Przypuszczenie praktycznie włókniste

W matematycznej poddziedzinie 3-rozmaitości , wirtualnie włóknista hipoteza , sformułowana przez amerykańskiego matematyka Williama Thurstona , stwierdza, że ​​każda zamknięta , nieredukowalna , atoroidalna 3-rozmaitość z nieskończoną grupą podstawową ma skończone pokrycie , które jest wiązką powierzchniową nad okręgiem .

Mówi się, że 3-rozmaitość, która ma takie skończone pokrycie, jest praktycznie włóknem . Jeśli M jest przestrzenią włókien Seiferta , to M wirtualnie włókna wtedy i tylko wtedy, gdy wymierna liczba Eulera fibracji Seiferta lub ( orbifold ) charakterystyki Eulera przestrzeni bazowej wynosi zero.

Hipotezy hipotezy są spełnione przez hiperboliczne 3-rozmaitości . W rzeczywistości, biorąc pod uwagę, że hipoteza geometryzacji jest teraz rozstrzygnięta, jedynym przypadkiem, który należy udowodnić dla hipotezy wirtualnego włókna, jest hiperboliczna 3-rozmaitość.

Pierwotne zainteresowanie hipotezą wirtualnego włókna (jak również jej słabszymi kuzynami, takimi jak hipoteza wirtualnego Hakena ) wynikało z faktu, że każda z tych hipotez, w połączeniu z twierdzeniem Thurstona o hiperbolizacji , implikowałaby hipotezę o geometryzacji. Jednak w praktyce wszystkie znane ataki na „wirtualną” hipotezę przyjmują geometryzację jako hipotezę i opierają się na właściwościach geometrycznych i teorii grup hiperbolicznych 3-rozmaitości.

Przypuszczenie praktycznie włókniste nie zostało w rzeczywistości przypuszczone przez Thurstona. Raczej postawił to jako pytanie i stwierdził, że miało to być wyzwanie, a nie oznaczać, że w to wierzy , chociaż napisał, że „[t] jego wątpliwie brzmiące pytanie wydaje się mieć zdecydowaną szansę za pozytywną odpowiedź”.

Hipoteza została ostatecznie rozstrzygnięta twierdząco w serii artykułów z lat 2009-2012. W poście na ArXiv z 25 sierpnia 2009 r. Daniel Wise pośrednio zasugerował (odnosząc się do niepublikowanego wówczas dłuższego rękopisu), że udowodnił hipotezę dla przypadku, gdy rozmaitość 3 jest zamknięta, hiperboliczna i Haken. Następnie opublikowano artykuł ankietowy w Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. nastąpiły, w tym wspomniany dłuższy rękopis autorstwa Wise. W marcu 2012 roku podczas konferencji w Institut Henri Poincaré w Paryżu Ian Agol ogłosił, że może udowodnić, że praktycznie hipoteza Hakena dla zamkniętych hiperbolicznych 3-rozmaitości. W połączeniu z wynikami Daniela Wise'a implikuje to hipotezę praktycznie włóknistą dla wszystkich zamkniętych hiperbolicznych 3-rozmaitości.

Zobacz też

• Praktycznie przypuszczenie Hakena

• Hipoteza podgrupy powierzchniowej
• Przypuszczenie Ehrenpreisa
• hipoteza o dodatniej wirtualnej liczbie Bettiego

Notatki

• Thurston, William P. (1982). „Rozmaitości trójwymiarowe, grupy Kleinowskie i geometria hiperboliczna” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 6 (3): 357–382. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
• D. Gabai, O 3-rozmaitości skończenie pokrytej wiązkami powierzchniowymi , Low Dimensional Topology and Kleinian Groups (red: DBA Epstein), London Mathematical Society Lecture Note Series tom 112 (1986), s. 145-155.
•   Agol, Ian (2008). „Kryteria wirtualnego światłowodu”. Dziennik topologii . 1 (2): 269–284. ar Xiv : 0707.4522 . doi : 10.1112/jtopol/jtn003 . S2CID 3028314 .

Linki zewnętrzne

• Klarreich, Erica (2012-10-02). „Wchodzenie w kształty: od geometrii hiperbolicznej do kompleksów sześciennych iz powrotem” . Magazyn Quanta .