rozszerzenie HNN

W matematyce rozszerzenie HNN jest ważną konstrukcją kombinatorycznej teorii grup .

Wprowadzony w artykule z 1949 r. Embedding Theorems for Groups autorstwa Grahama Higmana , Bernharda Neumanna i Hanny Neumann , osadza daną grupę G w innej grupie G' w taki sposób, że dwie podane izomorficzne podgrupy G są sprzężone (poprzez dany izomorfizm ) w G' .

Budowa

Niech G będzie grupą z prezentacją i niech $}$$\ alfa \ dwukropek$ do izomorfizm między dwiema podgrupami G . Niech t będzie nowym symbolem nie w S i zdefiniuj

${\ Displaystyle G * _ {\ alfa} = \ lewo \ langle S, t \ mid R, tht ^ {-1} = \ alfa (h), \ forall h \ w H \ prawo \ rangle.}$

Grupa $nazywana$ rozszerzeniem G α . _ Oryginalna grupa G jest nazywana grupą podstawową dla konstrukcji, podczas gdy podgrupy H i K są podgrupami powiązanymi . Nowy generator t jest nazywany stabilną literą .

Kluczowe właściwości

Ponieważ prezentacja dla $który$ zawiera wszystkie generatory i relacje z prezentacji dla G , istnieje homomorfizm, wywołany identyfikacją generatorów, G do ${\ Displaystyle G * _ {\ alfa}}$ . Higman, Neumann i Neumann udowodnili, że ten morfizm jest iniekcyjny, to znaczy osadzony G w ${\ Displaystyle G * _ {\ alfa}}$ . Konsekwencją jest to, że dwie izomorficzne podgrupy danej grupy są zawsze sprzężone w jakiejś nadgrupie ; chęć pokazania tego była pierwotną motywacją do budowy.

Lemat Brittona

Kluczową właściwością rozszerzeń HNN jest twierdzenie o postaci normalnej znane jako lemat Brittona . Niech ${\ Displaystyle G * _ {\ alfa}}$ będzie jak powyżej i niech w będzie następującym iloczynem w ${\ Displaystyle G * _ {\ alfa}}$ :

${\ Displaystyle w = g_ {0} t ^ {\ varepsilon _ {1 }}g_{1}t^{\varepsilon_{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon_{n}}g_{n},\qquad g_{i}\w G,\ varepsilon _{i}=\pm 1.}$

Wtedy lemat Brittona można sformułować w następujący sposób:

Lemat Brittona. Jeśli w = 1 w G ∗ _α to

• ₀ albo ${\ displaystyle n = 0}$ i g = 1 w G
• lub ${\ displaystyle n> 0}$ i dla niektórych ja ∈ {1, ..., n -1} jedno z następujących twierdzeń:

1. ε _ja = 1, ε _{ja +1} = −1, sol _ja ∈ H. ,
2. ε _ja = −1, ε _{ja +1} = 1, sol _ja ∈ K. .

W kategoriach kontrapozytywnych lemat Brittona przyjmuje następującą postać:

Lemat Brittona (forma alternatywna). Jeśli w jest takie, że

• ₀ albo ${\ displaystyle n = 0}$ i sol ≠ 1 ∈ sol ,
• lub ${\ displaystyle n> 0}$ a iloczyn w nie zawiera podciągów postaci tht ⁻¹ , gdzie h ∈ H i postaci t ⁻¹ kt gdzie k ∈ K ,

wtedy ${\ Displaystyle w \ neq 1}$ w ${\ Displaystyle G * _ {\ alfa}}$ .

Konsekwencje lematu Brittona

Większość podstawowych właściwości rozszerzeń HNN wynika z lematu Brittona. Konsekwencje te obejmują następujące fakty:

• Naturalny homomorfizm od G do jest $iniekcyjny$ , więc możemy $zawierającej$ o jako
• Każdy element skończonego rzędu $sprzężony$ jest elementem .
• Każda $skończona$ podgrupa skończoną podgrupą .
• Jeśli ${\ displaystyle G}$$zawiera$ element taki, że ${\ displaystyle g ^ {k}}$ nie jest zawarty ani w żadnej liczbie całkowitej k, ani w ${\ displaystyle H}$ ani $displaystyle K$$Displaystyle k}$$rzędu$ , to zawiera izomorficzną z wolną grupą drugiego

Zastosowania i uogólnienia

Zastosowane w topologii algebraicznej rozszerzenie HNN konstruuje podstawową grupę przestrzeni topologicznej X , która została „przyklejona” do siebie przez odwzorowanie f : X → X (patrz np. wiązka powierzchniowa nad okręgiem ). Zatem rozszerzenia HNN opisują podstawową grupę przestrzeni samoprzylepnej w taki sam sposób, jak produkty swobodne z amalgamacją dla dwóch przestrzeni X i Y sklejonych wzdłuż połączonej wspólnej podprzestrzeni, jak w twierdzeniu Seiferta-van Kampena . Te dwie konstrukcje pozwalają opisać podstawową grupę dowolnego rozsądnego klejenia geometrycznego. Jest to uogólnione na grup Bassa-Serre'a działających na drzewach, konstruującą podstawowe grupy wykresów grup .

Rozszerzenia HNN odgrywają kluczową rolę w dowodzie Higmana twierdzenia Higmana o osadzeniu , które stwierdza, że ​​każda skończenie generowana rekurencyjnie prezentowana grupa może być homomorficznie osadzona w skończenie przedstawionej grupie . Większość współczesnych dowodów twierdzenia Novikova – Boone'a o istnieniu skończenie przedstawionej grupy z algorytmicznie nierozstrzygalnym zadaniem tekstowym również zasadniczo wykorzystuje rozszerzenia HNN.

Idea rozszerzenia HNN została rozszerzona na inne części algebry abstrakcyjnej , w tym teorię algebry Liego .