Link (prosty kompleks)

Czworościan jest złożony z 2.

Łącze w zespole uproszczonym jest uogólnieniem sąsiedztwa wierzchołka w grafie . Łącze wierzchołka koduje informacje o lokalnej strukturze kompleksu w wierzchołku.

Połączenie wierzchołka

Biorąc pod uwagę $\ textstyle V (X)}$ kompleks uproszczony X i wierzchołek w ${$ , jego link ${\ textstyle \ operatorname {Lk} (v, X )}$ to zbiór zawierający każdą ścianę $\$ że $textstyle v \ not \ in \ tau$ i ${\textstyle \tau \cup \{v\}}$ jest ścianą X .

• W szczególnym przypadku, w którym X jest jednowymiarowym zespołem (to jest: wykresem ) , ${\ textstyle \ operatorname {Lk} (v, X)}$ zawiera wszystkie wierzchołki ${\ textstyle u\neq v}$ takie, że ${\ textstyle \ {u, v \}}$ jest krawędzią wykresu; to znaczy ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ sąsiedztwo ${\textstyle v}$ na wykresie.

Biorąc pod uwagę geometryczny kompleks uproszczony X i jego związek $\ operatorname {Lk} (v, X)}$$\ textstyle$ v ∈ V ( X ) {\ textstyle $istnieje$ zawierający każdą ścianę $,$ , że i simpleks w $X}$ który ${\ textstyle v}$ jako wierzchołek i ${\ textstyle \ tau}$ jako ściana. Równoważnie łączenie jest twarzą w $X$$}$ .

• Załóżmy na przykład, że v jest górnym wierzchołkiem czworościanu po lewej stronie. Wtedy ogniwo v jest trójkątem u podstawy czworościanu. Dzieje się tak, ponieważ dla każdej krawędzi tego trójkąta połączenie v z krawędzią jest trójkątem (jednym z trzech trójkątów po bokach czworościanu); a połączenie v z samym trójkątem to cały czworościan.
  

  Łącznikiem wierzchołka czworościanu jest trójkąt.

Alternatywna definicja jest następująca ( : , X ) $v$ wierzchołka jest wykres Lk Wierzchołkami Lk( v , X ) są krawędzie X incydentne z v . Dwie takie krawędzie sąsiadują ze sobą w Lk( v , X ), jeśli są incydentne do wspólnej 2-komórki w v .

• Grafowi Lk( v , X ) często przypisuje się topologię kuli o małym promieniu, której środek znajduje się w v ; jest to analogia do kuli wyśrodkowanej w punkcie.

Połączenie twarzy

Definicję łącza można rozszerzyć od pojedynczego wierzchołka do dowolnej ściany.

Biorąc pod uwagę abstrakcyjny kompleks uproszczony $($ i dowolną ścianę X , jej łącze ${\ textstyle \ operatorname {Lk} (\ sigma, X)}$ to zawierający każdą ścianę ${\ textstyle \ tau \ in X}$ takie, że ${\ textstyle \ sigma, \ tau}$ są rozłączne i ${\ textstyle \ tau \ cup \ sigma}$ jest ścianą X : ${\ textstyle \ operatorname {Lk} (\ sigma, X): = \ { \tau \in X:~\tau \cap \sigma =\pustyzbiór ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$ .

Biorąc pod uwagę geometryczny kompleks symplicalny $X$ i dowolną ścianę , jego łącze $}$ to zbiór zawierający τ $}$$rozłączne$ takie, że są i istnieje simpleks w ${\ textstyle X}$ ma ${\ textstyle v}$ i ${\ textstyle \ tau}$ jako twarze.

Przykłady

Połączenie wierzchołka czworościanu jest trójkątem - trzy wierzchołki połączenia odpowiadają trzem krawędziom incydentnym z wierzchołkiem, a trzy krawędzie połączenia odpowiadają ścianom incydentnym z wierzchołkiem. W tym przykładzie połączenie można zwizualizować, odcinając wierzchołek płaszczyzną; formalnie przecięcie czworościanu płaszczyzną w pobliżu wierzchołka – wynikowy przekrój jest ogniwem.

Poniżej przedstawiono inny przykład. Istnieje dwuwymiarowy kompleks uproszczony. Po lewej wierzchołek jest zaznaczony na żółto. Po prawej stronie link tego wierzchołka jest zaznaczony na zielono.

• 

  Wierzchołek i jego łącze .

Nieruchomości

• $Dla$ dowolnego złożonego uproszczonego ogniwo jest złożony prosty jest podkompleksem X .
• Ponieważ X jest uproszczony, istnieje izomorfizm zbioru między ${\ textstyle \ operatorname {Lk} (\ sigma, X)}$ a zbiorem ${\ Displaystyle X _ {\ sigma}: = \ {\ rho \ w X {\ tekst {tak, że}} \ sigma \ subseteq \ rho \}}:$ każdy ${\ textstyle \ tau \ in \ operatorname {Lk} (\ sigma, X)}$$,$ τ $\ textstyle \ tau \ kubek \ sigma}$ który jest .

Link i gwiazda

Pojęciem ściśle związanym z łączem jest gwiazda .

Biorąc pod uwagę $\ textstyle V ($ uproszczony kompleks X dowolną ścianę gwiazda σ $\ textstyle \ sigma \ in X}$${$ ( ${\ textstyle \ tau \$ to zbiór zawierający każdą ścianę taką, że $puchar$ sigma X. _ W szczególnym przypadku, w którym X jest jednowymiarowym kompleksem (to znaczy: wykresem ), ${\ textstyle \ operatorname {St} (v, X)}$ zawiera wszystkie krawędzie ${\textstyle \{u,v\}}$ dla wszystkich wierzchołków $}$ które są sąsiadami ${\textstyle v$ . Oznacza to, że jest to oparta na teorii grafów, której środek znajduje się ${\ textstyle u}$ .

Biorąc pod uwagę geometryczny kompleks symplicalny $,$ i dowolną ścianę jego gwiazda jest zbiorem zawierającym $} (\ sigma, X)}$ każda twarz ${\ textstyle \ tau \ in X}$ taka, że ​​istnieje simpleks w ${\ textstyle X}$ mający zarówno ${\ textstyle \ sigma},$ jak i ${\ textstyle \ tau}$ jako ściany: ${\ textstyle \ operatorname {St} (\ sigma, X): = \ {\ tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ są ścianami }}\rho \}}$ . Innymi słowy, jest to domknięcie zbioru ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{to ściana }}\rho \}}$ - zbiór uproszczeń mających ${\textstyle \sigma}$ jako ścianę.

Tak więc łącze jest podzbiorem gwiazdy. Gwiazda i link są powiązane w następujący sposób:

• σ ${\ textstyle \ sigma \ in X}$ , $\ textstyle \ operatorname {Lk} (\ sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\pusty zbiór \}}$ .
• dla dowolnego ${\ textstyle v \ in V (X)}$ , ${\ textstyle \ operatorname {St} (v, X) =v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ , czyli gwiazda ${\textstyle v}$ jest stożkiem jej połączenia w ${\textstyle v}$ .

Poniżej zilustrowano przykład. Istnieje dwuwymiarowy kompleks uproszczony. Po lewej wierzchołek jest zaznaczony na żółto. Po prawej stronie gwiazda tego wierzchołka jest zaznaczona na zielono.

• 

  Wierzchołek i jego gwiazda .

Zobacz też

• Figura wierzchołka - koncepcja geometryczna podobna do połączenia uproszczonego.