Wykres grup
W geometrycznej teorii grup graf grup jest obiektem składającym się ze zbioru grup indeksowanych przez wierzchołki i krawędzie grafu , wraz z rodziną monomorfizmów grup krawędziowych w grupy wierzchołków. Istnieje unikalna grupa, zwana grupą podstawową , kanonicznie powiązana z każdym skończonym spójnym grafem grup. Dopuszcza działanie zachowujące orientację na drzewie : oryginalny wykres grup można odzyskać z wykres ilorazowy i podgrupy stabilizatora . Teoria ta, powszechnie nazywana teorią Bassa-Serre'a , wywodzi się z prac Hymana Bassa i Jean-Pierre'a Serre'a .
Definicja
Graf grup na grafie Y jest przyporządkowaniem każdemu wierzchołkowi y x grupy Y grupy G x i każdej krawędzi Y grupy G y oraz odwzorowaniu monomorfizmów φ y ,0 i φ y ,1 G na grupy przypisane do wierzchołków na jego końcach.
Grupa podstawowa
Niech T będzie drzewem rozpinającym dla Y i zdefiniuj grupę podstawową Γ jako grupę generowaną przez grupy wierzchołków G x i elementy y dla każdej krawędzi Y z następującymi zależnościami:
- y = y −1 , jeśli y jest krawędzią y o odwrotnej orientacji.
- y φ y , 0 ( x ) y -1 = φ y , 1 ( x ) dla wszystkich x w G y .
- y = 1 jeśli y jest krawędzią w T .
Ta definicja jest niezależna od wyboru T .
Zaletą zdefiniowania fundamentalnej grupoidy grafu grup, jak wykazał Higgins (1976) , jest to, że jest ona definiowana niezależnie od punktu bazowego lub drzewa. Udowodniono tam również ładną postać normalną dla elementów fundamentalnej grupoidy. Obejmuje to twierdzenia o postaci normalnej dla iloczynu wolnego z amalgamacją i dla rozszerzenia HNN ( Bass 1993 ).
Twierdzenie o strukturze
Niech Γ będzie podstawową grupą odpowiadającą drzewu rozpinającemu T . Dla każdego wierzchołka x i krawędzi y , G x i G y można zidentyfikować z ich obrazami w Γ . Możliwe jest zdefiniowanie grafu Γ/ Gy , którego wierzchołki i krawędzie są sumą rozłączną wszystkich przestrzeni coset odpowiednio Γ/ Gx . i Graf ten jest drzewem , zwanym uniwersalnym drzewem pokrywającym , na którym Γ działa. Przyjmuje graf Y jako dziedzinę podstawową . Wykres grup podany przez podgrupy stabilizujące w domenie podstawowej odpowiada pierwotnemu wykresowi grup.
Przykłady
- Graf grup na grafie z jedną krawędzią i dwoma wierzchołkami odpowiada iloczynowi swobodnemu z amalgamacją .
- Graf grup w jednym wierzchołku z pętlą odpowiada rozszerzeniu HNN .
Uogólnienia
Najprostszym możliwym uogólnieniem wykresu grup jest dwuwymiarowy kompleks grup . Są one modelowane na orbifoldach powstałych w wyniku współzwartych , odpowiednio nieciągłych działań dyskretnych grup na dwuwymiarowych uproszczonych kompleksach , które mają strukturę przestrzeni CAT(0) . Iloraz kompleksu simplicalnego ma skończone grupy stabilizujące przyłączone do wierzchołków, krawędzi i trójkątów wraz z monomorfizmami dla każdego włączenia uproszczeń. Mówi się, że zespół grup jest rozwijalny jeśli powstaje jako iloraz uproszczonego kompleksu CAT (0). Rozwijalność to niedodatni warunek krzywizny na zespole grup: można go zweryfikować lokalnie, sprawdzając, czy wszystkie obwody występujące w połączeniach wierzchołków mają długość co najmniej sześć. Takie kompleksy grup pierwotnie powstały w teorii dwuwymiarowych budynków Bruhata-Titsa ; ich ogólna definicja i dalsze badania zostały zainspirowane pomysłami Gromowa .
Zobacz też
- Bass, Hyman (1993), „Teoria pokrycia dla wykresów grup”, Journal of Pure and Applied Algebra , 89 (1–2): 3–47, doi : 10.1016/0022-4049 (93) 90085-8 , MR 1239551 .
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), Przestrzenie metryczne nie dodatniej krzywizny , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych], tom. 319, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64324-9 , MR 1744486 .
- Dicks, Warren; Dunwoody, MJ (1989), Grupy działające na wykresach , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 17, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23033-0 , MR 1001965 .
- Haefliger, André (1990), „Orbi-espaces [Orbispaces]”, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Berno, 1988) , Progress in Mathematics (po francusku), tom. 83, Boston, MA: Birkäuser, s. 203–213, ISBN 0-8176-3508-4 , MR 1086659
- Higgins, PJ (1976), „Podstawowa grupoida wykresu grup”, Journal of the London Mathematical Society , 2. seria, 13 (1): 145–149, doi : 10.1112 / jlms / s2-13.1.145 , MR 0401927
- Scott, Piotr ; Wall, Terry (1979), „Metody topologiczne w teorii grup”, Homologiczna teoria grup , London Math. soc. Notatka z wykładu Ser., tom. 36, Cambridge: Cambridge University Press, s. 137–203, ISBN 0-521-22729-1 , MR 0564422 .
- Serre, Jean-Pierre (2003), Drzewa , Springer Monografie z matematyki , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-44237-5 , MR 1954121 . Przetłumaczone przez Johna Stillwella z „arbres, amalgames, SL 2 ”, napisane we współpracy z Hymanem Bassem , wydanie 3, astérisque 46 (1983). Patrz rozdział I.5.