..., a _k ⟩ ≤ G generowana przez a ₁ , ..., a _k jest wolna z wolną bazą { a ₁ , ..., a _k } .

Dowód

To stwierdzenie jest następstwem wersji dla podgrup ogólnych, jeśli pozwolimy X _i = X _ja ⁺ ∪ X _i ^- i niech H _i = a _i ⟩ ⟨ .

Przykłady

Przykład specjalnej grupy liniowej

Można użyć lematu o ping-pongu, aby udowodnić, że podgrupa H = ⟨ A , B ⟩ ≤ SL ₂ ( Z ) , wygenerowana przez macierze

$${\ Displaystyle A = {\ początek {pmatrix} 1 i 2 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$$

I

$${\ Displaystyle B = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ 2 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$$

jest wolny od rangi drugiej.

Dowód

Rzeczywiście, niech H ₁ = ⟨ A ⟩ i H ₂ = ⟨ B ⟩ będą cyklicznymi podgrupami SL 2 ₍ Z ) generowanymi odpowiednio przez A i B. Nie jest trudno sprawdzić, że A i B są elementami nieskończonego porządku w SL ₂ ( Z ) i to

$${\ Displaystyle H_ {1} = \ {A ^ {n} \ środek n \ in \ mathbb {Z} \ }=\left\{{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$$

I

$${\ Displaystyle H_ {2} = \ {B ^ {n} \ środek n \ w \ mathbb {Z} \} = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ 2n i 1 \ koniec {pmatrix}}: n \in \mathbb {Z} \right\}.}$$

Rozważmy standardowe działanie SL przekształceń ₂ ( Z ) na R ² za pomocą liniowych . Umieścić

$${\ Displaystyle X_ {1} = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} x \\ y \ koniec {pmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^ {2}: | x |> | y | \ prawo \}}$$

I

$${\ Displaystyle X_ {2} = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} x \\ y \ koniec {pmatrix}} \ w \ mathbb {R} ^ {2}: | x | <| y | \ prawo \ }.}$$

Nie jest trudno sprawdzić, korzystając z powyższych wyraźnych opisów H ₁ i H ₂ , że dla każdego nietrywialnego g ∈ H ₁ mamy g ( X ₂ ) ⊆ X ₁ i że dla każdego nietrywialnego g ∈ H ₂ mamy g ( X ₁ ) ⊆ X ₂ . Korzystając z alternatywnej formy lematu o ping-pongu, dla dwóch podgrup podanych powyżej, dochodzimy do wniosku, że H = H. ₁ ∗ H. ₂ . Ponieważ grupy H1 _H i H2 _wolną są nieskończenie cykliczne , wynika z tego, że jest grupą drugiego stopnia.

Przykład grupy wyrazowo-hiperbolicznej

Niech G będzie grupą wyrazowo-hiperboliczną , która jest wolna od skręcania , to znaczy nie posiada elementów nietożsamościowych o skończonym porządku . Niech g , h ∈ G będą dwoma elementami nieprzechodnimi, czyli takimi, że gh ≠ hg . Wtedy istnieje M ≥ 1 taki, że dla dowolnych liczb całkowitych n ≥ M , m ≥ M podgrupa H = ⟨ g ⁿ , h ^m ⟩ ≤ G jest wolne od rangi drugiej.

Szkic dowodu

Grupa G oddziałuje na swoją hiperboliczną granicę ∂ G poprzez homeomorfizmy . Wiadomo, że jeśli a w G jest elementem nietożsamościowym, to a ma dokładnie dwa różne punkty stałe, a ^∞ i a ^−∞ w ∂ G oraz że a ^∞ jest przyciągającym punktem stałym , podczas gdy a ^−∞ jest odpychającym punktem stałym .

Ponieważ g i h nie dojeżdżają, podstawowe fakty dotyczące grup słowno-hiperbolicznych sugerują, że g ∞ ^, g −∞ ^, h ∞ ⁱ h −∞ ^to cztery różne punkty w ∂ G. ∞ ^Weźmy rozłączne sąsiedztwa U ₊ , U _– , V ₊ i V _– g , g ^−∞ , h ^∞ i h ^−∞ odpowiednio w ∂ G. Wtedy z właściwości przyciągających/odpychających punktów stałych g i h wynika, że ​​istnieje M ≥ 1 takie, że dla dowolnych liczb całkowitych n ≥ M , m ≥ M mamy:

• sol ⁿ (∂ G – U _– ) ⊆ U ₊
• g ^{- n} (∂ G – U ₊ ) ⊆ U _–
• h ^m (∂ G – V _– ) ⊆ V ₊
• h ^{- m} (∂ G – V ₊ ) ⊆ V _–

Lemat o ping-pongu oznacza teraz, że H = ⟨ g ⁿ , h ^m ⟩ ≤ G jest wolny od rangi drugiej.

Zastosowania lematu o ping-pongu

• Lemat o ping-pongu jest używany w grupach Kleina do badania ich tak zwanych podgrup Schottky'ego . W kontekście grup Kleina lemat o ping-pongu można wykorzystać do pokazania, że ​​określona grupa izometrii hiperbolicznej przestrzeni 3 jest nie tylko swobodna , ale także właściwie nieciągła i geometrycznie skończona .
• Podobne argumenty typu Schottky'ego są szeroko stosowane w geometrycznej teorii grup , szczególnie w przypadku podgrup grup słowno-hiperbolicznych i grup drzew automorficznych .
• Lemat o ping-pongu jest również używany do badania podgrup typu Schottky'ego grup klas odwzorowujących powierzchni Riemanna , gdzie zbiorem, na którym działa grupa klas odwzorowujących, jest granica Thurstona przestrzeni Teichmüllera . Podobny argument wykorzystuje się także w badaniu podgrup zewnętrznej grupy automorfizmu grupy wolnej.
• Jedno z najsłynniejszych zastosowań lematu o ping-pongu znajduje się w dowodzie Jacques’a Tice’a tzw. alternatywy Cycka dla grup liniowych . (zobacz także przegląd dowodu Breasta i wyjaśnienie związanych z nim idei, w tym zastosowania lematu o ping-pongu).
• Istnieją uogólnienia lematu o ping-pongu, które dają nie tylko darmowe produkty , ale także połączone darmowe produkty i rozszerzenia HNN . Uogólnienia te są stosowane w szczególności w dowodzie twierdzenia Maskita o kombinacjach dla grup Kleina.
• Istnieją również wersje lematu o ping-pongu, które gwarantują, że kilka elementów w grupie tworzy wolną półgrupę . Wersje takie dostępne są zarówno w kontekście ogólnym akcji grupowej na zbiorze, jak i dla konkretnych typów działań, np. w kontekście grup liniowych, grup działających na drzewach i innych.

Zobacz też

• Bezpłatna grupa
• Darmowy produkt
• grupa Kleina
• Alternatywa dla cycków
• Grupa wyrazowo-hiperboliczna
• Grupa Schottky’ego