Wiązka powierzchni nad okręgiem
W matematyce wiązka powierzchniowa na okręgu to wiązka włókien z przestrzenią podstawy koła i przestrzenią włókien powierzchnią . Dlatego całkowita przestrzeń ma wymiar 2 + 1 = 3. Ogólnie rzecz biorąc, wiązki włókien na okręgu są szczególnym przypadkiem odwzorowania torusa .
Oto konstrukcja: weź iloczyn kartezjański powierzchni z przedziałem jednostkowym . Sklej dwie kopie powierzchni na granicy, stosując pewien homeomorfizm. Ten homeomorfizm nazywa się monodromią wiązki powierzchniowej. Można pokazać, że typ homeomorfizmu otrzymanej wiązki zależy tylko od klasy koniugacji , w grupie klas odwzorowania , wybranego homeomorfizmu sklejania.
Konstrukcja ta jest ważnym źródłem przykładów zarówno z zakresu topologii niskowymiarowej, jak i geometrycznej teorii grup . W pierwszym stwierdzamy, że geometria trójrozmaitości jest określona przez dynamikę homeomorfizmu. Jest to włóknista część Williama Thurstona o geometryzacji dla rozmaitości Hakena, którego dowód wymaga klasyfikacji Nielsena-Thurstona dla homeomorfizmów powierzchniowych, a także głębokich wyników w teorii grup Kleinowskich . W geometrycznej teorii grup tzw podstawowe grupy takich wiązek dają ważną klasę rozszerzeń HNN : to znaczy rozszerzenia podstawowej grupy włókna (powierzchni) o liczby całkowite.
Prostym szczególnym przypadkiem tej konstrukcji (rozważanym w artykule założycielskim Henri Poincaré ) jest wiązka torusów .